相似三角形知识点总结及练习题
相似三角形知识点总结
１. 比例线段的有关概念： 在比例式
：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c
d
a b c d a d b c a c ==() b 、ｄ叫后项，ｄ叫第四比例项，如果ｂ=c,那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段A Ｂ分成两条线段A Ｃ和BC,使AC 2
=AB ·ＢC ，叫做把线段A Ｂ黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质：
a b c d
ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d
d =?=
③等比性质：
……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a
b
===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理:
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。
则
，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF
DF
=== ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成
比例。
③定理:如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定：
①两角对应相等,两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5． 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
中考试题分类汇编 相似三角形
一、选择题
1、如图1,已知A Ｄ与BC 相交于点O,ＡB//CD,如果∠B ＝4０°,∠Ｄ=30°，则∠AOC 的大小为（ )
A ．60°
B ．70° Ｃ.80° D.120°
2、如图,已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ) ?A ．1 : ９ B.１ : 3 C ．１ : 8 ?D ．１ : 2
3、图为?A ＢC 与?DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上,AC 交ＤE 于F 点,且AB // DE 。若?ＡBC 与?ＤEC 的面积相等，且E Ｆ＝９，AB=１２,则DF=?( ） (A) 3 （B) 7 (C) 1２ (D) 15 。
４、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥ＢD ，CD ⊥ＢＤ,且测得ＡＢ=1.2米,BP=1.8米,P Ｄ=１2米, 那么该古城墙的高度是( )
Ａ、6米 B 、８米 C 、18米 D 、２4米
5、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的,点O 是位似中心,D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是( ) Ａ．1:6 ?B.1:5 C.1:4??Ｄ．1:2
6、给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )
A.①真②真 ?
B.①假②真 C ．①真②假 ?D ．①假②假
A B C D O 图1 B A C D E
第4题
B
C
D E A ７、如图２所示,Rt △ABC ∽Rt △DE Ｆ,则cos Ｅ的值等于( ) Ａ. 1
2 Ｂ. 2 C. 32
D ．
3
8、如上图,直角梯形ABC Ｄ中，∠ＢC Ｄ=９0°，ＡD ∥ＢC,B Ｃ＝ＣD,E 为梯形内一点,且∠ＢＥＣ＝90°,将△ＢＥC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF,连E Ｆ交ＣD 于Ｍ.已知ＢC=５,CF=3,则DM:MC 的值为 ( )
Ａ.５:3 Ｂ．3:５ C.4：３ Ｄ.3:４
９、如图,在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于 ?Ａ．5 ?B.4 C ．3 ?D.2
10、已知ABC DEF △∽△，相似比为3,且ABC △的周长为18,则DEF △的周长为（ ）
A ．2??B.3 ?C ．6 Ｄ.54
１１、如图,Rt △ABAC 中，ＡB ⊥AC ,ＡB =3,A Ｃ=４,P 是B Ｃ边上一点,作PE ⊥AB 于E,ＰD ⊥A Ｃ于
D ,设ＢP ＝x ，则PD+ＰＥ＝（ )
A ．
35
x + B.45
x -
C ．
72
Ｄ.
2
12125
25
x x -
１2、 如图，在Rt △ＡBC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系
式是（ )
A 、b a c =+
B 、b ac = Ｃ、2
2
2
b a
c =+ D 、22b a c ==
1１3、如图,△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中
A
B
C
D
E P
E
图
5
阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ )
Ａ．91 Ｂ．92 C ．31 Ｄ.9
4
1４、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ )
1５、在同一时刻,身高１.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为４.8米，
则树的高度为（ ）
A 、4.8米??
B 、6.４米? Ｃ、9.6米
D 、１0米
二、填空题 1、如图,D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可)时,ADE ACB △∽△．
2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 .
3、如图5，平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交
BD 于点F ，如果
2
3
BE BC =， 那么
BF
FD
= ．
4、在Ｒt △ABC 中，∠C 为直角,CD ⊥AB 于点D,
B Ｃ＝3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 5、如图,点1234A A A A ，，，在射线OA 上,点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥.若212A B B △，
323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
为 ．
6、两个相似三角形的面积比S 1:S ２与它们对应高之比h 1：h 2之间的关系为 ．
（第7题） A ． B ． C ． D ．
B
（第5题图）
1 2 3
4
图3 （第12题）
A
B C
E
D
7、如图8，D、E分别是ABC
△的边ＡB、ＡＣ上的点，则使AED
△∽ABC
△的条件是.
