离散数学答案(刘玉珍_编著)文件.doc

习题1.1

1、（1）否

（2）否

（3）是，真值为0

（4）否

（5）是，真值为1

2、（1）P：天下雨 Q：我去教室┐P → Q

（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q

（3）P，Q同（2） Q → P

（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q

3、（1）0

（2）0

（3）1

4、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。

（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。

（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。

习题1.2

1、（1）是

（2）是

（3）否

（4）是

（5）是

（6）否

2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q

（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P

（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q

3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)

（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)

4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)

习题1.3

1、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1

（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0

（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0

（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1

（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 1

3、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式

（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)

<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式

（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式

（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式

（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式

（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P

<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式

（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)

<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)

<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))

<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式

4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右

（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右

（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右

（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中

<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)

<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)

<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右

∧(?R∨Q)??(P∨Q)∨Q?右

(5)左?(?P∨Q)

5.(1)左?Q??P∨Q?右

(2)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))

??(?P∨?Q∨R)∨?(?P∨Q) ∨(?P∨R)

?(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q)∨?P∨R

?(P∧Q∧?R)∨((P∨?P)∧(?Q∨?P))∨R

?(P∧Q∧?R)∨(?Q∨?P∨R)

?(P∧Q∧?R) ∨?(P∧Q∧?R)

?T

故P→(Q→R)?(P→Q)→(P→R)

(3).(P→Q)→(P→P∧Q)

??(?P∨Q)∨?P∨(P∧Q)

??(?P∨Q)∨(?P∨P)∧(?P∨Q)

??(?P∨Q)∨(?P∨Q)

?T

故P→Q?P→P∧Q

(4).((P→Q) →Q) →P∨Q

??(?(?P∨Q) ∨Q) ∨P∨Q

?((?P∨Q)∧?Q)∨P∨Q

?(?P∧?Q)∨(Q∧?Q) ∨P∨Q

??(P∨Q)∨(P∨Q)

?T

故(P→Q) →Q?P∨Q

(5).((P∨?P)→Q)∧((P∨?P)→R)→(Q→R)

??((?T∨Q)∧(?T∨R)) ∨?Q∨R

??(Q∧R)∨?Q∨R

??Q∨?R∨?Q∨R

??Q∨T

?T

故((P∨?P) →Q)∧((P∨?P)→R)?Q→R

(6)左?(Q→F)∧(R→F)

?(?Q∨F)∧(?R∨F)

??Q∧?R

??R

??R∨Q?右

6.(1)原式?(?P∧?Q∧R)

(2)原式??P∨?Q∨P??(P∧Q∧?P)

(3)原式?P∨(Q∨?R∨P)?P∨Q∨?R??(?P∧?Q∧R)

7.(1)原式??(?P∨?Q∨P)

(2)原式?(?P∨Q∨?R) ∧?P∧Q??(?(?P∨Q∨?R)∨P∨?Q)

(3)原式??P∧?Q∧ (R∨P) ??(P∨Q∨?(R∨P))

8. (1) (P∨Q)∧((?P∧ (?P∧Q))∨R)∧?P

(2)(P∨Q∨R)∧(?P∧R)

(3)(P∨F)∧(Q∨T)

习题1.4

1.(1)原式??(?P∨?Q)∨((?P∨?Q)∧(Q∨P))

??(?P∨?Q)∨(Q∨P)

?(P∧Q) ∨Q∨P

?Q∨P,既是析取范式又是合取范式

(2)原式?((?P∨Q)∨(?P∨?Q))∧(?(?P∨Q) ∨?(?P∨?Q)) ?(P∧Q)∨(P∧?Q) 析取范式

?P∧(Q∨?Q)合取范式

(3)原式??P∨Q∨?S∨ (?P∧Q)析取范式

?(?P∨(?P∧Q))∨Q∨?S

??P∨Q∨?S合取范式

(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R既是析取范式又是合取范式

2.(1)原式?P∨?Q∨R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111

故原式的主析取范式为:

(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?∧QR)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)

(2)原式?(P∧?Q) ∨R

?(P∧?Q∧(R∨?R))∨((P∨?P)∧R)

?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q)∨( ?P∧R)

?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧(Q∨?Q)∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧R) ?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)

?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)为真的解释是101，100，111，011，001

(3)原式?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))

