量子力学-微扰论
量子力学简答100题及答案 1
1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数? ?? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋 S = 2 σ ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论 前面，我们解决的是H ?与t 无关，但不能直接求解，而利用0 2 0V m 2P H ?+=有解析解，并且0 1V V H ?-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ?,r (H ?ψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。 现在要处理的问题是：体系原处于0H ?的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ?1 附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ?在一段时间中不变），在0H ?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0 H ?的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 H ?与t 有关，体系原处于)P ?,r (H ?0 ，随t 加一微动)t (V ψψH ?t i =?? , )t (V H ?)t (H ?0 += 因0 H ?不显含t ，而有 )r (E )r (H ?n 0n n 0??= 则 ψψ0 H ?t i =?? 的通解为 ∑-=ψn t iE n n 0n e a )t ,r ( ? 0H 的定态 ∑=n n )t ,r (a ψ t iE n n e )r ()t ,r (?ψ= 而 n a 是常数 ))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=?ψ 不随t 变 当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ?时
量子力学发展简史
量子力学发展简史 摘要： 相对论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难，引入能量子概念的基础上发展起来的，爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难，进行了开创性的工作，先后提出电子自旋概念，创立矩阵力学、波动力学，诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925 年到1928年形成了完整的量子力学理论，与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词：量子力学，量子理论，矩阵力学，波动力学，测不准原理 量子力学是研究微观粒子（如电子、原子、分子等）的运动规律的物理学分 支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础，是现代物理学的两大基本支柱。经典力学奠定了现代物理学的基础，但对于高速运动的物体和微观条件下的物体，牛顿定律不再适用，相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。量子力学认为在亚原子条件下，粒子的运动速度和位置不可能同时得到精确的测量，微观粒子的动量、电荷、能量、粒子数等特性都是分立不连续的，量子力学定律不能描述粒子运动的轨道细节，只能给出相对机率，为此爱因斯坦和玻尔产生激烈争论，并直至去世时仍不承认量子力学理论的哥本哈根诠释。 量子力学是一个物理学的理论框架，是对经典物理学在微观领域的一次革命。 它有很多基本特征，如不确定性、量子涨落、波粒二象性等，在原子和亚原子的微观尺度上将变的极为显著。爱因斯坦、海森堡、玻尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。原子核和固体的性质以及其他微观现象，目前已基本上能从以量子力学为基础的现代理论中得到说明。现在量子力学不仅是物理学中的基础理论之一，而且在化学和许多近代技术中也得到了广泛的应用。上世纪末和本世纪初，物理学的研究领域从宏观世界逐渐深入到微观世界；许多新的实验结果用经典理论已不能得到解释。大量的实验事实和量子论的发展，表明微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有波动性（参见波粒二象性），微观粒子的运动不能用通常的宏观物体运动规律来描写。德布罗意、薛定谔、海森堡，玻尔和狄拉克等人逐步建立和发展了量子力学的基本理论。应用这理论去解决原子和分子范围内的问题时，得到与实验符合的结果。因此量子力学的建立大大促进了原子物理。固体物理和原子核物理等学科的发展，它还标志着人们对客观规律的认识从宏观世界深入到了微观世界。量子力学是用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律，并用算符或矩阵方法对各物理量进行计算。因此量子力学在早期也称为波动力学或矩阵力学。量子力学的规律用于宏观物体或质量和能量相当大的粒子时，也能得出经典力学的结论。在解决原子核和基本粒子的某些问题时，量子力学必须与狭义相对论结合起来（相对论量子力学），并由此逐步建立了现代的量子场论。
第五章微扰理论习题
第五章 微扰理论 第一部分：基本概念与基本思想题目 1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？ 2. 00//????? 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。 4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射? 5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用? 6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同? 7. 何为Stark 效应? 8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题? 9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么? 第二部分: 基本技能训练题 1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为 222 2020 () 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级). 2. 00102030000123100()()**()()()()()?, : H , |||| ,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。 H H E a E b a b E E E E a b E ????=??????<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。 