传统时间序列分析
第九章传统时间序列分析
时间序列的变动主要是由长期趋势、循环波动、季节变动及不规则变动而形成的，其中前三种变动有一个共同的特点，就是依一定的规则而变化，不规则变动则在综合中可以消除。基于这种认识，本章主要是介绍设法消除不规则变动，拟合确定型趋势，因而形成了一系列确定型时间序列分析方法。
实验一季节模型
实验目的：
掌握季节调整的方法。
实验内容：
对时间序列进行季节调整。
知识准备：
经济时间序列的变化受许多因素的影响，概括地讲，可以将影响时间序列变化的因素分为四种，即长期趋势（T，随着时间的变化，按照某种规律稳步地增长、下降或保持在某一水平上）、季节变动因素（S，在一个年度内依一定周期规则性变化）、周期变动因素（C，以若干年为周期的波动变化）和不规则变动因素（I，许多不可控的偶然因素共同作用的结果）。传统时间序列分析应是设法消除不规则变动，指拟合确定性趋势，因而形成了长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定等一系列确定型时间序列分析方法。
季节变动是一种较为普遍的现象，其按照一定的周期循环进行，而且每个周期变化强度大体一致。研究季节变动的目的在于了解季节变动的规律，并进行季节预测。分析季节变动的方法有很多，其中常用的方法有两类：一是不考虑长期趋势的影响；二是考虑长期趋势的影响，运用时间序列模型分解的方法来计算季节指数。谓季节调整,就是将某一统计指标的时间序列中的季节性因素和偶然性因素剔除,从而使经过季节调整的时间序列能够较为准确地反映出社会经济运行基本态势。本章主要介绍X11方法、Census X12方法和移动平均比率法等季节调整方法。
一、X11方法
X11的全称是“X11”变量的第二类调查统计方法季节调整方案，通常简称为X11方案。其基本思想是利用一系列处理技术将不可比因素如季节、节假日、
各月（季）的星期数量等分离，大大提高数据的可比性，以便于对系统作出正确的分析和客观的评价；同时，通过分离，获得关于系统动态结构和规律的大量信息。X11季节调整方法包括乘法模型和加法模型。乘法模型将时间序列分解为上述四个因素变动的乘积；加法模型则将序列分解为上述四个因素的和无约束样本回归模型。
乘法模型：t t t t t I S C T Y ***= （1） 加法模型：t t t t t I S C T Y +++= （2） 对于一个时间序列，采用哪种模型分析取决于各成分之间的关系。一般来说，若4种成分是相互独立的应用加法模型；若相互有关联则用乘法模型。相对而言，乘法模型应用比较广泛。在乘法模型中，时间序列值和长期趋势用绝对数表示，季节变动、周期变动和不规则变动用相对数（百分数）表示。
X11 是X12方法的核心，其目标旨在将经济时序Yt 分解为趋势循环成分TCt 、季节成分S t 和不规则分成I t ，其中月度数据还需要分解出移动节日、交易日数等日历效应分量Dt 。X11 可以估计趋势和季节因素，可以用自动过滤选择模式选择季节过滤和趋势过滤（对序列结尾有专门的过滤），还能够调整异常值。
设t Y 为原时间序列，现以乘法模型为例，说明X11季节调整方法的核心算法，共分为三个阶段：
第一阶段，初步估计
(1)序列趋势循环的粗略估计，即对原序列作中心化移动平均
12/)2
1......21(6556++--++++++=t t t t t t Y Y Y Y Y TC （3） 4)5.05.0(2112--++++++=t t t t t t Y Y Y Y Y TC （4）
（3）式适用于月度数据，（4）式适用于季度数据。该移动平均能够保留线性趋势，消除季节性并减小不规则因素的方差。
(2)趋势因素过滤，计算得到仅包含季节和不规则因素变化新序列SI
t t t TC Y SI /)1(= （5）
(3)对序列)1(t SI 进行3*3项移动平均，得到初步的季节因素估计序列S
)(9/)232(?)1(3*3)1(24
)1(12)1()1(12)1(24)1(t t t t t t t SI M SI SI SI SI SI S =++++=++-- （6）
对每个月的观测值分别应用3*3项移动平均，从而保留线性趋势。
(4)先将季节因素估计序列除以2*12的移动平均值，得到初步的无偏季节因子，然后从中消除季节因子从而得到不规则因子
[]
)1(12*2)1()1(6)1(5)1(5)1(6)1()1(??24/)??2....?2?(?t t t t t t t t S M S S S S S S S -=++++-=++-- （7） 通过对季节因子进行标准化，使得因子之和在每个连续的12个月内都近似为0。
(5)将原序列除以季节因子，从而得到初步季节调整后的序列
)1()1(/t t t S Y TCI = （8） 这是初次估计的季节调整后序列，所包含的季节性因素已经很少。接下来将基于)