?((?P∨ (Q∧R)) ∧P)∨(( ?P∨ (Q∧R))∧( ?Q∧?R))

?(?P∧P)∨(Q∧P∧R)∨( ?P∧?Q∧?R)∨(Q∧R∧?Q∧?R)

?(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)

为真的解释是：000,111

(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R?P∨Q∨R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111

故原式的主析取范式为：

(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)

3.(1)原式??P∨Q∨?P∨?Q?T主合取范式，无为假的解释。

(2)原式?(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)

为真的解释为：111，011，001，000，故为假的解释为：010，100，101，110

原式的主合取范式为：

(P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)

(3)由2.(2)知，原式为真的解释是：101，100，111，011，001，故为假的解释是：000，010，110.

故原式的主合取范式为：(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)

(4)由2.(4)知，原式为假的解释是：000，故原式的主合取范式为：P∨Q∨

R

4.(1)左式?(?P∨Q)∧( ?P∨R)

?(?P∨Q∨(R∧?R))∧( ?P∨(Q∧?Q)∨R)

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)

右式??P∨(Q∧R) ?(?P∨Q)∧(?P∨R)

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)

故原式成立。

(2)左式（P∧┐Q）∨（P∧Q），

右式（P∨P）∧(┐Q∨P)P∧（P∨┐Q）P（P∧┐Q）∨（P∧Q），

故原式成立

(3)左式（P∧Q）∧┐（P∧Q）F，主析取范式

右式┐（P∨Q）∧（P∨Q）F，

故原式成立

(4)左式T∨（P∧Q）T，主合取范式

右式┐（P∧Q）∨（P∧Q）T，

故原式成立

习题1.5

1.（1）①P∧Q 前提

②P ①，化简

③P→(Q→R) 前提

④Q→R ②，③，MP

⑤Q ①，化简

⑥R ④，⑤，MP

（2）①R 前提

②┐（Q∧R）前提

③┐Q∨┐R ②，E11

④┐Q ①，③，析取三段论

⑤┐P∨Q 前提

⑥┐P ④，⑤，析取三段论

（3）①┐S 假设前提

②S∨P 前提

③P ①，②，析取三段论

④（P→Q）∧（P→R）前提

⑤P→Q ④，化简

⑥P→R ⑤，化简

⑦Q ③，⑤，MP

⑧R ③，⑥，MP

⑨Q∧R ⑦，⑧，合取引入

⑩┐（Q∧R）前提

?（Q∧R）∧┐（Q∧R）⑨，⑩，合取引入

?F ?，E21

故原推理成立

（4）①┐R 假设前提

②（P→Q）→R 前提

③┐（P→Q）①，②，拒取式

④P∧┐Q ③，E14，E10

⑤Q∧T 前提

⑥P∧┐Q∧Q∧T ④，⑤，合取引入

⑦F ⑥，E21，E17

故原推理成立

2.（1）①P 附加前提

②┐P∨Q 前提

③Q ①，②，析取三段论

④┐Q∨R 前提

⑤R ③，④，析取三段论

⑥R→S 前提

⑦S ⑤，⑥，MP

⑧P→S CP

（2）①P 附加前提

②P→Q 前提

③Q ①，②，MP

④P∧Q ①，③，合取引入

⑤P→P∧Q CP

（3）①P∧Q 附加前提

②P ①，化简

③P∨Q ②，附加规则

④P∨Q→R 前提

⑤R ③，④，MP

⑥P∧Q→R CP

（4）①P 附加前提

②Q 附加前提

