不等式表示的平面区域

例析寻求二元一次不等式（组）所表示平面区域的方法

熊明军

简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域。下面结合例题介绍一些快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法。

方法一：直线定界，特殊点定域

找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：

①作直线?→?

②取特殊点?→?③代值定域?→?④求公共部分 ①作直线——作各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线，不等号作虚线）； ②取特殊点——平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原点时我们

选取特殊点()0,x 或()y ,0（坐标轴上的点），当直线不过原点时我们选取原点()0,0做特殊点；

③代值定域——将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边。

④求公共部分——不等式组所确定的平面区域，是不等式组中各个不等式所表示平面区域相交的公共部分。

例1：画出不等式组?

??<+>-420y x y x 所表示的平面区域。 解析：①作直线：不等式0>-y x 对应的直线方程是0=-y x ；不等式42<+y x 对应的直线方程是42=+y x ；在平面直角坐标系中作出直线0=-y x 与42=+y x （如图）。

②取特殊点：直线0=-y x 过原点，可取特殊点()1,0；直线42=+y x 不过原点，可取特殊点()0,0O 。

③将()1,0代入，即0110<-=-，不等式0>-y x 不成立，直线另一侧区域就是不等式0>-y x 所表示的平面区域；将()0,0O 代入，即40020<=?+，不等式42<+y x 成立，则原点所在区域就是不等式42<+y x 所表示的平面区域（图一）。

④求公共部分：把图一中两区域的相交部分分离开来，可知图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域。

方法二：法向量判定法

由平面解析几何知识知道直线0=++C By Ax （B A 、不同时为0）的一个法向量为()B A n ,= 。以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论：

（1）不等式()c y x f >,（≥），不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域（大同向）；

（2）不等式()c y x f <,（≤），不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域（小反向）。

例2：画出不等式组?

??≤+>-+-1022y x y x 所表示的平面区域。 解析：①不等式022>-+-y x 对应的一个法向量()1,21-=n ；不等式1≤+y x 对应的

一个法向量()1,12=n

；在平面直角坐标系中作出直线022=-+-y x 与1=+y x 及其相应的法向量（如图）。

②由于不等式022>-+-y x 的不等号为（>），则其表示的平面区域就是法向量()1,21-=n 指向的区域（图一）；由于不等式1≤+y x 的不等号为（≤），则其表示的平面区域就是法向量()1,12=n

反向的区域（图二）。

③然后，如第四幅图中所示相交的公共部分就是不等式组所表示的平面区域。

方法三：未知数系数正值化法

直线0=++C By Ax （B A 、不同时为0）含有两个未知数，于是我们可以将未知数

的系数分为两类：x 项系数与y 项系数来研究。

（1）y 项系数正值化法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时()1-?或移项将y 项系数化为正值，然后根据变形后新不等式中的不等号来确定区域位置。规定：y 轴正向（正半轴）所指区域为直线上方；y 轴负向（负半轴）所指区域为直线下方，有结论：

（1）0>++C By Ax （或≥），0>B 则不等式所表示的平面区域为直线上方（大正）；

（2）0<++C By Ax （或≤），0>B 则不等式所表示的平面区域为直线下方（小负）；

或

（1）()x f cy >（或()x f cy ≥），0>c ，则不等式所表示的平面区域为直线上方（大正）；

（2）()x f cy <（或()x f cy ≤），0>c ，则不等式所表示的平面区域为直线下方（小负）。

例3：画出不等式组???≤+<+-1

022y x y x 所表示的平面区域。

解析：①不等式022<+-y x 对应的直线方程是022=+-y x ；不等式1≤+y x 对应的直线方程是1=+y x ；在平面直角坐标系中作出直线022=+-y x 与1=+y x （如图）。

②将不等式组中各不等式y 项系数正值化，即得??

?≤+>-+-1022y x y x 或???+-≤+>122x y x y 。 ③正值化后：

（一）不等式组()()b a y x y x ???≤+>-+-1

022（不等号两边()1-?），()a 中不等式022>-+-y x 的不等号为（>），直线上方（y 正方向指向或y 正半轴所在）的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；()b 中不等式1≤+y x 的不等号为（≤），直线下方（y 负方向指向或

y 负半轴所在）的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）

； （二）不等式组()()

b a x y x y ???+-≤+>122（移项），()a 中不等式22+>x y 的不等号为（>），直

线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；()b 中不等式1+-≤x y 的不等号为

（≤），直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）；

④然后两区域相交的公共部分就是不等式组所表示的平面区域。

（2）x 项系数正值化法：同（1）一样，不等号两边同时()1-?或移项将x 项系数化为正值，然后根据变形后新不等式中的不等号来确定区域位置。规定：x 轴正向（正半轴）所指区域为直线右方；x 轴负向（负半轴）所指区域为直线左方，则有结论：

（1）0>++C By Ax （或≥），0>A 则不等式所表示的平面区域为直线右方（大正）；

（2）0<++C By Ax （或≤），0>A 则不等式所表示的平面区域为直线左方（小负）；

或

（1）()y f cx >（或()y f cx ≥），0>c ，则不等式所表示的平面区域为直线右方（大正）；

（2）()y f cx <（或()y f cx ≤），0>c ，则不等式所表示的平面区域为直线左方（小负）。 可结合例3来对x 项系数正值化法进行理解。

上述方法中，[方法一]是寻找二元一次不等式（组）所表示的平面区域的常规方法，

思维回路较长，适合初学者对理论的学习，但要快速准确地解决简单线性规划问题就必须掌握[方法二

]或[方法三]中的一种。