4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用, 微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正. 5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0t -0 t 0e t 0 ( 0 ) τεετ?当当的参数 求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。 6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为 /a 0x 2()a x a 2 b H x b ?-≤≤??=??<≤??求粒子能量的一级修正。 7. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 8. 用狄拉克符号求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 9. 对于处于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为m 0），受到微扰 V(x)＝V 0cos (2π/a)x 求体系的能量(准确到二级)。 10. 设在H 0表象中0102()() E a b H b E a ??+= ?+?? （a,b 为实数）
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学与能带理论
量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E
量子力学史简介
近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27
量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收
第17讲5简并微扰理论零级近似波函数的确定和能级的一级修正
第17讲 第五章 微扰理论 §5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论 零级近似波函数的确定和能级的一级修正 ()()∑==k 1i i 0i 0n C φψ (32-2) 代入()()()()()()()00101n n n n ??H E E H 'ψψ-=- (31-8b ) 式就可以确定()0i C ，并求出()1n E 。即求出波函数的零级近似 ()0n ψ和能量一级修正()1n E 。 具体计算如下： 把(32-2)式代入()()()()()() ()01100??n n n n H E E H ψψ'-=-（31-8b ） 得： ()()()()()()()∑∑=='-=-k i i i k i i i n n n H C C E ψE H 10101100??φφ （32-3） 以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得： ()()()()()()()∑?∑??=='-=-k 1 i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ?C d C E d E H ?τφφτφφτψφ 左边=()()( )[]()0d E H ?1n *0n 0=-?τψφ (利用厄米算符的定义式) 定义 ?'='i i *H d H ? τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()() ()0C E H k 1i 0i i 1n i =-' ∑= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4) 上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零 解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意 义)： ()()()0121212221112111=-''''-''''-') E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k n (32-7)
《量子力学》考试知识点(精心整理)
《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题
一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系
量子力学讲义V. 定态微扰论
V. 定态微扰论 1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。 答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正 如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。 2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值． 答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知。则 正是能量一级近似. 3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？ 答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解． 4.一维谐振子，其能量算符为 (1) 设此谐振子受到微扰作用 (2) 试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。 解：的本征函数、本征值记为。如众所周知
（3） 在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为 （4） 因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型： （5） （6） 按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为： （7） （8） （9）本题显然可以精确求解，因为
令 可以写成 （10） 和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为 （11） 因为，将作二项式展开，即得： （12） 和微扰论结果完全一致。 5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．) 解：加电场前，基态波函数为 ，（波尔半径）（1） 满足能量方程 （2）
量子力学讲义VI. 含时微扰论与量子跃迁