③P→（Q→R）前提

④Q→R ①，③，MP

⑤R ②，④，MP

⑥Q→（R→S）前提

⑦R→S ②，⑥，MP

⑧S ⑤，⑦，MP

⑨P→Q→R CP

3.（1）①┐（┐P）假设前提

②P ①，E1

③P→┐Q 前提

④┐Q ②，③，MP

⑤Q∨┐R 前提

⑥┐R ④，⑤，析取三段论

⑦R∧┐S 前提

⑧┐R∧R∧┐S ⑥，⑦，合取引入

⑨F ⑧，E21，E17

故原推理成立

（2）①┐（R∨S）假设前提

②┐R∧┐S ①，E10

③┐R ②，化简

④┐S ②，化简

⑤P→R 前提

⑥Q→S 前提

⑦┐P ③，⑤，拒取式

⑧┐Q ④，⑥，拒取式

⑨┐P∧┐Q ⑦，⑧，合取引入

⑩┐（P∨Q）⑨，E10

?P∨Q 前提

?┐（P∨Q）∧（P∨Q）⑩，?，合取引入

?F ?，E21

故原推理成立

（3）1.┐(┐S) 假设前提

2.S 1,E1

3.S→┐Q 前提

4.┐Q 2, 3,MP

5.┐R ?Q前提

6.(┐R→Q) ∧(R→┐Q) 5,E15

7.┐R→Q 6,化简

8.R 4, 7,拒取式

9.┐R 前提

10.R∧┐R 8,9,合取引入

11.F 10,E21

故反推原理正确

(4) 1.┐(P?Q) 假设前提

2.┐（P→Q）∨┐(Q→P) 1,E15,E11

3.┐(P→Q) →┐(R∨S) 前提

4. (Q→P) ∨┐R 前提

5.┐(Q→P) →┐R 4,E14

6.┐(R∨S) ∨┐R 2，3，5构造二难性

7.┐((R∨S) ∧R) 6，E11

8.┐R 7，E13

9.R 前提

10.┐R∧R 8，9合取引入

11.F 10，E21

故反推原理正确

4 （1）先证├┐┐A→A

①┐┐A 附加前提

②┐┐A→(┐A→┐┐┐A) P31例1.5.7中用┐A置换

用┐┐┐A置换A

③(┐A→┐┐┐A) ①，②，MP

④(┐A→┐┐┐A) →(┐┐A→A) L3中用┐┐A置换B

⑤┐┐A→A ③，④，MP

⑥A①，⑤，MP

⑦┐┐A→A 演绎定理

再证├A→┐┐A

①┐┐┐A→┐A 上述结论中用┐A置换A

②(┐┐┐A→┐A) →(A→┐┐A) L3中用┐┐A置换A，用A置

换B

③A→┐┐A ①，②，MP

最后证├((B→A) →(┐A→┐┐B))

①B→A 附加前提

②┐┐B→B 上述结论

③┐┐B→A ①，②，HS

④A→┐┐A 上述结论

⑤┐┐B→┐┐A ③，④，HS

⑥(┐┐B→┐┐A) →(┐A→┐B) L3中用┐B置换A，用┐A

置换B

⑦┐A→┐B ⑤，⑥，MP

⑧(B→A) →(┐A→┐B) 演绎定理

(2)先证├┐(A→B) →A

①┐(A→B) 附加前提

②┐A→(A→B) P31,例1.5.7

③(┐A→(A→B)) →(┐(A→B) →┐┐A) （1）

④┐(A→B) →┐┐A ②，③，MP

⑤┐┐A ①，④，MP

⑥┐┐A→┐A 上述结论

⑦A ⑤，⑥，MP

⑧┐(A→B) →A 演绎定理

再证├┐(A→B) →(B→A)

①┐(A→B) →A 上述结论

②A→(B→A) L1

③┐(A→B) →(B→A) ①，②，HS

习题1.6

1.P→Q?┐P∨Q?(P↓P)∨Q?┐((P↓P) ↓Q) ?((P↓P) ↓Q)↓((P↓P)

↓Q)

(P∨Q) ∧R?┐(┐(P∨Q) ∨┐R)?┐((P↓Q) ∨(R↓R))?

(P↓Q)↓(R↓R)

2.P∧(Q→R)?P∧(┐Q∨R)?(P∧┐Q)∨(P∧ R)?┐(P↑┐Q) ∨┐(P

↑R)?┐((P↑(Q↑Q)) ∧(P↑R))?(P↑(Q↑Q))↑(P↑R)

3.(1)左式?P∧Q?┐(┐P∨┐Q)?右式

(2)左式?P∨Q?┐(┐P∧┐Q)?右式

4．（1）否，见P33，例1.6.1

（2）否，见P33，例1.6.1

（3）是，P→Q?┐(P Q),P∧Q?┐(┐P∨┐Q)?┐(P→┐Q) ?P┐Q, P∨Q?┐P→Q?┐(┐P Q),P?Q?(P→Q)∧(Q→P)?

