自考线性代数重点考点
线性代数（经管类）考点逐个击破
第一章 行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.
1．二阶行列式
由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：
11122122
a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为
2112221122
211211a a a a a a a a -=
2．三阶行列式
由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33
323123222113
1211a a a a a a a a a
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式 33
323123222113
12113a a a a a a a a a D =
对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M
例如 33
32232211a a a a M =
，33
32131221a a a a M =
，23
22131231a a a a M =
再记 ij j
i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为
我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常
简写成∑∑=+=-==
3
1
1113
1
11
3)1(i i i i i i i M a A a
D
4．n 阶行列式
31
312121111133
323123222113
12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==
一阶行列式 11111a a D ==
n 阶行列式 1121211111212222111211n n nn
n n n n
n A a A a A a a a a a a a a a a D +++==
ΛΛΛ
ΛΛΛΛ
其中(,1,2,,)ij A i j n =L 为元素ij a 的代数余子式.
5．特殊行列式
上三角行列式
111212*********
n n nn nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L
下三角行列式
1122112212000nn n n nn a a a a a a a a a =L L
L L L L L L 21
对角行列式
1122112200000
nn nn
a a a a a a =L L L L L L L L
（二）行列式的性质
性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T
D D =
性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.
性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.
推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.
推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行（列）拆开.
性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.
定理1（行列式展开定理）
n 阶行列式n
ij
a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=
或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=
前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.
本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.
定理2 n 阶行列式n
ij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++Λ
或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++Λ
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或
两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某
一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
例1 计算行列式 5
207232512131
4124-=
D
解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个
非零元素化为0，然后按第二列展开.
4214121
41
562
31212115062
150********
3(2)1725
025********
312
25110081
375
7375
D -+?=
---+-?+?=行行按第二列展开行行7 列列按第二行展开
例2 计算行列式 a
b b b b a b b b b a b b
b b a D =
4
解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观
察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为b a 3+（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：
3131(3)
31311000
(3)
000000a b b b a b b b b b b b b a b b a b a b b a b b
a b b b a b a b b a b b a b b b b a
a b b b a
b b a
b b b
a b a b a b a b
++==+++-=+--
3))(3(b a b a -+=
方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值
的五阶行列式：
11234541101000010000100001000b b b b b b
b b a b b b a b b b a b b a b b D b a b b a b b b a b b b a b a b b b b a
b b b a a b
?-+--=
==------行（），，，行 这样得到一个“箭形”行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的
b
a -1
倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零. 4410000
400001()(3)()00000000b b b b b a b a b b a b a b a b a b a b a b a b
3
+--??=-=+-=+- ?-??
--
例3 三阶范德蒙德行列式 ))()((1
11
2313122
3
2
2
2
1
321
3x x x x x x x x x x x x V ---== （四）克拉默法则
定理1（克拉默法则）设含有n 个方程的n 元线性方程组为
1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L L L L L L L 如果其系数行列式0≠=n
ij
a D ，则方程组必有唯一解：n j D
D x j j ,,2,1,Λ==
其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21Λ后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有
定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L L L L L L L 如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x Λ
换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的n 元齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.
第二章 矩阵
（一）矩阵的定义
1．矩阵的概念
由n m ?个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成的一个m 行n 列的数表
????
??
? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛ
ΛΛΛ212222111211 称为一个m 行n 列矩阵或n m ?矩阵
当n m =时，称()
n
n ij
a A ?=为n 阶矩阵或n 阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ?或O 表示
2．3个常用的特殊方阵：
①n 阶对角矩阵是指形如 ?
?????? ?
?=nn a a a A ΛΛ
ΛΛΛ00000022
11的矩阵 ②n 阶单位方阵是指形如 ????
??
?
??=100010001ΛΛΛΛΛn E 的矩阵
③n 阶三角矩阵是指形如 ?
???
??? ????????? ?
?nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ2122211122211211000,000的矩阵 3．矩阵与行列式的差异
矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“()*”也不同，不能用错.
（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等
设有矩阵n m ij a A ?=)(，λ?=k ij b B )(，若k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.若A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =
因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.
