库伦土压力

库伦土压力计算公式为：

E=(Atgθ-B)cos(θ+θ1)/sin(θ+θ2)

式中：A=γH(H+2h0)/2

B=(Ch0-H(H+αho)tgα/2)γ

θ1=ψ

θ2=α+δ+ψ

γ——填料容重；

H——墙高；

h0——墙背填土表面活载折算土柱高度，

h0=q/γ土；

θ——破裂面与垂直线夹角；

ψ——填料内摩擦角；

α——墙背与垂直面夹角；

δ——墙背与墙后填料摩擦角，取δ=ψ/2；

C——墙背顶点至墙背填土表面活载分布边缘的距离。

郎肯土压力理论和库伦土压力理论的异同点是什么？

相同点：两种土压力理论都是极限平衡状态下作用在挡土墙上的土压力，都属于极限平衡理论；不同点：1）假设条件不同：郎肯假设墙背直立、光滑、填土面水平无限延伸；库仑假定：a填土为均匀，各自同性，无粘土。B滑动土体看做滑动土楔，其滑裂面为通过墙踵的平面c滑动土楔视为刚体。2）求解方法不同：郎肯是从一点的应力状态出发，先求出压力强度，再求出总压力属于极限应力法适用于填土表面为水平的无粘土或粘性土的土压力计算，而库仑考虑整个滑动楔体静力平衡，直接求出总图压力，需时在求解压力强度属于滑动楔体法，只是用于填土表面为水平的粘性土，对无粘性土只能用图解法计算。3）适用范围不同：库仑要广。4）计算精度不同：郎肯主动土压力偏大，被动土压力偏小，墙体粗糙；库仑主动土压力接近实际土压力，被动土压力差距较大，墙体滑动面为平面。

库仑主动土压力计算

1．库仑主动土压力（1）库仑主动土压力计算如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为ε，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为β，墙背与土体的摩擦角为δ。挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成θ角。沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：图6-12库仑主动土压力计算 (a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形公式推导（6-12）库仑主动土压力计算公式推导在图6-13（b）的力矢三角形中，由正弦定理可得：

（6－12a）式中ψ=90o-ε-δ，其余符号如图6-13所示。土楔自重为在三角形ABC中，利用正弦定律可得：由于故在三角形ADB中，由正弦定理可得：于是土楔自重可进一步表示为将其代入表达式（6-12a）即可得土压力E的如下表达式：

E的大小随θ角而变化，其最大值即为主动土压力E a。令求得最危险滑裂面与水平面夹角θ0=45o+?/2，将θ0代入E的表达式即得主动土压力E a的如下计算公式：这里式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：（6-13） 2．库仑被动土压力库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：（6－14）

库伦土压力与朗肯土压力计算理论

2.1 土压力理论土压力是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧向压力。土压力的计算是个比较复杂的问题。它随挡土墙可能位移的方向分为主动土压力、被动土压力和静止土压力。土压力的大小还与墙后填土的性质、墙背倾斜方向等因素有关。 2.1.1 库伦土压力[22] 1773年著名的法国学者库伦(C.A.Coulomb)提出了一种计算土压力的理论。这种理论是根据墙后所形成的滑动楔体静力平衡条件建立起来的，这种理论具有计算简单，适用范围广泛，且计算结果接近实际等优点，至今仍然被广泛使用于工程实践之中。其基本假定如下: (l)墙后填土为理想散粒体(无粘聚力); (2)墙后填土产生主动土压力或被动土压力时，填土形成滑动楔体，且滑动面为通过墙踵的平面; (3)滑动楔体为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件 1、主动土压力公式： 21 2 a a E H K γ= 22 cos () sin()sin(cos cos()1-cos()cos()a K ?α?δ?βαδααδαβ-= ??+?-?+??? +?-?? 式中：α—为墙背与铅直线夹角，逆时针为正值； K a —库仑主动土压力系数； β—填土表面与水平面所成坡角； δ—墙后填土与墙背的摩擦角，由试验或规范确定。 2、被动土压力公式 21 2 p p E H K γ=

22 cos () sin()sin(cos cos()1-cos()cos()p K ?α?δ?βαδααδαβ+= ??+?+?-??? -?-?? 式中：K p —为库仑被动土压力系数。 2.1.2 朗肯土压力[23] 朗肯土压力是英国学者朗肯在1857 年提出的一种经典的土压力理论，这种土压力理论是根据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论得出的土压力计算理论之一。这种土压力理论的计算方法比较简单，计算结果比较接近实际，至今仍然被广泛用于工程实践之中。其基本假定如下: 1).墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形； 2).墙后填土面水平且填土延伸到无限远处； 3).墙背直立、光滑。 1、主动土压力公式无粘性土： 2(45-) 2 a Z t g ? σγ=。粘性土： 2 (45-)2 (45-) 2 2a Ztg Ctg ? ? σγ=-。。式中：C 一为土的粘聚力， Z —计算点距离填土面的深度(m); φ一内摩擦角 σa 一为主动土压力 γ—填土的重度