┐(┐(P→Q) ∨┐(Q→P))?┐((P→Q)→┐(Q→P)) ?

(P→Q) ┐(Q→P)?┐(P Q) (Q P)

{┐，}中去掉┐，无法表示否定，去掉，无法表示二元运算

(4 ) 否。{┐，→}为极小全功能集

(5 ) 否。因为没公式A(P,Q)仅含P,Q,┐, ⊕,则A(P,Q)仅在两种解释下为真，

而P∧Q仅在一种解释下为真，故A(P,Q)与A不等价，即P∧Q不能用

仅含┐⊕的公式等价地表示。

（6）是。┐P?P↑P,

P∧Q?┐(P↑Q)?(P↑Q)↑(P↑Q),

P∨Q?┐(┐P∧┐Q)?┐P↑┐Q?(P↑P)↑(Q↑Q),

P?Q?(P→Q)∧(Q→P) ?┐((P→Q) ↑(Q→P))?

┐((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P))) ?

((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P))) ?((P↑(Q↑Q)) ↑(Q↑(P↑P)))

↑((P↑(Q↑Q))↑(Q↑(P↑P))

(7) 否，由（6）知

(8) 是，类似于（6）

习题2.1

1.(1)R(x):x是实数，M(x,y):x比y大，┐?x(R(x)∧?y(R(y) →M(x,y)))

(2)R(x):x是实数，M(x,y):x等于y，N(z,x,y):z在x与y之间,?x?y(R(x)∧R(y)

∧┐M(x,y) →?z(R(z)∧N(z,x,y) ∧┐M(z,x) ∧┐M(z,y)))

(3)E(x):x是偶数，M(x):x是质数。?!x(E(x)∧M(x))

(4)O(x):x是奇数，E(x):x是偶数。┐?x(E(x)∧M(x))

(5)N(x):x是自然数，M(X):x+1=0,┐?x(N(x)∧M(x))

(6)N(x):x是自然数，M(x,y):x+1=y, ?x(N(x)→?!y(N(y) ∧M(x,y)))

(7)M(x):x是火车，N(x):x是汽车，F(x,y):x比y快，?x(M(x)→?y(N(y)∧F(x,y))) 2. (1)┐?xL(x,0)

(2) ?x?y?z(L(x,y)∧L(y,z) →L(x,z))

(3) ?x?y(L(x,y)→?z(L(z,0)∧G(f(x,z),f(y,z)))).其中f(u,v)=uv

(4)?x?yM(x,y,y)

(5) ?x?yA(x,y,x)

3. (1)?!x(E(x)∧M(x))

(2)N(x):x是自然数，F(x,y):x大于y,M(x,y):x-1=y

?x(N(x)∧F(x,0) →?!y(N(y) ∧M(x,y)))

(3)M(x):x是平面上的点，N(x):x直线，F(z,x,y):z过x与y，

?x?y(M(x)∧M(y) →?!z(N(z) ∧F(z,y,x)))

(4)M(x):x是平面上的点，N(x):x是平面上的直线，F(x,y):x在y上，G(x,y):x

过y. H(x,y):x平行y

?x?y(N(x) ∧M(y) ∧┐F(y,x)→?!z(N(z)∧G(z,y) ∧H(z,x)))

4.(1)存在x,对任意y,有x*y=1;

(2)对任意x,存在y,使x*y=1.

(3)对任意x,存在y，使x*y=0

(4)存在x,对任意y，有x*y=0

(5)对任意x,存在y，使x*y=x

(6)存在x,对任意y，有x*y=x

(7)对任意x和y，存在y，使x-y=y

习题2.2

1. (1)x是约束变元，也是约束出现；y是自由变元，也是自由出现。

(2)?x(P(x)∨Q(x))中的x皆为约束出现，也是约束变元，R(x)中的x为自由出

现，也是自由变元

(3)x,y是约束出现，也是约束变元；z是自由出现，也是自由变元。

(4)?x(P(x)∧?xQ(x))中的x圴为约束出现，也是约束变元；?yR(z,y)中的y为

约束出现，也是约束变元z和R(x,y)中的x与y为自由出现也是自由变元2. (1) ?的辖域为P(x)→Q(x,y);?的辖域为P(x)