1(t TCI 序列继续进行移动平均。
第二阶段 进一步估计和过滤
（1）利用长度为2H+1Henderson 过滤来计算趋势（循环）成分 ∑-=++=
H H j j t H j TCI h TCt )1()12()2( （9）
其中H 值由信噪比标注I/C （C 代表趋势）确定，j h 为各平滑数据的权数。X-12选择H 的标准：当I/C<1.0 时，用9（即H=4）次过滤；当1.0=I/C<3.5，用13（即H=6）次过滤；当3.5=I/C 时，用23（即H=12）次过滤。
(2)计算最后的季节-不规则因素的比率
)2()2(/t t t TC Y SI = （10）
(3)通过3*5项移动平均计算出最后的季节因素，再对其进行收敛得到无偏季节因素
[])2(5*3)2(36)2(24)2(12
)2()2(12)2(24)2(36)2(15/)23332(?t t It t t t t t t SI M SI S SI SI SI SI SI S =++++++=+++--- (11)
对每月（季）的观测值分别应用3*5项移动平均，从而保留线性趋势。
(4)计算最终的季节因子
24/)??2....?2?(?)2(6
)2(5)2(5)2(6)2()2(++--++++-=t t t t t t S S S S S S (12) 上式对季节因子进行标准化，使得因子之和在每一个连续的12月（4季度）内都近似为零。
（5）第二步季节调整后的序列
)2()2(/t t t S Y TCI = (13)
第三阶段 最终估计与过滤
（1）利用Henderson 移动平均公式计算最终的趋势循环因素
∑-=++=
H H j j t H j TCI h TCt )2()12()3( (14)
上式表示2H+1项Henderson 移动平均，其移动平均的项数由数据决定，可能会第二阶段步骤一有所不同。
（2）计算最终的不规则因素
)3()2()3(/t t t TC TCT I = (15)
从而得到分解序列的乘法模型：)3()2()3(t t t t I S TC Y **=
至此，季节调整完毕。季节调整加法模型等其他季节调整模型的步骤与乘法模型类似。
由此可以看出，X11是基于移动平均的季节调整方法，用户可以根据各种季节调理的目的不同自主地选择计算公式，从而适应序列的特征。系统也会自动地根据随机因素的大小确定移动平均的长度。在X11 中，趋势过滤包括2×12（或2×4）初步的趋势估计和最终趋势估计的Handerson 过滤两个环节，季节（自动）过滤包括3×3 初步的季节估计和3×3、3×5 或3×9 的最终季节过滤两个环节。多数情况下可选择3×5，季节模式迅速变化时用3×3，季节模式不是正在变化或不规则因素影响很大时用3×9。趋势估计或季节估计都采用平滑方法。
X11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步准确化。应当注意，X11只能作用于含季节因素的序列，季节调整的观测值的个数是有限制的，最少需要4个整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。
二、Census X12季节调整方法
Census X12是美国人口普查局关于季节调整的最新研究成果，X11 是X12方法的核心。 其主要的变化在于可以对数据作更加丰富的预处理，检测和修正不同类型的离群值，估计并消除日历因素的影响，对季节调整的效果进行更严格的诊断检验。其是一种基于给定序列进行成分提取的季节调整方法，是一种基于移动平均的非参数方法提取成分。
1、X12季节调整的模型选择
X12保留了基本的加法和乘法模型，而且还可以计算另一种乘法模型，即把被调整序列取对数后进行加法分解再指数化，这被称为对数加法模型。它适合于对模型的趋势估计进行偏差修正，同时还可对对数正态分布识别的极端值进行修正。伪加法模型是由英国国家统计办公室开发。时序季节调整方法有如下四种：
加法模型：t t t t I S TC Y ++= （16） 乘法模型：t t t t I S TC Y **= （17） 利用对数变换可将乘法模型转换成加法模型，即对数加法模型：
t t t t I S TC Y ln ln ln ln ++= （18）
伪加法模型：)1(-+*=t t t t I S TC Y （19） 其中，t TC 表示趋势循因素；t S 表示季节因素；t I 表示不规则因素。乘法模型应用最为广泛。伪加法模型主要用来对在每年相同月份取值很小、接近于零的非负时间序列进行季节调整。
X12季节调整方法的基本过程和步骤与X-11方法的原理相同，在此就不再重述。但其在X-11方法的基础上，增加了交易日的调整。
2、交易日影响