8、如图4,已知AＢ⊥BD,ED⊥BＤ，C是线段ＢＤ的中点,且ＡC⊥CE,ＥＤ＝1，BD=4,那么AＢ＝
9、如图,在ABC
△中，D E
，分别是AB AC
，的中点,若5
DE ，则BC的长是.
10、如图3,要测量A、Ｂ两点间距离,在O点打桩,取OA的中点Ｃ，ＯB的中点Ｄ，测得Ｃ
D=30米，则AＢ=_＿____米．
三、解答题
1、如图5，在△ABC中，BC＞ＡC，点D在BC上,且DC＝AC,∠AＣB的平分线CF交ＡD于
Ｆ，点E是ＡB的中点,连结EＦ.
(1）求证:EF∥BC．
（2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
2、如图：在等腰△ＡBＣ中，CH是底边上的高线,点P
是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC
于点E，连接BP交ＡC于点F．
(1)证明：∠CAＥ=∠CＢF;
(2)证明：AE=BF；
(3) 以线段AE ，ＢF 和ＡB 为边构成一个新的三角形ABG(点E 与点F 重合于点G ），记△ABC
和△ＡBG 的面积分别为S △ＡBC 和S △A ＢＧ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △AB Ｇ，求∠Ｃ的取值范围。
３、如图10，四边形ＡBCD 、ＤE ＦG 都是正方形,连接ＡE 、C Ｇ，AE 与ＣG 相交于点M ，ＣＧ与A Ｄ相交于点N.
求证:（1)CG AE =；
（2).MN CN DN AN ?=?
4、如图，在Rt ABC △中,90A ∠=，6AB =,8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于
R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动.设BQ x =,QR y =.
（1)求点D 到BC 的距离DH 的长；
(2）求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围）;
5、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC CD ，于点P Q ，． （1）请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外）；
F
C A
B
P E H A
B
C D E R
P H Q
A D P
O R
(2）求::BP PQ QR ．
6、如图,□ABCD 中,Ｅ是CD 的延长线上一点，ＢE 与AD 交于点F,CD DE 2
1
=。
⑴求证：△ＡＢF ∽△ＣＥＢ；
⑵若△DEF 的面积为2，求□AB ＣD 的面积。
７、如图,在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴,y 轴的正半轴上,且满足
2310OB OA -+-=.
（1)求点A ,点B 的坐标.
(２）若点P 从C 点出发,以每秒１个单位的速度沿射线CB 运动,连结AP .设ABP △的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (3)在(２）的条件下,是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．
8、如图,已知△A ＢC 是边长为６ｃm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从Ａ、B 两点出发,分别沿A Ｂ、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是１c ｍ/s ，点Q 运动的速度是２ｃｍ/s,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为ｔ(s ），解答下列问题: (1)当t ＝2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由；
(2）设△BPQ 的面积为Ｓ（cm 2)，求S 与t 的函数关系式；
(3)作QR //ＢA 交AC 于点Ｒ,连结P Ｒ,当t 为何值时,△APR ∽△PR Ｑ？
第21题图 F
A
D
E
B C
y x
A
O C B
9、如图１０所示，E是正方形ABＣD的边AB上的动点，EF⊥DE交ＢC于点F.
（1）求证:?ＡDＥ∽?BEF;
（２）设正方形的边长为4, AＥ=x，BＦ=y.当x取什么值时,y有最大值?并求出这个最大值.
10.如图，在△AＢD和△ＡCE中,AB=AＤ，AC=AE，∠BAＤ=∠ＣＡE，连结ＢC、DE相交于点F,BC与AD相交于点G.
(1）试判断线段BC、DE的数量关系,并说明理由
(2)如果∠ABＣ=∠CBD，那么线段ＦＤ是线段FＧ和ＦB的比例中项吗?为什么?