(2)?,?的辖域均为R(x,y)∨P(y)

(3) ?x,?y的辖域为R(x,y)∨P(y,z);?x的辖域为Q(x)

(4) ?,?的辖域均为R(x,y)

3. (1) ?zP(z)∨?y?wR(w,y)∨Q(x)

(2) ?u(P(u,y)∨Q(y))∧?vR(∏,v,z)

(3)?u?vP(v,u)→?wP(w,y)∧?zR(x,z)

习题2.3

1. (1)P(1)∨Q(1)=1.P(2) ∨Q(2)=1.原式在I下为1

(2)由(1)知，原式在I下为1

(3)P(1) ∧Q(1)=0,原式在I下为0

(4)P(1) ∧Q(1)=0,P(2) ∧Q(2)=0.原式在I下为0

(5)P(1) →Q(1)=1,原式在I下为0

(6)P(2) →Q(2)=1,原式在I下为1

(7)P(2)=0,?xP(x)=0;Q(1)=0, ?xQ(x)=0,原式在I下为0

(8)P(1)=1, ?xP(x)=1;Q(2)=1, ?xQ(x)=1,原式在I下为1

2.(1)构造I1：DI1={α}，,,原式在I1下为0

构造I2: DI2={α，β}，,原式在I2下为1，故得证

(2) )构造I1：DI1={α}，,,原式在I1下为0

构造I2: DI2={α} , ,原式在I2下为1，故得证

(3) 构造I1：DI1={α},,原式在I1下为0

构造I2: DI2={α},,原式在I2下为1，故得证

(4)构造I1：DI1={α,β},,原式在I1下为0

构造I2: DI2={α},,原式在I2下为1，故得证.

3. (1)成立。若?xA(x)→?xB(x)为0，则?xA(x)为1，且?xB(x)为0，即?I，?

α∈DI,A（α）为1，且?β∈DI，B(β)为0，则A(β) →B(β)为0，故?x(A(x)→B(x))在I下为0，从而原式成立。

(2)不成立。构造I: DI={α，β}，,,则A(α) →B(α)

为0，故?x(A(x)→B(x))为0,而?xA(x), ?xB(x)在I下均为0，故?xA(x)→?xB(x)在I下为1，从而(?xA(x)→?xB(x))→?x(A(x)→B(x))在I下为0，故原式不成立。

(3)成立。左式?┐?xA(x)∨?xB(x) ??x┐A(x) ∨?xB(x)?x(┐A(x) ∨

B(x)) ?右式

(4)不成立。左式??x(┐A(x) ∨B(x))?x┐A(x) ∨?xB(x) ?┐?xA(x)∨

?xB(x) ?右式

4. (1)左式??x(A(x)∨?yB(y)) ?右式

(2)左式??x(A(x)∧?yB(y)) ??xA(x)∧?yB(y) ?右式

(3)左式??x(A(x)∧?yB(y)) ?右式

(4)左式??x(A(x)→?yB(y)) ?右式

(5)左式??x(A(x)→?yB(y)) ?右式

5.由?x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ?x┐P(x) ∧?x┐Q(x)知┐?x(┐P(x) ∧┐

Q(x))┐(?x┐P(x) ∧?x┐Q(x))

习题2.4

1.（1）反式?（?xP(x)∧?x┐Q(x)）∨(?xQ(x)∧?yR(y))??x(P(x)∧┐Q(x) )

∨(?zQ(z)∧?yR(y))??x?z?y((P(x)∧┐Q(x))∨(Q(z) ∧R(y))) (2)反式??yP(y)∨(?x┐Q(x) ∧?xR(x))??yP(y)∨?x(┐Q(x) ∧R(x))

??y?x(P(y)∨(┐Q(x) ∧R(x)))

(3)反式??x?y┐P(x,y) ∨(?xQ(x,y)∧R(x))??u?v┐P(u,v) ∨(?uQ(u,y)

∧R(x))??u?v(┐P(u,v) ∨(Q(u,y) ∧R(x)))

(4)反式??y?x(P(x)∧┐Q(x,y))∨?y┐R(y) ∨?xP(x) ??y(?x((P(x)∧┐

Q(x,y))∨P(x)))∨?y┐R(y)??y?xP(x)∨?y┐R(y)??xP(x)∨?y┐R(y)??x?y(P(x)∨┐R(y))

