等差数列与等比数列的综合问题
等差数列与等比数列的综合问题
等差数列与等比数列的互化
⑴．若{}n a 为正项等比数列，则{lg }n a 为等差数列，首项为1lg a ，公差为lg q ．
⑵．若{}n a 为等差数列，则{}n
a a 为等比数列，首项为1
a a ，公比为d a ．
双基自测
1．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中12a =，11b =，22a b =，432a b =，且存在常数α，β，使得log n n a b αβ=+对每一个正整数n 都成立，则βα= ．
2．在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2
n n a a n
S +=整理为
111
22n n S a a n =+后可知：点111(,)1S P a ，222(,)2S P a ，…，(,)n n n S P a n
，…(*n N ∈)都在直线111
22
y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为
(1)q q ≠的等比数列，则点111(,)P a S ，222(,)P a S ，…，(,)n n n P a S ，…(*
n N ∈)在
直线_____________ 上．q
a x q q
y -+-=
111 3．“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数m ，
()n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列， ．
考点一 等差数列、等比数列的基本计算
14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54＝2014，且存在正
整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ____ ．
【解】因a 54＝2014，故1532014a d +=，故1
3853
a d =-
，0d >，且为正整数，故a 1是53的倍数，因a 1，a 54，a k 成等比数列，故①．若153a =，37d =；
②．若1106a =，36d =；③．若1212a =，34d =；④．11007a =，19d =，故公差d 的所有可能取值之和为126．
13．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n n
S
a 也是等差数列，则{}n n
S a 的前n 项和n T 为 ____________ ．
【解】设等差数列{}n a ，首项1a ，公差为d ，故21a a d =+，312a a d =+，因
{
}n n S a 也是等差数列，故312132
2S S S a a a +=，故1111113()2(2)
2a a d a d a a d a d +++=
++，得21a d d =，0d ≠，即1a d =，故对于数列{}n n S a ，首项为111S a =，公差为：21211
2
S S a a -=，则
{}n
n
S a 的前n 项和为：2*3,4n n n T n N +=∈． 【例1】已知等差数列{}n a 的公差是d ，n S 是该数列{}n a 的前n 项和．
⑴．试用d ，m S ，n S 表示m n S +，其中m ，n 均为正整数； ⑵．利用⑴的结论求解：“已知m n S S =，求m n S +”；
⑶．若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项和为n S ，试
类比问题⑴的结论，写出一个相应的结论且给出证明，并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列{}n b ，其中105S =，2015S =，求数列{}n b 的前50项和50S ．” 法一：⑴．不妨设m n ≤，则
12121()()[(m n m m m m n m S a a a a a a S a ++++=++++++
+=+
2)()()]n m n md a md a md S S mnd ++++
++=++，即m n m n S S S mnd +=++；
法二：设数列{}n a 的首项为1a ，则1(1)2n n n S na d -=+，1(1)
2
m m m S ma d -=+，故m n S +=
22111()(1)2(1)
()()222
m n m n m n mn m n m m m n a d m n a d ma d ++-++---++=++=++
1(1)2
m n n n na d mnd S S mnd -++=++；
⑵．由条件可得，1(1)2m m m S ma d -=+
①，1(1)
2
n n n S na d -=+②，①n ?-②得，11
()(1)(1)22
n m n S mn m d mn n d -=
---，整理得，2n mnd S =-，则m n
m n S S S mnd +=++=220n n S S -=；
⑶．类比问题⑴的结论得到等比数列的结论是：若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项和为n S ，则对任意的正整数m ，n ，都有n m n m n S S q S +=+；
证明如下：不妨设m n ≤，则
12121()()(m m n m m m m n m S b b b b b b S b q ++++=++
++++
+=+
212()m m m m n m n m n b q b q S q b b b S q S ++
+=+++
+=+，故n m n m n S S q S +=+．
问题回答如下：由102010101010S S S q S +==+得，10201010155
25
S S q S --=
==，则301020S S +==101020521535S q S +=+?=，故20
2502030203015235155S S S q S +==+=
+?=． 【练习1】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*2()n
n
S n N S ∈是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
⑴．若数列{2}n
b 是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{}n b 是否为“和等比数列”；
⑵．若数列{}n c 是首项为1c ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，试探究d 与1c 之间的等量关系．
解：⑴．因数列{2}n
b 是首项为2，公比为4的等比数列，故
1212242n n n b --=?=，因此21n b n =-．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =，
224n T n =，故
24n
n
T T =，因此数列{}n b 为“和等比数列”； ⑵．设数列{}n a 的前n 项和为n R ，且
2(0)n
n
R k k R =≠，因{}n c 是等差数列，故1(1)2n n n R nc d -=+，212(21)22n n n R nc d -=+，故1212(21)22(1)2