2．矩阵的加、减法
设n m ij a A ?=)(，n m ij b B ?=)(是两个同型矩阵则规定
n m ij ij b a B A ?+=+)( n m ij ij b a B A ?-=-)(
注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.
由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.
3．数乘运算
设n m ij a A ?=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ?=)(
故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中某
一行或某一列，这两种数乘截然不同.
矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.
4．乘法运算
设k m ij a A ?=)(，n k ij b B ?=)(，则规定n m ij c AB ?=)(
其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++=Λ2211 ),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==
由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行
数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.
故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：
①不满足交换律，即BA AB ≠
②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律.
特别，若矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方阵. 矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.
5．方阵的乘幂与多项式方阵
设A 为n 阶方阵，则规定m A AA A =L 14243m 个
特别E A =0
又若1
110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，则规定
1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L
称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵
6．矩阵的转置
设A 为一个n m ?矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ?矩阵，称为A 的转置矩阵，记为T
A ，转置运算
满足以下运算律：
A A T =T )(，T T T
B A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(
由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义
设A 为一个n 阶方阵，若A 满足A A T
=，则称A 为对称矩阵，若A 满足A A T
-=，则称A 为反对称矩阵.
7．方阵的行列式
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.
设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式n
ij a ，称为方阵A 的行列式，记为A
方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则
①A A
T
=；
②A k kA n
= ③B A AB ?=
（三）方阵的逆矩阵
1．可逆矩阵的概念与性质
设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B 称为A 的逆矩阵，且说A 为
一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.
逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则
①1-A 是可逆矩阵，且A A =--1
1)(；
②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；
③kA 是可逆矩阵，且11
1)
(--=
A k kA ④T A 是可逆矩阵，且T T A A )()
(11
--=
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =?= B A BP AP =?=
2．伴随矩阵
设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式n ij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵?
???
??? ??nn n
n n n A A A A A A A A A ΛΛ
ΛΛΛΛ212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*
A （务必注意*
A 中元素排列的特点）
伴随矩阵必满足
E A A A AA ==** 1
*-=n A
A （n 为A 的阶数）
3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
定理：n 阶方阵A 可逆?0≠A ，且*
1
1A A
A
=
- 推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A
=-1
，A B =-1
例1 设???
?
??=d c b a A
（1）求A 的伴随矩阵*
A
（2）a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆此时求1
-A
解：（1）对二阶方阵A ，求*
A 的口诀为“主交换，次变号”即???
?
?
?--=a c
b d A *
（2）由bc ad d
c b a A -==
，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆矩阵
此时???
?
??---==
-a c b d bc ad A A A 11*1 （四）分块矩阵
1．
分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干
小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.
在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.
2．准对角矩阵的逆矩阵
形如 ??????
?
??r A A A O
21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21Λ均为方阵空白处都是零块. 若r A A A ,,,21Λ都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且
?
?
???
?
?
??=??????
?
??----112
111
21r r A A A A A A O O
（五）矩阵的初等变换与初等方阵
1．
初等变换
对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，
（1）交换A 的某两行（列）；
（2）用一个非零数k 乘A 的某一行（列）；
（3）把A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上.
注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.
初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.
2．初等方阵
由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.
由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.
3．初等变换与初等方阵的关系
设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.
4．矩阵的等价与等价标准形
若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ? 对任一个n m ?矩阵A ，必与分块矩阵???
?
??O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个n m ?矩阵
A
，
必
存
在
n
阶
可
逆
矩
阵
P
及
n
阶
可
逆
矩
阵
Q
，
使
得
???
?
??=O O O E PAQ r
5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2?矩阵（A ，E ） 然后 ),(),(1
-→A E E A
注意：这里的初等变换必须是初等行变换.
例2 求???
?
?
??----=421412311A 的逆矩阵
解：
()()()122113211311213322113100113
100(,)2140
10012
21012400101110110111010
0421012
21001
0412001311001311A E ?-+?+?+?-+?-+?+--????
?
?
=-→-- ? ? ? ?---?
??
?
---????
?
?