月度（季度）时间序列中循环出现的星期构成效应称为交易日影响。Yong （1965）讨论了流量交易日的影响，Cleveland and Grupe （1983）讨论了存量贸易日的影响。与季节效应类似，交易日效应也使得序列的跨月比较或者两个序列之间运动规律的比较显得困难。因此，在执行季节调整时如果估计的交易日效应应具有统计显著性，通常要将它们从序列中调整出去。
为了从月度流量序列中得到交易日效应模型，设一周中第i 天的效应记为)7,...,2,1(=i i α,it d 表示月份t 中星期i 的个数，则该月贸易日的累积效应可表示
为：
∑=71i it i
d α (20) 记α为平均日度效应，t N 该月的长度，∑∑===7
1
,7/i it t i d N αα，则上式可
以表示为：
∑∑∑===--+=-+=6
177171))(()(i t it i t i i it i t it i
d d N d N d ααααααα 累积的月度效应可以分解为月份长度效应和日度对立变量的净效应，因此式
（20）的季节成分和水平成分归于日历月均值t N *α表示，其中：
∑=+=4
1
1241*k k t N Nt (21) 至于这些成分如何从模型中消除，取决于用以得到不规则成分的季节分解的类型。对于乘法分解模型，在方程（20）两端同时除以t N *α以消除对交易日效应的去季节化和退势。令1)/(-=a i i αβ，得到
*7161*7*)1()(t i it i i t t it i t t
N d N d d N N ∑∑==+=-+ββ (22)
这就是Yong （1965）没有推导而直接给出的交易日效应模型。设ID 表示包括贸易日影响的不规则因素的初步估计，则其估计可通过最小二乘法拟合下面的模型得到回归系数的估计值)6,...,2,1(=i i β(其中∑=-=6
17i i ββ)：
t t it i i d d εβ+-∑=)(761 (23)
同样地，对于加法模型对应于式（23），是由式（20）两端同时减去t N *α，从而得到
t t i it i t t d d N N εββ+-+-∑=)()(77
1*
0 (24)
其中：ααβαβ-==i i ，0，61≤≤i ；然后与乘法模型类似，建立回归方程
t i it i t t t d N N ID εββ++-=∑=7
1*
0)( （25） 利用普通最小二乘法估计上式中的参数)7,...,2,1(?=i i
β,从而求得的估计结果t
D I ?是乘法模型下贸易日因素影响的估计值，而残差序列是不规则因素变动的估计值。
除了上面介绍的去季节化和退势方法之外，还有一种主要用于加法分解的方法。这就是SABL 季节调整来进行交易日回归的匹配过滤法，在这种方法中，先将不规则滤子施用于式（20）中的回归经过dit ，再用不规则序列对它们进行回归。显然这是对交易日效应进行去季节化和退势的另一种方法。但匹配过滤法如何应用于乘法模型或伪加法模型的分解还不清楚。
三、移动平均比率法
如果时间序列包含有明显的上升或下降趋势或循环变动，为了准确地计算季节指数，就应当首先设法从序列中消除趋势和循环变动因素，然后用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。下面主要分析采用移动平均法拟合长期趋势，从而确定季节变动的过程：
现以加法模型为例，来说明移动平均下加法模型进行季节调整的步骤：
（1）首先对时间序列进行中心化移动平均，其目的是消除各年同一季节数据的不规则变动和季节变动，从而得到趋势循环序列TCt ，其只包含趋势变动T 和循环变动C 。
12)5.0......5.0(66-+++++=t t t t Y Y Y TC (26) 4)5.05.0(2112--++++++=t t t t t t Y Y Y Y Y TC (27)
(25)式适用于月度数据，（26）适用于季度数据。
（2）为了剔除原序列中的趋势变动和循环变动，将原时间序列减去移动平均序列对应时间的各项数据TCt ，从而计算序列SI 。
t t t TC Y SI -= (28)
(3)将序列SI 各年同月或同季的比率数据平均，以消除不规则变动I ，再分别除以全部SI 数据的总平均数，得到季节因子
j s 。 （4）调整季节因子j s 使得它们的和等于零：
∑=-=k
j j j j s k s S 11 (29) j S 为标准化的季节因子，对于季度数据j=1,2,3,4,k=4，即同一季度的季节因子相同；对于月度数据j=1,2,…,12,k=12,即同一月份的季节因子相同。
（5）计算季节调整的最终结果，从而从序列中消除季节变动的影响： j
t t S Y TCI -= (30) 上式中，j S 应与t Y 所在的月份（季度）对应。
乘法模型的季节调整过程原理与加法模型类似。
实验背景：
现获得某企业1995-1998年各月的销售额数据资料如下：