n n
n n nc d R k n n R nc d
-+==-+对于*
n ∈N 都成立，化简得，(4)k dn -+ 1(2)(2)0k c d --=，则1(4)0,
(2)(2)0
k d k c d -=??--=?，因
0d ≠，故4k =，12d c =，因此d 与1c 之间的等量关系为12d c =．
考点二．消项法求通项公式
【例2】在数列{}n a 中，11a =，且2123
(2)n a a a a n n =≥，则n a =
___________．
解：由2123(2)n a a a a n n =≥①知，2
1231
(1)(3)n a a a a n n -=-≥②，故由①②得，22
1(3)(1)n n a n n a n -=≥-，当2n =时，有2
122a a =，又11a =，故222a =，则222121a a =，故2*21()(1)n n a n n N a n -=∈-，则222121a a =，232232a a =，…，22
1(1)
n n a n a n -=-，将上述1n -个式子相乘得，21
n a
n a =，因11a =，故2n a n =．
【练习2】在数列{}n a 中，19a =，且121222
(2)35
21
n n a a a a n n -=+++
≥-，则n a =__ __________． 【解】由121222
(2)3
5
21
n n a a a a n n -=++
+
≥-知，1122222(3)3523n n a a a a n n --=
+++≥-，两式相减得，112(3)21n n n a a a n n ---=≥-，即1
21
(3)21n n a n n a
n -+=≥-，当2n =时，有2123a a =，故2123a a =，3275a a =，4397a a =，…，122123n n a n a n ---=
-，121
21
n n a n a n -+=-，将上述1n -个式子相乘得，12(21)15n a n a +=，因19a =，故6(21)
5
n n a +=
． 【例3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n n P a S n N +∈在函数
()1f x x =+的图象上．
⑴．求1a 的值；
⑵．若数列{}n b 满足：1
2
4444(1)n n b b b b
n n S ?=-，且25b =．求数列{}
n b 的通项公式．
解：⑴．因点1(,)n n n P a S +在函数()1f x x =+的图象上，故*11()n n S a n N +=+∈，因11S a ==21a +，211a a =-，12231a a S a +==+，3122a a =-．又数列{}n a 为等比数列，故22a =13a a ，即2111(1)(22)a a a -=-，故11a =-，或11a =(舍)． ⑵．由⑴知，数列{}n a 是以11a =-为首项，2q =为公比的等比数列．故
1(12)112
n n S --==--2n ，12n n S -=．由121244444(1)n n n
b b b b b b b n n S ++???+????==-22222n n nb n nb n +=?=得，122(b b ++ )2n n b n nb ???+=+对*n N ∈成立①．则
12112()2(1)(1)n n n b b b b n n b ++++???++=+++对*n N ∈成立②．②-①，得1122(1)n n n b n b nb ++=++-，即1(1)2n n n b nb +-+=对*n N ∈成立③．则有
212(1)n n nb n b +++=+对*n N ∈成立④．④－③得，211(1)(1)n n n nb n b n b +++--=+-n nb ，
21()2n n n n b b nb +++=，即212n n n b b b +++=对*n N ∈成立．由等差数列定义知，{}
n b 为等差数列．当1n =时，由①式得1122b b =+，12b =，公差213d b b =-=，故*31()n b n n N =-∈．
考点三 等差数列、等比数列的综合问题 ㈠．求通项公式及等差数列、等比数列的判定
【例4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知n ?，*m N ∈，当n m >时，总有n S - ()m n m S S m n m d -=+-．
⑴．求证：数列{}n a 是等差数列；
⑵．若正整数n ，m ，k 成等差数列，比较n k S S +与2m S 的大小，并说明理由；
⑶．探究：p ：“n ?，*m N ∈，当n m >时，总有
()n m n m S S S m n m d --=+-”是q ：“数列{}n a 是等差数列”的充要条件吗？并给出证明！由此类比，你能给出数列{}n b 是等比数列(公比为q ，且0q ≠)的充要条件吗？
解：⑴．因当n m >时，总有()n m n m S S S m n m d --=+-，故当2n ≥时，n m >11n n S S S --= (1)n d +-，即1(1)n a a n d =+-，且1n =也成立，故当2n ≥时，111(1)(2)n n a a a n d a n d d --=+--+-=，故数列{}n a 是等差数列； ⑵．因正整数n ，m ，k 成等差数列，故2n k m +=，故
1(1)
22n k m n n S S S na d -+-=+
+
222211(1)(1)2[][2()]()22224
k k m m d n k d ka d ma d n k n k --++-+=+-=-，故①当0
d >时，2n k m S S S +≥；②当0d <时，2n k m S S S +≤；③当0d =时，2n k m S S S +=； ⑶．由⑴充分性已经得证，下面证必要性： 因数列{}n a 是等差数列，故当n m >时，
12()
n m n m m m n n m S S S a a a S n m -++---=+++-=-1111()(1)()(1)[()]()()(22
m m n m n m n m n m a d n m a d n m a a m n ++------+--+=--=-
)m d ，故()n m n m S S S m n m d ---=-，故p ：“对n ?，*m N ∈，当n m >时，总
有n m S S - ()n m S m n m d -=+-”是q ：“数列{}n a 是等差数列”的充要条件，故“数列{}n b 是等比数列(公比为q ，且0q ≠)”的充要条件是“对n ?，*m N ∈，当n m >时，总有m n m n m S S q S --=．
【练习4】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且
1()(1)n n n S a S λ++=+?1n a +对一切*n N ∈都成立．
⑴．若1λ=，求数列{}n a 的通项公式； ⑵．求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．
【法一】⑴．若1λ=，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又0n a >，0n S >，故
1111n n n n
S a S a +++=
