高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)

第一章 集合与简易逻辑

第1课时 集合的概念

一．课题：集合的概念

二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规

处理方法．

三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n

个，真子集有21n

-，非空子集有21n

-个，非空真子集有22n

-个． （二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：

例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，

{|1}G x x =≥，则

（ D ）

()A P F =

()B Q E = ()C E F =

()D Q G =

解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}

2222

,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．

解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}

22

,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性

矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，

由P Q =得22

0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220

y y y y y -=-??=?≠?? ②

由①得1y =-，由②得1y =，

∴{01x y ==-或{

01

x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．

例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==

+∈， 1

{|,}42

k N x x k Z ==+∈，则

（ B ）

()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ=

解法一：通分；

解法二：从

1

4

开始，在数轴上表示． 例4．若集合{}2

|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ?，求实数a 的取值范围．

解：（1）若A φ=，则2

40a ?=-<，解得22a -<<；

（2）若1A ∈，则2

110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-

，此时5

{2,}2

A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．

例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==， （1）求证：A B ?；

（2）如果{1,3}A =-，求B ．

解答见《高考A 计划（教师用书）》第5页．

（四）巩固练习：

1．已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ?，则适合条件的实数m 的集合P 为1{0,2,}3

-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．

2．已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-． 3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ． 4．设数集3{|}4

M x m x m =≤≤+，1

{|}3

N x n x n =-

≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是1

12

．

五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．

第2课时 集合的运算

一．课题：集合的运算

二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图

进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．

三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．交集、并集、全集、补集的概念；

2．A B A A B =?? ，A B A A B =?? ；

3．()U U U C A C B C A B = ，()U U U C A C B C A B = ．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

（三）例题分析：

例1．设全集{}

|010,U x x x N *

=<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，{}9U U C A C B = ，

则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．

例2．已知集合{}

32|320A x x x x =++>，{}

2

|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤ ，

{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．

解：由32

320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，

∴(2,1)(0,)A =--+∞ ，又∵{}|02A B x x =<≤ ，且{}|2A B x x =>- ， ∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程2

0x ax b ++=的根， 由韦达定理得：

{

1212a b -+=--?=，∴{

12

a b =-=-． 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．

例3．已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1

{(,)|

0}2

y B x y x -==-，则A B = φ； A B = {(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第6题）．

解法要点：作图．

注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．

例4．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合222

{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，

215

{|,03}22

B y y x x x ==

-+≤≤，若A B φ= ，求实数a 的取值范围． 解答见教师用书第9页．

例5．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合{}

2

(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，

{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．

分析：本题的几何背景是：抛物线2

2y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．

解法一：由{

22010

x mx y x y +-+=-+=得2

(1)10x m x +-+= ①

∵A B φ≠ ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，

首先，由2(1)40m ?=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-． 设方程①的两个根为1x 、2x ，

（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ?=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ?=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数， 故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

解法二：问题等价于方程组

{

2

21

y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，

即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，

令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，

∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①

或22

(1)401022(2)22(1)10

m m

f m ?=--≥?-?<? ② 由①得32m ≤-，由②得3

12

m -<≤，

∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

（四）巩固练习：

1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ?的充要条件的有 （ D ）

①A B A = ，②U C A B φ= ，③U U C A C B ?，④U A C B U = ，

()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个

2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]- ．

五．课后作业：《高考A 计划》考点2，智能训练3，7， 10，11，12，13．

第3课时 含绝对值的不等式的解法

一．课题：含绝对值的不等式的解法

二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．

三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）

不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．

四．教学过程： （一）主要知识：

1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离

2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+

1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

2．去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；

（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

（三）例题分析：

例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为1

7[2,)(,5]22

-- ． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1

[,)2

+∞． （3）当1

2

x ≤-

时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当1

22

x -

<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴5

3

x >，此时2x ≥．

综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞ ．

例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．

解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质

|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．

例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．

解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2

()2a b x x a b

+≤?≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥

-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2

x a b

≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2

x a b

≤+；

当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2

x a b

≤+．

综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,

][,)a b a b

-∞+∞+- ，

当0a b <≤时，原不等式解集为2

(,

]a b

-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ?≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；

当0a >时，33|23|22

a a

x a x -+-

173102

a

a a -?≥-???≤?

+?≤??， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．

例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

解：以一号仓库为原点建立坐标轴，

则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ， 设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =； 当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．

综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．

（四）巩固练习：

1．|

|11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5

-∞； 2．不等式

||

1||||

a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞；

4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．

五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．

第4课时 一元二次不等式的解法

一．课题：一元二次不等式的解法

二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的

关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．

三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法． 四．教学过程：

（一）主要知识：

1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；

2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理． （二）主要方法：

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为2

0ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）例题分析：

例1．解下列不等式：

（1）2

60x x --<；（2）2

3100x x -++<；（3）(1)(2)

0(2)(1)

x x x x x +-≥+-．

解：（1）23x -<<；（2） 5 2x or x ><-； （3）原不等式可化为(1)(2)(2)(1)0

2 1 0 1 2(2)(1)0

x x x x x x or x or x x x +-+-≥??-<≤-≤<≥?+-≠?．

例2．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤， （1）若A B ?≠，求a 的取值范围； （2）若B A ?，求a 的取值范围． 解：{|12}A x x =≤≤，

当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤． （1）若A B ?≠，则1

22

a a a >??>?