3017.6 3043.54 2094.35 2809.84 3274.8 3163.28 2114.31 3024.57 3327.48 3493.48 2439.93 3490.79 3685.08 3661.23 2378.43 3459.55 3849.63 3701.18 2642.38 3585.52 4078.66 3907.06 2828.46 4089.5 4339.61 4148.6 2916.45 4084.64 4242.42 3997.58 2881.01 4036.23 4360.33 4360.53 3172.18 4223.76 4690.48 4694.48 3342.35 4577.63 4965.46 5026.05 3470.14 4525.94 5258.71 5189.58 3596.76 3881.6
要求采用X12和移动平均比率法对该企业的销售额进行季节调整。
实验步骤：
一、X12季节调整方法
点击Proc/Seasonal Adjustment/Census X12,打开季节调整对话框，如图9.1所示：
图9.1
Seasonal Adjustment复选框：用于选择季节调整方法。其主要包括四种模型供选择：Multiplicative(乘法)、Additive(加法)、Pseudo-additive(伪加法)、Log-additive(对数加法)。
Seasonal Filter：用于选择季节移动平均滤波（又称为月别移动平均项数），缺省时由X12 default自动确定。
Trend Filter(Henderson)复选框：使用Henderson移动平均进行趋势滤波。在估计趋势循环分量时，允许按指定Henderson移动平均的项数，其取值为大于1且小于等于101的奇数，缺省时由X12自动选择项数。
Component Series to Save：用于存储调整后的分量序列。X12方法将被调整的序列名作为缺省列在Base name文本框中，可以改变序列名。X12方法将序列名加上相应的后缀存在工作文件中：Final seasonally adjusted series(-SA)，最终的季节调整后的序列；Final seasonal factor(-SF)，最终的季节因子；Final trend-cycle （-TC），最终的趋势循环序列；Final irregular component(-IR)，最终的不规则因素分量；Combined seasonal/trading day factor(-D16)，季节、贸易日因子；Combined holiday/trading day factor（-D18）,假日、贸易日因子。
ARIMA Options：用于选择ARIMA模型。在此不作介绍。
单击Trading Day/Holiday，打开贸易日和节假日调整框，如图9.2所示：
图9.2
用于选择Adjustment Options，决定是否进行贸易日和节假日调整。None,表示不进行调整；Adjust in ARIMA step表示在ARIMA步骤进行调整；Adjust in X11 step表示在X11步骤进行调整。
Trading Day Effects：用于贸易日影响调整。Flow day-of –week/leap year effects(流量序列对周工作日影响进行调整）、Flow weekday-weekend/leap year effects(流量序列仅对周日-周末影响进行调整)、Stock day-of week of month(存量序列仅对月度序列调整而且还需给出被调整序列的月天数)。
Holidays：用于节假日调整，由于只针对美国，不能应用于其它国家，因此不作介绍。对于除季节调整和交易日调整外的其它功能在此不作介绍。
在本例中，点击View/graph/line,得到序列的趋势图如下：
图9.3
从趋势图可以很明显地看到该企业的季度销售额呈现出季节性。因此,选择Census X12 乘法模型，按系统默认确定调整后的序列名,不进行间距诊断，不进行贸易日调整、节假日及外部影响调整，不考虑ARIMA模型，点击“确定”，从而得到最终的季节调整后的序列xsa，最终的季节因子xsf，最终的不规则因素分量xir及最终的趋势循环分量xtc等序列。如图9.4所示：
图9.4
二、移动平均比率法
在序列窗口点击Proc/Seasonal Adjustment/Moving Average Method ，打开移动平均比率对话框，如图9.5所示：
图9.5
Adjustment method：用于选择调整所适用的模型，其包括Ratio to moving
average-Multiplicative(乘法模型)和Difference from moving average-Additive(加法模型)。