库仑土压力理论

库仑土压力理论 1776年法国的库伦（C.A.Coulomb）根据极限平衡的概念，并假定滑动面为平面，分析了滑动楔体的力系平衡，从而求算出挡土墙上的土压力，成为著名的库伦土压力理论。一、基本原理库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6－12中的AB和BC面）之间的土楔。根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的Pa或Pp 库伦理论的基本假设： 1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）； 2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε； 3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0）； 4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。

二、主动土压力计算如图所示，墙背与垂直线的夹角为ε，填土表面倾角为β，墙高为H，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的凝聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵。滑裂面与水平面的夹角为α，取滑动土楔ABC作为隔离体进行受力分析（图6－11b）。土楔是作用有以下三个力： 1．土楔ABC自重W，由几何关系可计算土楔自重，方向向下；2．破裂滑动面BC上的反力R，大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角φ，在法线的下侧； 3．墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力），该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角δ，在法线的下侧。土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图所示的力三角形。按正弦定理可求得：求其最大值（即取dP/dα=0），可得主动土压力式中Ka为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定

(库伦土压力理论)

Chapter 6 Lateral Earth Pressure 6.3 Coulomb ’s Earth Pressure Theory (库伦土压力理论) (i) Coulomb (1776) proposed that a condition of limit equilibrium exists in a soil wedge between a retaining wall and a trial slip plane. (库伦土压力理论假设一个滑动面,整个滑动块体处于极限平衡状态). (ii) The force between the wedge and the wall is determined by considering the equilibrium of forces acting on the wedge. (利用整个滑动块体上静力平衡条件来确定土压力). (iii) Among these trial slip planes, the critical slip plane is the one which gives the maximum lateral pressure on the wall (在假定滑动面中,临界滑动面产生最大的土压力). (iv) Poncelet (1840) used Coulomb’s limit equilibrium approach to obtain the active and passive earth pressure coefficients for the following cases: (a) backfill is dry, homogenous and cohesionless soil with an angle of internal friction φ, (填土是干,均质和无粘性土) (b) backfill is sloping at an angle a to the horizontal, (填土表面与水平面夹角为α) (c) wall friction φo is present, (墙背与填土之间的摩擦角为φo ) (d) wall face inclined at an angle e to the vertical, (墙背面与竖直线的夹角为ε) (v) For active failure, the wall moves away from the soil mass. The forces acting on the soil wedge above the slip plane are shown in Figure 6.11. The forces acting on soil wedge ABC is under equilibrium: its weight [W], the reactions on the slip plane AC [R] and the wall AB [P a ]. (墙体离开填土方向,产生主动破坏,滑动块体上力的分布见图6.11:土体ABC 的重量W,滑动面A C 上的反力R 与墙背A B 上的反力P a 达至静力平衡) (vi) Consider the sine rule (通过正弦定律) () ) 90sin(W sin P o a θ-ε+φ+φ+?= φ-θ ) sin() 90sin()90sin(AB 2 1W 2 ABC α-θθ-ε+??ε-α+?? ? γ=??γ= ) sin(cos ) 90sin()90sin(H 21W 2 2 α-θ?εθ-ε+??ε-α+?? ?γ= ) cos()sin(cos )sin()cos()cos(H 2 1P o 2 2 a ε-φ-φ-θ?α-θ?εφ-θ?ε-θ?α-ε? ?γ= Differentiating the above expression for P a w.r.t. θ and equating the derivative to zero, we can obtain the critical value of θ that gives maximum P a : (将P a 对θ 求导数,并令其等於零) 2 o o o 2 2 2 a )cos()cos()sin()sin(1)cos(cos ) (cos H 21.)(max P ? ? ? ? ??? ? α-ε?φ+εα-φ?φ+φ+ ?φ+ε?εε-φ??γ= a 2 a K H 2 1.)(max P ??γ=

库仑主动土压力计算

土体主动、被动土压力概念及计算公式

主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P a 。被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P p 。上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。由图可知P p ＞P o ＞P a 。朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin ）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。在其理论推导中,首先作出以下基本假定。 (1)挡土墙是刚性的墙背垂直； (2)挡土墙的墙后填土表面水平； (3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz 仍保持不变，但σx 将不断增大并超过σz 值，当土墙挤压土体使σx 增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O 3，σz 变为小主应力，σx 变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p p )。土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为2 45?- ?。朗肯主动土压力的计算根据土的极限平衡条件方程式 σ1=σ3tg 2 (45°+2?)+2c ·tg(45°+2?) σ3=σ1tg 2(45°- ?)-2c ·tg(45°-?)