+，故313
1
221212
1
11111n n n n
S S a a S a S S S a a a +++++?=?+++，化简得，1112n n S a +++=①．故当2n ≥时，12n n S a +=②，①-②得，12n n a a +=，故
1
2(2)n n
a n a +=≥．因当1n =时，22a =，故1n =时上式也成立，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1*2()n n a n N -=∈；
【法二】若1λ=，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，即
1111n n n n
S S a a ++++=
，即1
{}n n S a +为常数2，故21n n S a =+①，则1121n n S a ++=+②，②-①得，1122n n n a a a ++=-，即
12n n a a +=，即数列{}n a 是等差数列；
⑵．令1n =得，21a λ=+．令2n =得，23(1)a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=．当0λ=时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且
211a a ==．当2n ≥时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理得，
2
111n n n n n S S S S S +-++=+，
1111n n n n S S S S +-+=
+，从而331
24
121231
11111n n n n
S S S S S S S S S S S S +-+++?=?
+++，化简得，11n n S S ++=，故11n a +=．
综上所述，*1()n a n N =∈，故0λ=时，数列{}n a 是等差数列． 【例5】已知数列{}n a ，{}n b 中，*n N ?∈都有：12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++++=122n n +--．
⑴．若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵．若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
解：⑴．依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =，故等式即为12223(1)n n n b b b n b --++++-+ 1122n nb n +=--，
1232123(2)(1)21(2)n n n n b b b n b n b n n ---++++-+-=--≥，两式相减可得
12121n n n b b b b -++++=-，得12n n b -=，数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；
⑵．设等比数列{}n b 的首项为b ，公比为q ，则1n n b bq -=，从而有：123123n n n bq a bq a bq a ---+++ 1122n n n bqa ba n +-++=--，又234123121(2)n n n n n bq a bq a bq a ba n n ----++++=--≥，故
1(21)22n n n n q ba n +--+=--，212
2n n q q q a n b b b
---=
?+?+，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q =，即①当等比数列{}n b 的公比2q =时，数列{}n a 是
等差数列，其通项公式是n n
a b
=；②当等比数列{}n b 的公比不是2时，数
列{}n a 不是等差数列．
【练习5】设函数21
13()424
f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =*()n N ∈．
⑴．求数列{}n a 的通项公式；
⑵．是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+对一切正整数n 都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．
解：⑴．由2113()424f x x x =+-，*()()n n S f a n N =∈得，2113424
n n n S a a =+-①，
114n S +=
2111324n n a a +++-②，即22111111
()()42n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-，即221111()(42
n n n a a a ++--)0n a +=，即11()(2)0n n n n a a a a +++--=，因0n a >，故
12n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，由①得，
21111113
424
S a a a ==+-，解得13a =，因此，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+；
⑵．假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有
111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+③，当2n ≥时，
1122112(23)2n n n a b a b a b n --++
+=-+④，③－④得，2(21)n n n a b n =+，由
21n a n =+得，2n n b =，又111162(211)2a b +==?-+满足条件，因此，存在等比
数列{2}n ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+对一切正整数n 都成立． 【例6】[12湖南理]已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++，
2()B n a =+ 31n a a +++，342()n C n a a a +=+++，1n =，2，…．
⑴．若11a =，25a =，且对任意*n N ∈，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式．
⑵．证明:数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意*n N ∈，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．
解：⑴．对任意*n N ∈，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，即
()()()B n A n C n -=-()B n ，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a ++-=-=．故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列．于是43n a n =-． ⑵．①．必要性:若{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意*n N ∈，有1n n a a q +=，由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，故