>?；

（2）若B A ?，

当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．

例3．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，

（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）2

4(2)16004a a ?=--

（2）(2)3(3)0a f --<-??

->?或3(2)10a -≤--≤???

(1)0

a f -->??>?，

解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1

(,4)2-．

例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式2

0cx bx a ++<的解集为 ．

解法一：∵(2)(4)0x x --<即2

680x x -+->的解集为11{| }24

x x or x ><，

∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20c x b x a ++<即为28610x x -+-<，解得11

{|}42

x x <<．

解法二：由题意：003

64188

a c

b b a

c c a a c ??<

∴2

0cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24

x x or x ><．

例5．（《高考A 计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点

(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21

()(1)2

x f x x ≤≤

+对一切x R ∈都成立？ 解：假设存在常数,,a b c 满足题意，

∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ①

又∵不等式21

()(1)2x f x x ≤≤

+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，2

11(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ②

由①②可得：11,22a c b +==，∴2

11()()22f x ax x a =++-，

由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22

111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，

∴221

1()022

(21)20ax x a a x x a ?-+-≥???-+-≤?

的解集为R ， ∴0114()042a a a >???--≤??且21018(21)0a a a -

0(14)0a a >??-≤?且212(14)0a a ?

??-≤?， ∴14a =，∴14

c =，

∴存在常数111,,424a b c ===使不等式2

1()(1)2

x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．

（四）巩固练习：

1．若不等式2

(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-． 2．若关于x 的方程2

2

10x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．

3．关于x 的方程2

(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围为3

(,](0,1)(1,)2

-∞-+∞ ．

4．不等式2(1)(2)

0(4)

x x x x +-≥+的解集为(,4)(0,2] 1or x -∞-=- ．

五．课后作业：《高考A 计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．

第5课时 简易逻辑

一．课题：简易逻辑

二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四

种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．

三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法：

1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：

例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“23≤”

解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题． （2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=， ∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．

注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．

例2．分别写出命题“若22

0x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若22

0x y +≠，则,x y 不全为零

逆命题：若,x y 全为零，则22

0x y +=

逆否命题：若,x y 不全为零，则22

0x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．

例3．命题“若0m >，则2

0x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴140m ?=+>，

因而方程2

0x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则2

0x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则2

0x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．

方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若2

0x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵2

0x x m +-=无实根

∴140m ?=+<即1

04

m <-

≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程2

10x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：

方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．

解：由命题p 可以得到：240

m m ??=->?>? ∴2m >

由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ?=--< ∴26m -<< ∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真

当p 为真，q 为假时，2

62,6m m m orm >??≥?≤-≥?

当p 为假，q 为真时，2

2226

m m m ≤??-<≤?-<

所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．

例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根． 解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <， 由方程的定义可知：12()0,()0f x f x == 即12()()f x f x =①

由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立．

注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设,,a b c 都是偶数 B.假设,,a b c 都不是偶数 C.假设,,a b c 至多有一个是偶数 D.假设,,a b c 至多有两个是偶数

（四）巩固练习：

1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确

2．“若240b ac -<，则2

0ax bx c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）

A. 若2

40b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则2

0ax bx c ++=有实根

C. 若2

40b ac -≥，则2

0ax bx c ++=有实根 D. 若240b ac -≥，则2

0ax bx c ++=没有实根

五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．

第6课时 充要条件

一．课题：充要条件

二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法：

1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2．判断p q ?是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法：

①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析：

例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >

（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=

解：（1）在ABC ?中，有正弦定理知道：

sin sin a b

A B

= ∴sin sin A B a b >?> 又由a b A B >?>

所以，sin sin A B A B >?> 即p 是q 的的充要条件．

（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ?， 命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ， 所以p 是q 的充分不必要条件．

（3）取120,30A B == ，p 不能推导出q ；取30,120A B ==

，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．

（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠

?，

所以，p 是q 的充分非必要条件．

例2．设,x y R ∈，则2

2

2x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）

例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．

证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+ 如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<， 当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，

当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+， 总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+． 必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈

得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++ 得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立， 综上，原命题成立．

例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =

++++++ ，为了使不等式2

2(1)11log (1)log 20

n t t a t t ->--对任意*

n N ∈恒成立的充要条件．

解：∵11111111()()02425324262526

n n a a n n n n n n n +-=

+-=-+->+++++++，

则1221n n n a a a a a -->>>>> ，

欲使得题设中的不等式对任意*

n N ∈恒成立， 只须{}n a 的最小项2

21(1)11

log (1)log 20

t t a t t ->--即可， 又因为11194520

a =

+=， 即只须11t -≠且2

2911log (1)log (1)02020

t t t t --

--<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>， 即1

01(2)t t t t

<

<-<≠，

解得实数t 应满足的关系为t >

2t ≠．

例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2

230x x -->的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2

230x x -->的必要条件？ 解：欲使得20x m +<是2

230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12

m

x x x x <-

?<-或3}x >，则只要12

m

-

≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2

230x x -->的充分条件．

（2）欲使20x m +<是2

230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12

m

x x x x <-?<-或3}x >，则这是不可能的，

故不存在实数m 时，使20x m +<是2

230x x -->的必要条件． （四）巩固练习：

1．若非空集合M N ≠

?，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的 条件．

2．05x <<是|2|3x -<的 条件．

3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ） A.//,//a b αα B.//,//,//a b αβαβ C. ,,//a b αβαβ⊥⊥ D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥

五．课后作业：《高考A 计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．