→--→- ? ? ? ?--????
行行行行行行行行行行
行行
则 ????
?
??----=-1132141241
A
例3 求解矩阵方程
????
? ??=????? ??----213411421412311X
解：令???
?
?
??=????? ??----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方
程两边左乘1
-A ，得
???
?
?
??=????? ??????? ??----==-2052032134111132141241B A X
也能用初等行变换法，不用求出1
A -，而直接求
B A 1
-
),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=???
?
?
??→????? ??----=
则 ????
? ??==-2052031
B A X
（六）矩阵的秩
1．
秩的定义
设A 为n m ?矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r
零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，若秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.
2． 秩的求法
由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用
初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.
3．与满秩矩阵等价的条件
n 阶方阵A 满秩?A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==
?A 非奇异，即0≠A
?A 的等价标准形为E
?A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 ?齐次线性方程组0=AX 只有零解
?对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解 ?A 的行（列）向量组线性无关 ?A 的行（列）向量组为n
R 的一个基
?任意n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一. ?A 的特征值均不为零 ?A A T
为正定矩阵.
（七）线性方程组的消元法.
对任一个线性方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛ22112
222212*********
可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ?=)(为系数矩阵，T
m b b b b ),,,(21Λ=为常数列矩阵，
T n x x x X ),,,(21Λ=为未知元列矩阵.
从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.
对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.
第三章 向量空间
（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合
1．
n 维向量的定义与向量的线性运算
由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即n ?1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1?n 矩阵
与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.
2．向量的线性组合
设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，m k k k ,,,21Λ是一组常数，则称
m m k k k ααα+++Λ2211
为m ααα,,,21Λ的一个线性组合，常数m k k k ,,,21Λ称为组合系数.
若一个向量β可以表示成
m m k k k αααβ+++=Λ2211
则称β是m ααα,,,21Λ的线性组合，或称β可用m ααα,,,21Λ线性表出.
3．矩阵的行、列向量组
设A 为一个n m ?矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组.
若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.
4．线性表示的判断及表出系数的求法.
向量β能用m ααα,,,21Λ线性表出的充要条件是线性方程组βααα=+++m m x x x Λ2211有解，且每一个解就是一个组合系数.
例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成T )3,2,1(1=α，T
)4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线性组合
解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
???
?
? ??-→????? ??-==110020101001564313121201),,,(),(321βαααβA
则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x
所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=
（二）向量组的线性相关与线性无关
1．
线性相关性概念
设m ααα,,,21Λ是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使得
02211=+++m m k k k αααΛ，则称向量组m ααα,,,21Λ线性相关，称m k k k ,,,21Λ为相关系数.否则，称向量
m ααα,,,21Λ线性无关.
由定义可知，m ααα,,,21Λ线性无关就是指向量等式02211=+++m m k k k αααΛ当且仅当
021====m k k k Λ时成立.
特别 单个向量α线性相关?0=α；
单个向量α线性无关?0≠α
2．求相关系数的方法
设m ααα,,,21Λ为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21Λ线性相关?m 元齐次线性方程组
02211=+++m m x x x αααΛ有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数?矩阵),,,(21m A αααΛ=的秩小
于m
例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T
ααα=-==-，试讨论其线性相关性.
解：考虑方程组0332211=++αααx x x
其系数矩阵 ???
?
? ??-→????? ??--==0001102013117641312),,(321αααA
于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为
??
?=-=+0
23231x x x x 令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x 则02321=++-ααα
3．线性相关性的若干基本定理
定理1 n 维向量组m ααα,,,21Λ线性相关?至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21Λ线性无关?任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
定理2 如果向量组m ααα,,,21Λ线性无关，又m αααβ,,,,21Λ线性相关，则β可以用m ααα,,,21Λ线性表出，且表示法是唯一的.
定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关. 定理4 无关组的接长向量组必无关.
（三）向量组的极大无关组和向量组的秩
1．向量组等价的概念
若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.
2．向量组的极大无关组
设T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.
显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.
对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：
定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价. 定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.
3．向量组的秩与矩阵的秩的关系
把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.