Series to calculate：用于定义计算后的序列名。Adjusted用于定义调整后的序列名；Factors用于定义季节调整因子序列名。
在本例中，选择Ratio to moving average-Multiplicative(乘法模型)，默认系统确认的调整后的序列名，季节调整因子序列名为ss，然后点击OK，得到如下结果：
图9.6
从Eviews输出结果知，该企业销售额各月的季节因子。
然后打开调整后的序列xsa,观察其折线图，如图9.7所示：
图9.7
可以很明显地看到季节调整后的序列明显地消除了原序列的季节性。
实验二 趋势模型与分析
实验目的：
掌握如何建立一个趋势模型。
实验内容：
对经过季节调整的时序建立趋势模型
知识准备：
长期趋势是时间序列的主要构成要素，它是指现象在较长时间内持续发展变化的一种趋势或状态。通过对时间序列长期趋势的分析，可以掌握现象活动的规律，并对未来的发展趋势做出判断或预测。此外，可以将长期趋势从时间序列中予以剔除，从而观察和分析其它因素对时间序列的影响。本章主要介绍回归分析法与HP(Hodrick-Prescott)滤波方法。
一、回归方法
常用来描述时间序列的趋势变动的拟合模型有以下几种：
线性方程：bt a Y t += (31) 二次曲线：2ct bt a Y t ++= (32) 指数曲线：)(bt a t e Y += (33) 修正指数曲线：t t ab k Y += (34) Gompertz(龚帕兹)曲线：)10(ln ??+=b ab k Y t t (35) Logistic(逻辑斯谛)曲线：t t ab k Y +=-1 (36) 趋势模型主要利用图形识别结合差分法来进行模型的基本选择。当时间序列各项数值的一阶差分相等或大致相等，就可以匹配线性方程；当时间序列的二阶差分相等或大致相等，就可以匹配二次曲线；当时间序列的一阶差比率相等或大致相等，就可以匹配指数曲线；当时间序列一阶差的一阶比率相等或大致相等，就可以匹配修正指数曲线。
二、HP 滤波方法
HP 滤波方法在分析宏观经济趋势方面有着广泛的应用，它由Hodrick 和
Presott 于1981年在分析美国战后的经济景气时首先提出。HP 滤波假设时间序列t y 由趋势成分和波动成分组成，T t y 是包含趋势成分，C
t y 是包含波动成分，则
C t T t t y y y += (37) 计算HP 滤波就是从t y 中分解出T
t y 。一般地，时间序列t y 中可观测部分趋势T t y 常被定义为下式最小化问题的解： []2
112112)()()(∑∑=-=-+---+-T i T t T t T t T t T t T t t y y y y y y
λ (38) 其中，0>λ，这个使式（40）达到最小的T t y 即被认为是时间序列的趋势性
成分。式中λ是控制平滑程度的惩罚因子，λ越大，T t y 越平滑；当∞→λ时，
上式第二项中只能取零，这时HP 滤波只能退化成最小二乘法了。一般经验，λ的取值如下：当序列是季度序列，λ=100；是年度序列，λ=1600；是月度序列，λ=14400。a
实验背景：
对上述经过季节调整的序列生成趋势模型，并与HP 滤波中生成的趋势序列进行比较。
实验步骤：
通过实验一，得到经过季节调整的序列XSA 。
点击Quick/Generate Series,打开生成新序列对话框，如图9.8所示：
图9.8
在Enter equation中输入相关函数，在本例中，由于调整后的序列呈现出线性趋势，输入dxsa=d(xsa),表示对调整后的序列作一阶差分生成一个新的序列dxsa。然后再观察dxsa的趋势走向，如图9.9所示：
图9.9
上图表明，对季节调整后的序列一阶差分生成的新序列dxsa在某一水平上下波动，表明季节调整后的序列xsa具有线性趋势，由此可建立一个线性模型。
点击Quick/Generate Series,生成时间序列，如图9.10所示：
图9.10
@TREND(d)表明生成以d期为0的时间趋势变量，其中d为日期（适用于时间序列数据）或观测值个数（适用于截面数据）。在本例中，输入t=@trend(1994.12) ，表明生成以1994年第12个月取值为0的时间趋势变量。
在序列t及xsa窗口点击Proc/Make equation,打开回归对话框，如图9.11所
示：
图9.11
在Equation specification窗口中依次输入被解释变量、常数项、解释变量。在本例中，依次输入xsa、c 、t，中间用空格断开。Estimation settings：估计设置。估计方法（Method）：LS (最小二乘法)、TSLS（二阶段最小二乘法）、GMM （广义最小二乘法）等等；估计区间（Sample）。在本例中，选择最小二乘法，然后点击确定，可得到估计结果，如图9.12所示：
图9.12
