探究性问题
“探究性问题”练习
1． 如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，
DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，
ADE ACB △∽△．
2． 若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写
出一个．．即可） 3． 让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n 1=5，计算n 12+1得a 1；
第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2； 第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；
…………
依此类推，则a 2008=_______________.
4． 观察下面的一列单项式: -x 、2x 2、-4x 3、8x 4、-16x 5、…根据其中的规律，得出的第10
个单项式是（ ）
A.-29x 10
B. 29x 10
C. -29x 9
D. 29x 9
5． 任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =?（s t ，是正整数，且s t ≤），如
果p q ?在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ?是n 的最佳分
解，并规定：()p
F n q
=
．例如18可以分解成118?，29?，36?这三种，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）1(2)2F =；（2）3
(24)8
F =；（3）
(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．
其中正确说法的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
6．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（ ）
A. 9
1()4
B.
10
1()4
C. 9
1()2
D.
10
1()2
7． 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3。
（1）在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明； （2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交
AB 的延长线于F 。
①求证：点B 平分线段AF ；
C B
A
D ·P
②△P AE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到？ 若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。 8
．如图所示，抛物线2y x =交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，顶点为D . (1) 求点A 、B 、C 的坐标。 (2) 把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°，得到四边形AEBC .
① 求E 点的坐标；
② 试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由； (3) 试探求：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△P AD
若存在，请求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由.
9．如图，矩形ABCD 中，3AD
=厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；
（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
10．已知：二次函数y ＝x 2
-(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．
⑴求此二次函数的解析式；
⑵是否存在过点D (0，-2
5
)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N
关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．
N
答案：
1．∠ADE =∠ACB （或∠AED =∠ABC 或AD AE AC
AB
=）
2．
60
m
（答案不唯一） 3．26 4．B 5．B 6．A 7．解：（1）当E 为CD 中点时，EB 平分∠AEC 。
由∠D =900 ，DE =1，AD =3，推得∠DEA =600，同理，∠CEB =600 ，从而∠AEB =∠CEB =600 ，即EB 平分∠AEC 。 （2）①∵CE ∥BF ，∴
BF CE =BP CP =2
1
∴BF =2CE 。 ∵AB =2CE ，∴点B 平分线段AF ②能。
证明：∵CP =
31
3，CE =1，∠C =900
，∴EP =
3
2
3。
在Rt △ADE 中，AE = ()
22
13+ =2，∴AE =BF ，
又∵PB =
33
2
，∴PB =PE ∵∠AEP =∠FBP =900 ，∴△P AE ≌△PFB 。
∴△P AE 可以△PFB 按照顺时针方向绕P 点旋转而得到，旋转度数为1200
8．（1）A （-3，0），B （1，0），C （
0 （2）①
E （2,-；②四边形AEBC 是矩形； （3）在直线BC 上存在一点P
（37-）使得△P AD 的周长最小。 9．解：（1）34
PM =
， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，
AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()
PM a t t a t PM t a a
--==，，
(1)
3t a QM a
-=-
当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22
QP AD DQ MP BN BM
++=
()33(1)()22t a t t a a t t t a a -????
-+--+ ? ????
?==化简得66a t a =+，
3t ≤，636a
a
∴+≤，则636a a ∴<≤，
≤， C A
D ·P
E F
（4）36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等
∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM = ()3t a t t a ∴-=-，把66a t a
=+
代入，解之得a =±
a = 所以，存在a ，
当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．
10．解：⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10，
∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10， ∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3， 又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3．
⑵假设存在过点D (0，-2
5
)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交
于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．
∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -2
5
．
由??
?
??=+-=.
25
-kx y 3x 4x y 2，
得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．
∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．
当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋211
＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，
∴直线MN 的解析式为y ＝x -2
5
．
∴存在过点D (0，-2
5
)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点
关于点E 对称．