VI. 含时微扰论与量子跃迁 1．定态微扰问题与量子跃迁问题在研究目标与处理方法上有何不同？ 答：定态微扰与量子跃迁，是量子力学中两个不同类型的问题，它们的研究目标与手段都不一样．定态微扰是定态问题，它考虑加入微扰作用之后，如何求出体系总哈密顿量的本征值与本征函数的修正项．其出发点为定态波动方程．量子跃迁问题是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间变化的问题，是依据含时波方程 实际计算量子态间跃迁概率的问题．一般说来，这两类问题都需应用近似方法求解． 2．含时微扰在含时情况不同时，对体系产生的效果有何不同？ 答：如果微扰作用平缓稳定，则将产生定态扰动效果，如能级与量子态偏移，简并消除等．如果扰动作用是以淮静态 方式加于体系的(即变化极其缓慢)，将不会产生跃迁效应．相反，若扰动作用时间不长，则只可能发生跃迁而不会发生定态扰功效应．对于一般情况，两种效应都可能发生．这里，扰动时间长短，或变化快慢，是相对体系本身的所谓特征时间 而言的．如对于原子，其特征时间为(秒)。因此人为施加的宏观扰动都可视为定态扰动·(为体系能级间距所对应的角频率)． 3.非相对论量子力学中是如何处理光的吸收和辐射问题的？ 答：在通常量子力学(非相对论量子力学)中，处理光的吸收与辐射问题采用的是半经典方法．这种方法将入射光用经典的电磁被来描述，光与原于(主要与原子中的电子)的相互作用也用经典电动力学的方法来表示．例如将量子电磁体系展开为为电偶极矩．电四极矩、磁偶极矩等多极结构．以电磁波与不同近似的多极结构的相互作用为周期件微扰，以便以后使用量子跃迁方法求出相应的跃迁概率与跃迁速率．由于这种方法综合运用了经典电动力学理论与量子跃迁理论，故称之为半经典方法．这类方法在非相对论量子力学中经常应用． 4.用沿正方向传播的右旋圆偏振光照射原子，造成原子中电子的受激跃迁．求选择定则． 解：右旋偏振光中的电场的旋转方向符合右手螺旋法则．因波长远大于原于半径，可以略去电场的空间变化(相当于 只考虑电偶极跃迁)．如以表示光波电场的振幅，则电场的时间变化为
浙江大学硕士研究生考试量子力学和普通物理复习提纲
硕士研究生考试量子力学复习提纲I. 波函数与Schr?dinger方程 - 束缚态 波粒二相性，态迭加原理，波函数的统计解释 定态，一维方势阱，一维谐振子 II.力学量与算符 算符的运算与平均值 厄米算符的本征值和本征函数 力学量的测量值 对易关系:共同本征函数;测不准关系 平均值随时间的变化; 守恒定律 III.中心势场中的粒子 中心势场中的运动 氢原子 IV.表象理论(矩阵表述) 态、表象、算符的矩阵表示及幺正变换，Dirac符号量子力学的矩阵表述, 海森堡方程 线性谐振子的代数解法（占有数表象） 角动量J2、JZ 的本征。 V. 定态微扰论 定态非简并微扰论 定态简并微扰论 氢原子的一级Stark效应
VI. 含时微扰论与量子跃迁 ( 含时微扰论 跃迁几率 光的发射和吸收 选择定则 VII. 弹性散射 一维势垒贯穿问题 分波法, 波恩近似 VIII. 电磁场中的粒子 电子自旋 两角动量相加轨道角动量—自旋耦合， IX.多粒子系统 全同性原理 无相互作用的多粒子体系波函数 泡利不相容原理 硕士研究生考试普通物理复习提纲 一、掌握物理学研究问题的基本概念及方法：国际单位制与量纲、参考系与坐标系、理想模型法、理想实验、对称性与守恒定律等 二、质点运动学 质点，运动学方程，位置矢量和位移矢量
瞬时速度和瞬时加速度，速度和加速度在直角坐标系中的表示形式 自然坐标系，切向和法向加速度 掌握已知运动方程求和，已知加速度求方法三、质点动力学 动量、动量守恒定律、冲量定理及平均冲力的计算 牛顿定律及其应用、非惯性系与惯性力 功、恒力的功和变力的功的计算，质点和质点组的动能定理 保守力和非保守力，重力、弹簧弹力、万有引力的功及其相关的势能 势能与保守力的关系，机械能守恒定律及应用 四、角动量守恒和刚体力学 质点或质点组对某参考点和轴的角动量定理及其守恒定律 质心及转动惯量的计算、平行轴定理
量子力学中微扰理论的简单论述论文
量子力学中微扰理论的简单论述
摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论
目录 1 非简并定态微扰论 (1) 2 简并定态微扰论 (8) 2.1理论简述： (8) 2.2简并定态微扰论的讨论 (10) (11) 11
v .. . .. 0 引言 微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。 微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。 1 非简并定态微扰论 1.1 理论简述 近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。[1] 假设体系的哈密顿量H 不显含t ，定态的薛定谔方程 H E ??=
求解量子力学微扰论的高级修正
求解量子力学微扰论的高级修正 贵州师范大学侯天江 摘要:本文从理论上详细求解了非间并定态微扰情况下波函数的三级近似，间并定态情微扰情况下能量至三级波函数至二级修正，最后综合应用上述两种情况的方法来解决氢原子二级斯塔克效应。在很多高校量子力学教材和网络期刊上非间并定态微扰理论已经求解到了能量到二级修正波函数到二级修正，而能量三级修正在部分习题书上已经求解，但波函数三级修正目前为止还未有人求解。间并情况下很大部分书籍由久期方程求解了能量的一级修正，只提及了求解零级波函数的思想，并没有对此理论作出深入讨论。为此，在已有的理论基础之上本章将对微扰论进一步继续发展。 关键词：微扰论;非间并波函数三级修正;间并修正;二级斯塔克效应 Abstract:In this paper, a detailed theory for solving the inter-and non-steady-state wave function under the perturbation of the three-level approximation, and steady-state conditions between the perturbation energy to the three cases, the wave function to two amendments to the comprehensive application of the last two cases above to solve the hydrogen atom Stark effect II. Colleges and universities in many quantum mechanics textbooks and online journals and non-inter-state perturbation theory has been set for solving the energy wave function to the two amendments to the two amendments, and amendments to the energy in the three books have been part of exercises to solve, but the wave function c class so far has not been amended to solve. And is among the majority of cases of books from the equation to solve the energy level of the amendment refers only to the solution of zero-order wave function of thinking, did not conduct an in-depth discussion of the theory. To this end, the existing theory based on perturbation theory in this chapter will continue to develop further.