(5)反式??x┐P(x) ∨?xQ(x) ??x(┐P(x) ∨Q(x))

2. (1) 反式的skolem范式为：?x?y((P(x)∧┐Q(x))∨(Q(f(x)) ∧R(y)))

(2) 反式的skolem范式为: ?y ?x(P(y)∨(┐Q(x) ∧R(x)))

(3) 反式的skolem范式为: ?v(┐P(a,v) ∨(Q(a,y) ∧R(x)))

(4) 反式的skolem范式为: ?y(P(a)∨┐R(y))

(5) 反式的skolem范式为:┐P(a) ∨Q(a)

3.不正确。由于?xP(x,y)∧?xQ(x) ?x(P(x,y)∧Q(x)),故（?xP(x,y)∧?xQ(x)）→?yR(y) ?x(P(x,y)∧Q(x))→?zR(z)

习题2.5

1.由P37例

2.1.3知，即证明?x(M(x)→D(x))∧M(a) D(a)

①?x(M(x)→D(x)) 前提

②M(a)→D(a) ①,VS

③M(a) 前提

④D(a) ②,③,MP

2. (1)①?x(P(x)→Q(x)) 前提

②P(z) →Q(z) ①,VS

③?y┐Q(y) 前提

④┐Q(z) ③,VS

⑤┐P(z) ②,④,拒取式

⑥?x┐P(x) ⑤,UG

(2)①┐?x(P(x)∨Q(x)) 假设前提

②?x(┐P(x) ∧┐Q(x)) ①,Q1,E10

③?xP(x) 前提

④P(c) ③,ES

⑤┐P(c) ∧┐Q(c) ②,VS

⑥P(c) ∧┐P(c) ∧Q(c) ④,⑤,合取引入

⑦F ⑥,E21,E17

故反式成立

(3)①?xP(x) 附加前提

②P(y) ①,VS

③?x(P(x)→ Q(x)) 前提

④P(y) →Q(y) ③,VS

⑤Q(y) ②,④,MP

⑥?xQ(x) ⑤,UG

⑦?xP(x)→?xQ(x) CP

(4)①?x(P(x)→R(x)) 前提

②P(c) →R(c) ①,ES

③?x(┐P(x) →Q(x)) 前提

④┐P(c) →Q(c) ③,VS

⑤?x┐Q(x) 前提

⑥┐Q(c) ⑤,VS

⑦P(c) ④,⑥,拒取式，E1

⑧R(c) ②,⑦,MP

⑨?xR(x) ⑧.EG

(5)①?x(P(x)∧Q(x)) 前提

②P(c) ∧Q(c) ①,ES

③P(c) 化简

④?x(P(x)→Q(x) ∧R(x)) 前提

⑤P(C) →Q(c) ∧R(c) ④,VS

⑥Q(c) ∧R(c) ③,⑤,MP

⑦?x(Q(x)∧R(x)) ⑥,EG

3.(1)①?xP(x) 附加前提

②P(c) ①,ES

③┐(?xP(x)∧Q(a)) 前提

④?x┐P(x) ∨Q(a) ③,Q3,E11

⑤┐P(c) ∨┐Q(a) ④,VS

⑥┐Q(a) ②,⑤,析取三段论

⑦?xP(x)→┐Q(a) CP

(2)①?x(P(x)∨Q(x)) 前提

②P(y) ∨Q(y) ①,VS

③?x┐P(x) 前提

④┐P(y) ③,VS

⑤Q(y) ②,④,析取三段论

⑥?xQ(x) ⑤,UG

(3)①┐?x(P(x)∨Q(x)) 前提

②?x（┐P(x) ∨┐Q(x)）①,Q4,E11

③┐P(c) ∨┐Q(c) ②,ES

④?xP(x) 前提

⑤P(c) ④,VS

⑥┐Q(c) ③,⑤,析取三段论

⑦?x┐Q(x) ⑥,EG

⑧┐?xQ(x) ⑦,Q4

4.(1)为真。

①?yP(y) 前提

②P(c) ①,ES

③?x(P(x)→Q(x)) 前提

④P(c) →Q(c) ③,VS

⑤Q(c) ②,④,MP

⑥?zQ(z) ⑤,EG

(2)为假。构造I：DI={α},, ,则?x(P(x)∨Q(x))为1，而?xP(x)

为0，故?x(P(x)∨Q(x))→?xQ(x)为0.