把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩.
定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩（A ）
此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.
例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：
)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,,2,1(),7,2,1,1(54321==--=---=-=ααααα
解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54?矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵
(
)
B A T
T T T T =??
?
?
?
?
?
??--→
???????
??------==10000
01100
01010
00
001
33697446224112122111,,,,5
4321ααααα
易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{
}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=
（四）向量空间
1．
向量空间及其子空间的定义
定义1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间，记作n
R
定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是n
R 的子空间，也称为向量空间.
2． 向量空间的基与维数
设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，
把向量组的秩称为向量空间的维数.
显然，n 维向量空间n
R 的维数为n ，且n
R 中任意n 个线性无关的向量都是n
R 的一个基.
3． 向量在某个基下的坐标
设r ααα,,,21Λ是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用r ααα,,,21Λ唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下的坐标.
第四章 线性方程组
（一） 线性方程组关于解的结论
定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r = 定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么
（1）b AX =有唯一解?n r =； （2）b AX =有无穷多解?n r <.
定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解?0=A 推论2 设A 为n m ?矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解
（二）齐次线性方程组解的性质与解空间
首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程
组的解.
考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合
{}0==ξξA V
显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间n R 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间
（三）齐次线性方程组的基础解系与通解
把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.
当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -
求基础解系与通解的方法是：
对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能
求出一个基础解系.
例1 求???
??=-++=+-+=+-+0
022*********
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解
解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：
1
2212310341034321211110145111111110000A ????---?????? ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?--??????
行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行
1行(-1)+2行
42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为???????=
=+-=-=44334
32
431,54,
43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为????
??? ??-+??????? ??-=1054014321k k X 可见，??????
?
??-=???
???? ??-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系. （四）非齐次线性方程组
1．
非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系
设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：
性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解
性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解 由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：
定理 设A 是n m ?矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为
r n r n k k k X --++++=ξξξηΛ2211*
其中*
η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21Λ为导出组0=AX 的一个基础解系.
2．求非齐次线性方程组的通解的方法
对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.
例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组????
???-=+++=--+-=++=+++1232)3(1220432
1432432432
1ax x x x b x x a x x x x x x x x
有唯一解有无穷多解无解在有无穷多解时，求出通解.
解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：
()()234241111101
11100
12210
1221(,)013200101
3211012311
0111012210010100010A b a b a b a a a b a +?++?+???? ?
?
? ?=→ ? ?----+ ?
?
-----????
---??
?
?→ ?
-+ ?
-??
行行１行-3行行行
2行-1行
当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.
此时，方程组的一般解为 ???????=
=--=++-=443
34
324312211x x x x x x x x x x
令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为
??????
? ??-+??????? ??-+??????? ??-=10210121001121k k X
考研线性代数公式速记大全
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号
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线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
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线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
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?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：
线性代数公式大全
概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ
线性代数公式必记
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0；
考研线性代数公式
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１、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列)的元素乘以其它行(列）元素的代数余子式为0； ③、某行(列)的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置）,所得行列式为3D ，则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积; ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明０是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵)； ?()r A n =（是满秩矩阵) ?A 的行（列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;
精心整理线性代数公式大全