量子力学中的微扰论
第一章近似方法 无论是经典力学还是量子力学，可以严格求解的物理系统总是少数。如在经典力学中，两个物体在万有引力作用下运动，即二体问题是可以严格解的，解出来就是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力，它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。19世纪末，法国数学家彭加勒证明了三体问题是不可解的，或说是不可积的，即无法表示为一个轨道的方程甚至无法表示为一个不定积分。彭加勒证明：对可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。 实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理。在什么情况下使用什么样的近似方法，考虑哪些因素，忽略哪些因素，取舍之间蕴涵着丰富的物理内容。 如：经典力学中的三体问题，通常使用微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰来处理。譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。月亮对地球轨道也有影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。微扰论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。 量子力学处理的是微观粒子，而实际问题大多包含多个微观粒子，因此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于——多体性。对于具体物理问题的薛定谔方程，能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的问题很少。在通常遇到的许多问题中，由于系统的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解，只能求近似解。因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。 在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数，因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩-奥本哈默近似等。不同的近似方法有不同的适用范围，其中应用最广泛的近似方法就是微扰论。微扰论一般可以分为两大类：一类用于体系的哈密顿算符不是时间的显函数，主要讨论的是定态问题；另一类用于体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况，主要讨论的是体系状态之间的跃迁问题。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密 顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。本章将介绍微扰论和变分法。 本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。 §5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级 Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。 假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程 ?H E ψψ= 满足下列条件： ?H 可分解为 0?H 和 ?H '两部分，而且 0?H 远大于?H '。 00????? H H H H H ''=+ 0?H 的本征值和本征函数已经求出，即 0 ?H 的本征方程 (0)(0)(00?n n n H E ψψ=中， 能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。微扰论的任务就是从0 ?H 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰?H ' 后，?H 的本征值和本征函数。3. 0 ?H 的能级无简并。严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。例如我们要通过微扰计算?H '对 0 ?H 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)n E 无简并，它相应的波函数只有(0) n ψ一个。其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。4. 0H 的能级组成分离谱。严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。 在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的 0 ?H 的本征值和本征函数出发求0H 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数λ，将?H '写成?H λ' ，将 ?H ' 的微小程度通过λ 的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是 0???()n n n n H H H E ψλψψ'=+= 将能级n E 和波函数 n ψ 按λ 展开：
量子力学习题
量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年
第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。
第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=
量子力学中微扰理论的简单论述
量子力学中微扰理论的简单论述 摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论
A simple discussion of perturbation theory in quantum mechanics Abstract：In quantum mechanics, because the system's Hamiltonian operatorare is complicated, the situation that Schrodinger's equation can be solved isexactly few. Therefore, the introduction of various.approximation methods for solving Schrodinger equation problem is something important. Approximate methods commonly are perturbation method, variational method, the semiclassical approximation and the adiabatic approximation and so on. Different approximation methods have different application scope, we willdiscuss the perturbation theory of discrete spectrum below. For Hamiltonian system of not containing time of discrete spectral of perturbation theory and degenerate stationary perturbation theory. Key Words：non degenerate stationary perturbation theory 、degenerate stationary perturbation theory.
微扰理论
微扰理论 (量子力学) 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法于量子力学。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。 微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依于时间，详见含时微扰理论。本篇文章只讲述不含时微扰理论。此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。 目录 [隐藏] ? 1 微扰理论应用 ? 2 历史 ? 3 一阶修正 ? 4 二阶与更高阶修正 ? 5 简并 ? 6 参阅 ?7 参考文献 ?8 外部链接 [编辑]微扰理论应用 微扰理论是量子力学的一个重要的工具。因为，物理学家发觉，甚至对于中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。例如，通过添加一个微扰的电位于氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 可知，归一化常数为 于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 0V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于020<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中， 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有 此即能量满足的超越方程。 当02 1V E -=时，由于 故 40ππ-=n a mV ， ,3,2,1=n 最后，得到势阱的宽度 三.（20分）设厄米特算符H ?的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符 （1） 计算对易子()[] n m U H ,?,?； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,?,?,?δ=+；
（3） 计算迹(){} n m U ,?Tr ； （4） 若算符A ?的矩阵元为n m mn A A ??=，证明 解： （1）对于任意一个态矢ψ，有 故 （2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,?,?,?δ????== （3）算符的迹为 （4）算符 而 四. （20分）自旋为 21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2 =x s 的状态， （1） 求出0>t 时的波函数； （2） 求出0>t 时x s ?与z s ?的可测值及相应的取值几率。 解：体系的哈密顿算符为 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为 在0=t 时，粒子处于2 =z s 的状态，即 而x σ ?满足的本征方程为 解之得 由于，哈密顿算符不显含时间，故0>t 时刻的波函数为 （2）因为[] 0?,?=z s H ，所以z s 是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0=t 时z s 的取值几率就知道了0>t 时z s 的取值几率。 由于 210,2=??? ??= z s W ；210,2=??? ? ?-= z s W 故有 而x s 的取值几率为 五. （20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 ()r Ze r V 2 -=（Ze 为核电荷）