由上图可知季节调整后的序列的回归结果：t a s
x 14.4077.2667?+=。常数项和时间这两个变量的t 统计量分别为49.08、20.78，904.02=R ,表明该模型经过了统计检验。
在序列x 窗口，点击Proc/Hodrick-Prescott Filter ，打开HP 滤波窗口，如图
9.13所示：
图9.13
首先指定分解后的序列名，既可以系统默认，也可以填入一新的趋势序列名。然后给定Smoothing Parameter （平滑参数）Lambda 的取值，年度数据为100，季度和月度数据分别取1600和14400，不允许填入非整数的数据。单击OK,得到相关结果，如图9.14所示：
图9.14
可见，经HP 滤波后生成的趋势序列也具有线性趋势，其基本结论与回归分析下
的基本一致。
实验三 指数平滑法
实验目的：
掌握用指数平滑法对时序的平滑过程并进行相关的预测。
实验内容：
指数平滑法
知识准备：
指数平滑法是另一种计算时间序列长期趋势的方法，是加权平均的一种特殊形式。指数平滑法是布朗(Robert G ..Brown)所提出，是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，是最常用的一种预测方法，特别适用于中短期预测。
1、单指数平滑法
单指数平滑通常适用于不可预测的向上或向下趋势的预测。设观测序列t y y y ,...,,21,α为加权系数，其计算公式如下：
1?)1(?--+=t t t y a y y
α (0 ∑∞ =--=0)1(?i i t i t y y αα (44) （44）式表明t y ?是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为α， )1(αα-,2)1(αα-，…；由于加权系数呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（43）式称为指数平滑。根据实践经验，a 的实际取值范围一般以0.1~0.3之间为宜。如何进一步确定a 的最佳取值，通常要结合理论分析和模型对比的方法来进行。单指数平滑的预测公式如下： T k T y y ??=+ (45) 2、双指数平滑 双指数平滑是对一次指数平滑的再平滑，当观测数据有清楚的趋势并可能包括未来向上运动预测的信息时采用此法预测。其表达式如下： k D S D S y T T T T k T )(12?--+-=+αα (46) 其中， 1)1(--+=t t t S y S αα (47) 1)1(--+=t t t D S D αα (48) 其中：0 另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值00,D S 。初始值实质上是序列起始点之前所有历史数据的加权平均值，但在实际工作中，由于获得历史数据多少的不同，往往采用经验方法来确定。因而可以通过在最初预测时，选择较高的α值来减少由初始值选择不当所造成的预测偏差，从而使预测模型调整到当前水平。 Holt-Winters 法也是指数平滑中的一种，它适用于对具有季节影响的线性增长趋势的序列进行预测。这种方法计算截距（常数项）、趋势系数（斜率）和季节影响的各个递推值。其可分为乘法、加法及无季节模型。 3、Holt-Winters 乘法模型 这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。其利用三个方程，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的、季节的），它包含三个参数（从0~1）和一个追加的季节性方程式，其基础方程式如下： ))(1(11---+-+=t t L t t t b S I x S αα (0 11)1()(---+-=t t t t b S S b γγ (0<γ<1) (50) L t t t t I S x I --+=)1(ββ (0<β<1) (51) 式中，L 为季节的长度（每年的月数或季数）；I 为季节修正系数。利用其预测的公式如下： L k T T T k T I k b S y -+++=)(? (52) 4、Holt-Winters 加法模型 这种方法适用于序列具有线性趋势和加法季节变化。其基础方程如下： ))(1()(11---+-+-=t t L t t t b S I x S αα (0 L k T T T k T I k b S y -++++=? (56) 其中L k T I -+用样本数据最后一年的季节因子。 5、Holt-Winters------无季节模型 这种方法适用于序列具有线性趋势但无季节变化。其基础方程如下： ))(1(11--+-+=t t t t b S x S αα (0 k b S y T T k T +=+? (59) 采用Holt-Winters 方法的一个重要问题是如何确定γβα,,的值，以使均方差达到最小。