(3)为真。

①?x(P(x)→Q(x)) 前提

②P(c) →Q(c) ①,VS

③┐Q(c) 前提

④┐P(c) ②,③,拒取式

⑤┐P(c) ∨Q(c) ④,附加规则

⑥P(c) →Q(c) ⑤,E14

⑦?x(P(x)→Q(x)) ⑥,EG

习题3.1

1.

(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(2) {aa, ab, ba, bb}

(3) {-1,1}

(4) {11,13,17,19,23,29}

(5) {1,2,3, (79)

(6) {2}

2. 用描述法表示下列集合:

(1) 不超过200的自然数的集合;

{|N 200}x x x ∈∧≤

(2) 被5除余1的正整数的集合;

+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧?∈∧=+

(3) 函数y =sin x 的值域;

{|R 11}y y y ∈∧-≤≤

(4) 72的质因子的集合;

{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧?∈∧≤<→/

(5) 不等式03

1>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>

(6) 函数2

312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠

3. 用归纳定义法描述下列集合:

(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;

① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ?

② 如果x A ∈，

则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ?

(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;

① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ?

② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ?

(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;

① 1A ∈

② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ?

(4) 5的正整数倍的集合.

① 5A ∈

② 如果x A ∈，则5x A +∈

4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):

(1) ;A ∈?

(2) ;A ?? (3) };{A A ∈ (4) ;A A ? (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{?=?

答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。

5. 判断下列命题中哪些为真：

(1) {,{}}?∈?? (2) {,{}}???? (3) {}{,{{}}}?∈??

(4) {}{,{{}}}???? (5) {{}}{,{}}?∈??

(6) {{}}{,{}}???? (7) {{}}{,{,{}}}?∈???

(8) {{}}{,{,{}}}????? (9) {,}{,,{},{}}a b a b a b ∈

(10) {,}{,,{},{}}a b a b a b ? (11) {}??? (12) {}???

(13) ??? (14) {}?∈? 答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。

6. 设A 和B 是集合，A B ?和A B ∈能同时成立吗？为什么？

答：能。当{}B A A =时，A B ?和A B ∈同时成立。

7. 设A 和B 是集合，A B ?和B A ∈能同时成立吗？为什么？

答：不能。若A B ?和B A ∈同时成立，则我们能得到B B ∈，而这是不可能的。

8. 设A ，B 和C 是集合，若A B ∈，且B C ∈，则A C ∈可能成立吗？A C ∈是否总能成立？为什么？

答：A C ∈可能成立。比如当{}B A ∈，{,}C A B =时，A B ∈，B C ∈和A C ∈同时成立。但结论不是总成立。比如{}B A ∈，{}C B =时，A B ∈且B C ∈，但A C ∈不成立。

9. 设A ，B 和C 是任意集合，证明或否定下列断言：

(1) 若A B ?，且B C ?，则A C ?

结论成立。因为x A x B x C ∈?∈?∈，所以A C ?

(2) 若A B ?，且B C ?，则A C ∈

结论不成立。例如当{},{,},{,,}A a B a b C a b c ===时，有A B ?，且B C ?，但A C ?

(3) 若B A ∈，且C B ∈，则C A ∈s

命题为假。设{},{}B A C B ==,易知B A ∈，且C B ∈，但C A ?

(4)若B A ∈，且B C ?，则C A ∈

结论成立。(题目有误，应改为“若B A ∈，且B C ?，则C A ∈”)

B A ∈∧B

C ?B A ∈∧?x( x ∈A →x ∈φ) ?x(┐(x ∈A ∨0) ┐?x (x ∈

A)A=φ

10. 设A, B 和C 是任意集合. 证明或否定下列断言:

(1) 若A B ?, 且B C ?, 则A C ?

答: 此断言不正确。例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ?和B C ?, 但A C ∈

(2) 若A B ∈, 且B C ?, 则A C ?

答: 此断言不正确。例如当A ={a }, B ={{a },b }, C ={{a },c }时, 有A B ∈和B C ?, 但A C ∈

(3) 若A B ?, 且B C ?, 则A C ?