23112()()n n a a a B n q A n a a a ++++==+++，342
231
()()n n a a a C n B n a a a ++++
+==++
+ q ，即
()()()()B n C n q A n B n ==，故三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．
②．充分性:若对于任意*n N ∈，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的
等比数列， 则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-，得2211()n n a a q a a ++-=-，即2n a +- 121n qa a a +=-，由1n =有，(1)(1)B qA =，即
21a qa =，从而210n n a qa ++-=．因0n a >，故
22
11
n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．
综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意*n N ∈，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．
【例7】已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，数列{}n a 的部分项1
k a ，
2k a ，3k a ，…，n k a 恰好构成等比数列；其中11k =，25k =，317k =．
⑴．求n k ；
⑵．求123n n T k k k k =++++．
解：{}n a 为等比数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1
1k a a =，2
514k a a a d ==+，17n
k a a ==
116a d +，又213
2k k k a a a =，即2
111(4)(16)a d a a d +=+，故1
2
a d =，故21
5111
4k k a a a d q a a a +=
=
=
3=，故11113(1)2n n a
a a k -?=+-，故1231n n k -=?-，故12331n n n T k k k k n =+++
+=--．
【练习7】[11上海]已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，
*27()n b n n N =+∈，将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列{}n c ．
⑴．求1c ，2c ，3c ，4c ；
⑵．求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ，…，2n a ，…；
⑶．求数列{}n c 的通项公式．
解：⑴．19c =，211c =，312c =，413c =①；任意*n N ∈，设
213(21)66n a n n -=-+=+327k b k ==+，则32k n =-，即2132n n a b --=；
⑵．假设26627n k a n b k =+==+，则*1
32
k n N =-∈(矛盾)，故2{}n n a b ?，故在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ，…，2n a ，…； ⑶．32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，因63k +< 656667k k k +<+<+，故当1k =时，依次有111b a c ==，22b c =，
23a c =，34b c =，…，故*63(43)65(42),66(41)67(4)
n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-?
=∈?+=-??+=?．
【例8】在直角坐标系中，(,0)n n A a ，*(0,)()n n B b n N ∈，其中数列}{n a ，{}n b 都是递增数列．
⑴．若21n a n =+，31n b n =+，判断直线11A B 与22A B 是否平行； ⑵．若数列}{n a ，{}n b 都是正项等差数列，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为*()n S n N ∈，求证：{}n S 也是等差数列；
⑶．若2n n a =，(,)n b an b a b Z =+∈，112b ≥-，记直线n n A B 的斜率为n k ，数列前8项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数．
解：⑴．由题意得，1(3,0)A ，1(0,4)B ，2(5,0)A ，2(0,7)B ．故11
43
A B k =-，
227
5
A B k =-．因1122A B A B k k ≠，故11A B 与22A B 不平行；
⑵．因}{n a 、{}n b 为等差数列，设它们的公差分别为1d 和2d ，则
11(1)n a a n d =+-，1n b b =+ 2(1)n d -，111n a a nd +=+，12n b b nd =+，由题意得，
11111
(2
n n n n n OA B OA B n n S S S a b ++??++=-=-)n n a b ，故
11121112121211
[()()((1))((1))](222n S a nd b nd a n d b n d d d n a d =++-+-+-=++ 1112)b d d d -，
故1121211121
(2)2
n S d d n a d b d d d +=+++，故112n n S S d d +-=是与n 无关的常数，故数
列{}n S 是等差数列；
⑶．因(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，故2
n n an b
k +=-，又
数列{}n k 前8项依次递减，故
11(1)22n n n n
a n
b an b
k k +++++-=-+=
102n an a b +-+<对17()n n Z ≤≤∈成立，即0an a b -+<对
17()n n Z ≤≤∈成立．又数列{}n b 是递增数列，故
0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<即
可．又112b a b =+≥-，联立不等式6012
0,a b a b a a b Z
+
>??∈?，作出可行域(如右图所示)，易得1a =或2．
当1a =时，136b -≤<-，即13b =-，12-，11-，10-，9-，8-，7-，有7解； 当2a =时，1412b -≤<-，即14b =-，13-，有2解．故数列{}n b 共有9个． 另解：也可直接由60a b +<，12a b +≥-得5
12
0<