虽然有一些方法可以利用非线性最佳算法求得最佳参数值，但通常确定γβα,,值的最佳方法仍是反复试验法。 实验背景： 现获得某企业2000年至2005年各季的销售量（单位：万元）资料如下： 362 385 432 341 382 409 498 387 473 513 582 474 544 582 681 557 628 707 773 592 627 725 854 661 要求采用指数平滑法预测2006年第二个季度的销售量。 实验步骤： 点击Proc/Exponential Smoothing,打开指数平滑对话框，如图9.15所示： 河南大学: 姓名:汪宝班级:七班学号:1122314451 班级序号:68 5:我国1949年－2008年年末人口总数(单位:万人)序列如表4－8所示(行数据)．选择适当的模型拟合该序列的长期数据，并作5期预测。 解：具体解题过程如下：（本题代码我是做一问写一问的） 1:观察时序图: data wangbao4_5; input x@@; time=1949+_n_-1; cards; 54167 55196 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64653 65994 67207 66207 65859 67295 69172 70499 72538 74542 76368 78534 80671 82992 85229 87177 89211 90859 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 ; proc gplot data=wangbao4_5; plot x*time=1; symbol1c=black v=star i=join; run; 分析:通过时序图,我可以发现我国1949年－2008年年末人口总数(随时间的变化呈现出线性变化.故此时我可以用线性模型拟合序列的发展． X t=a+b t+I t t=1,2,3,…,60 E(I t)=0,var(I t)=σ2 其中，I t为随机波动；X t=a+b就是消除随机波动的影响之后该序列的长期趋势。 青海民族大学 毕业论文 论文题目：时间序列分析方法及应用—以青海省GDP 增长为例研究 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 院系：数学与统计学院 专业班级：统计学 二○一五年月日 时间序列分析方法及应用——以青海省GDP增长为例研究 摘要: 人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造世界，让自己的生活过得更理想。时间序列是指同一空间、不同时间点上某一现象的相同统计指标的不同数值，按时间先后顺序形成的一组动态序列。时间序列分析则是指通过时间序列的历史数据，揭示现象随时间变化的规律，并基于这种规律，对未来此现象做较为有效的延伸及预测。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界的目的。而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，由于时间序列数据之间的相关关系（即历史数据对未来的发展有一定的影响），修正或重新设计系统以达到利用和改造客观的目的。从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批有“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横截面数据和纵截面数据两类。本论文主要研究纵截面数据，它反映的是现象以及现象之间的关系发展变化规律性。在取得一组观测数据之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，可以把时间序列分为平稳序列和非平稳序列两大类。主要采用的统计方法是时间序列分析，主要运用的数学软件为Eviews软件。大学四年在青海省上学，基于此，对青海省的GDP十分关注。本论文关于对1978年到2014年以来的中国的青海省GDP（总共37个数据）进行时间序列分析，并且对未来的三年中国的青海省GDP进行较为有效的预测。希望对青海省的发展有所贡献。 关键词: 青海省GDP 时间序列白噪声预测 精品文档 浙江农林大学 2009 - 2010 学年第 二 学期考试卷（A 卷） 课程名称： 应用时间序列分析 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共12分） 1. 关于严平稳与（宽）平稳的关系，不正确的为 。 ( ) A. 