答: 此断言不正确。例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ?和B C ?, 但A C ∈

(4) 若A B ?, 且B C ?, 则A C ?

答: 此断言不正确。例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ?和B C ?, 但A C ∈

11. 证明：A ??当且仅当A =?

证：必要性. 因为A ??和同时成立A ??，所以A =?.

充分性. 因为空集是任何集合的子集, 而A =?, 所以A ??

12. 确定下列哪些集合是相等的:

A 1={a ,b } A 2={b ,a } A 3={a ,a ,b } A 4={a ,b ,c }

A 5={x |(x -a )(x -b )(x -c )=0} A 6={a ,b ,d } A 7={x |{x 2-(a +b )x +ab =0}

答: A 1, A 2, A 3, A 7相等, A 4与A 5相等.

13. 设n 个集合A 1, A 2,…A n 满足关系121...n A A A A ????. 证明: A 1= A 2=…= A n . 证: 对任意的2i n ≤≤从条件我们得到1i A A ?和1i A A ?, 所以我们有1i A A =, 因此A 1= A 2=…= A n .

习题3.2

1. 设全集U ={a,b,c,d,e}, A={a,d} B={a,b,c}, C={b,d}. 求下列各集合: (1) A B C (2) A B C (3) A B C (4) ()()A B ρρ-

(5) ()

()A B B C -- (6) ()A B C ⊕ (7) ()A B C ? 解：(1) {}A

B C a = (2) A B C U =

(4) ()(){{},{,}}A B d a d ρρ-=

(5) ()(){,,}A B B C a c d --=

(6) (){,}A B C b d ⊕=

(7) (){,,}A B C a d e ?=

2. 设A , B 和C 是集合，试把A B C 表示成各不相交的集合之并.

解：()()A B C A B A C

A B =

3. 设A , B 和C 是集合.

(1) 若A B A C =，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？

答：不一定。例如当Ａ＝Ｕ时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。

(2) 若A B A C =，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？

答：不一定。例如当A =?时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。

(3) 若A B A C ⊕=⊕，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？

答：一定。

证明如下：

①若A =?，则A B ⊕=?和A C ⊕=?，从而Ｂ＝Ｃ.

②若A ≠?和B =?, 则A B A C ⊕=⊕等价于A A C A C =-, 若x A ∈, 则x A C ?, 因为x A ∈, 所以x C ?, 说明A C =?, 并且A A C =, 从而C =? ③若A ≠?并且B ≠?, 条件A B A C ⊕=⊕等价于A B A B A C A C -=-, 则

()()

x B x B x A x B x A ∈?∈∧∈∨∈∧?()()x A x A B A B x A x A B A B ?∈∧?-∨?∧∈-

()()x A x A C A C x A x A C A C ?∈∧?-∨?∧∈-

()()x A C x A C x A x A C ?∈∧∈∨?∧∈

x C ?∈

从而B C ?

同理可证C B ?

因此B C =

4. 设{{,},{,},{,},}a b b c a c A =?, 试计算:

(1) A (2) A (3) {}A (4) {}A

(2)

A =? (3)

{}{{,,}}{,,}a b c a b c A == (4) {}{}A =?=?

5. 求下列集合的幂集：

(1) {{}}?

解: ({{}}){,{{}}}ρ?=??

(2) {,,}a b c

解: ({,,}){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}a b c a b c a b a c b c a b c ρ=?

(3) }}{},,{{c b a

解：}}}{},,{{}},{{}},,{{,{}}){},,({{c b a c b a c b a ?=ρ

(4) {,{},{{}}}???

解: ({,{},{{}}}){,{},{{}},{{{}}},{,{}},{,{{}}},

{{},{{}}},{,{},{{}}}}ρ???=?????????????

(5) {,,}a b b

解: ({,,}){,{},{},{,}}a b b a b a b ρ=?

6. 判断下列哪些运算结果是对的, 那些是错的:

(1) {}??=? (2) {}??=? (3) {}{,{}}{}???=?

(4) {,{}}{}{,{}}??-?=??

(5) {,{}}{{}}??-?=?

(6) {,{}}{{}}{}??-?=? 答: (1),(3)和(6)是对的, (2),(4)和(5)是错的.

习题3.3

1. 证明下列各式：