1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;
线性代数公式总结大全
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
(完整版)线性代数知识点全归纳
1 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
学习线性代数总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除 学习线性代数总结 篇一：线性代数学习总结 线性代数学习总结 ----------应化11王阳（2110904024） 时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体会。 老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面
听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。 再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是
线性代数公式定理大全
线性代数公式大全 第一章 行列式 1．逆序数 1.1 定义 n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序 不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前 面数字的个数之和。 1.2 性质 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。 证明如下： 设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换 后，变成1 11l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ， 要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()21 21111m τττ+=-=-， 故原命题成立。 2．n 阶行列式的5大性质 性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。 性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。 对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵， ()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当 是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。 韦达定理的一般形式为：
高数 线性代数数学公式全集(共15页)
高等数学 线性代数公式大全 1、导数公式： 2、基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
线性代数公式大全
A 线性代数 基本运算 ①A +B =B +A ②(A +B)+C =A +(B +C ) ③c(A +B)=cA +cB ④c(dA)=(cd )A (c +d )A =cA +dA ⑤ cA = 0 ?c = 0 或A = 0 。 (A T)T=A (A±B)T=A T ±B T (cA)T (AB)T =c(A T)。=B T A T τ(n(n - 1)Λ21)=C 2 =n (n - 1) n 2 D =a 21 A 21 +a 22 A 22 +Λ+a 2n A 2n 转置值不变A T =A 逆值变A-1 = 1 cA =c n A α, β 1 +β 2 ,γ =α, β1 ,γ +α, β2 ,γ A=(α1,α2,α3)，3 阶矩阵 B=(β1,β2,β3) A + B ≠A +B A+B=(α1+β1,α2+β2,α3+β3) A + B =α1 +β1 ,α2 +β2 ,α3 +β3
A * =A 0 B * 0 =A B B E(i, j(c))= 1 有关乘法的基本运算 C ij =a i1 b 1 j +a i 2 b 2 j +Λ+a in b nj 线性性质(A1+A2)B=A1B+A2B， A(B1 +B2 )=AB1 +AB2 (cA)B =c(AB)=A(cB) 结合律(AB)C =A(BC ) (AB)T AB = A k A l =B T A T A B =A k +l (A k)l (AB)k =A kl =A k B k 不一定成立！ AE =A ，EA =A A(kE )=kA ，(kE )A =kA AB =E ?BA =E 与数的乘法的不同之处 (AB)k=A k B k 不一定成立！ 无交换律因式分解障碍是交换性 一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 A2 - 2 A - 3E =(A - 3E )(A +E ) 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB=0时?/ A = 0 或B = 0 由A ≠ 0 和AB = 0 ?/ B = 0 由A ≠ 0 时AB =AC ?/ B =C （无左消去律）特别的设A 可逆，则A 有消去律。 左消去律：AB =AC ?B =C 。 右消去律：BA =CA ?B =C 。 如果A 列满秩，则A 有左消去律，即 ① AB = 0 ?B = 0 ② AB =AC ?B =C
线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式a11a12 (1) a21a22 (2) ············ a n1a n2···a nn 是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 a1j 1 a2j 2 ···a nj n 的代数和，这里j1j2···j n是1，2，···n的一个排列。当j1j2···j n是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2···j n是奇排列时，该项的前面带负号，即 a11a12 (1) a21a22 (2) ············a n1a n2···a nn =(?1)τj1j2···j n j1j2···j n a1j 1 a2j 2 ···a nj n (1.1) 这里j 1j2···j n 表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2···j n表示排列j1j2···j n的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——a b c d =ad?bc， a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式a11a12 (1) a21a22 (2) ············ a n1a n2···a nn 中划去a ij所在的第i行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式a11...a1,j?1a1,j+1 (1) ·················· a i?1,1···a i?1,j?1a i?1,j+1···a i?1,n a i+1,1···a i+1,j?1a i+1,j+1···a i+1,n ·················· a n1···a n,j?1a n,j+1···a nn 称为a ij的余子式，记为M ij；称(?1)i+j M ij为a ij的代数余子式，记为A ij，即A ij=(?1)i+j M ij。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如A11A21···A n1 A12A22···A n2············ A1n A2n···A nn ， 称为A的伴随矩阵，记作A?。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即A T=A→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
大一线性代数公式总结
1、行列式 n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
线性代数总结汇总+经典例题
（一）行列式概念和性质线性代数知识点总结 1 行列式 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1））行列互换（转置），行列式的值不变 （2））两行（列）互换，行列式变号 （3））提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4））拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这 个行列式就等于两个行列式之和。 （5））一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6））两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则 7、n 阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1））任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2））行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式 乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A| ·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A -1|=|A| -1 （5）|A*|=|A| n-1 （6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则 （7））若 A 与B 相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1 ）非齐次线性方程组的系数行列式不为0 ，那么方程为唯一解
线性代数公式必背完整归纳清晰版
线性代数必背公式(完全整理版) 2010.4 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；