严平稳序列一定是宽平稳序列 B. 当序列服从正态分布时，两种平稳性等价 C. 二阶矩存在的严平稳序列一定为宽平稳的 D. MA(p)模型一定是宽平稳的 2. 下图为某时间序列的相关检验图，图1为自相关函数图，图2为偏自相关函数图，请选择模型 。 ( ) 图1 图2 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 A. AR(1) B. AR(2) C. MA(1) D. MA(2) 3. 下图中，图3为某序列一阶差分后的自相关函数图，图4为某序列一阶差分后的 偏自相关函数图，请对原序列选择模型。( ) 图3 图4 A.ARIMA(4，1，0) B. ARIMA(0，2，1) C. ARIMA(0，1，2) D.ARI MA(0，1，4) 4. 记B 为延迟算子，则下列不正确的是 。 ( ) A. 0 1B = B. (1)k t t k t X X B X --=- C. 12t t BX X --= D. 11()t t t t B X Y X Y --±=± 5.对于平稳时间序列，下列错误的是 ( ) A.)(212εσεE = B.),(),(k t t k t t y y Cov y y Cov -+= C.k k -=ρρ D.)(?)1(?1k y k y t t +=+ 6.下图为对某时间序列的拟合模型进行显著性水平0.05α=的显著性检验，请选择 该序列的拟合模型 。 ( ) 时间序列分析试卷1 一、 填空题（每小题2分，共计20分） 1. ARMA(p, q)模型_________________________________，其中模型参数为 ____________________。 2. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为_________________________。 3. 设ARMA (2, 1)： 1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++- 则所对应的特征方程为_______________________。 4. 对于一阶自回归模型AR(1): 110t t t X X φε-=+＋，其特征根为_________，平稳域是 _______________________。 5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型平稳。 6. 对于一阶自回归模型MA(1): 10.3t t t X εε-=-，其自相关函数为 ______________________。 7. 对于二阶自回归模型AR(2): 120.50.2t t t t X X X ε--=++ 则模型所满足的Yule-Walker 方程是______________________。 8. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型： 1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=++++++L L 则预测方差为___________________。 9. 对于时间序列{}t X ，如果___________________，则()~t X I d 。 10. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p ，q)模型，则其模型结构可写为_____________。 二、（10分）设时间序列{}t X 来自()2,1ARMA 过程，满足 ()()2 10.510.4t t B B X B ε -+=+, 其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2 t t 0,E Var εεσ==。 时间序列分析期末考试 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY- 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 湖南大学课程考试试卷 课程名称： 时间序列分析 ；课程编码： 试卷编号： A ；考试时间： 一、 简答题（每小题5分，共计20分） 1、 说明平稳序列建模的主要步骤。 2、 ADF 检验与PP 检验的主要区别是什么？ 3、 如何进行两变量的协整检验？ 4、 简述指数平滑法的基本思想。 二、 填空题（每小题2分，共计20分） 1. 对平稳序列，在下列表中填上选择的的模型类别 2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显着性检验，那么检验的对象为___________，检验的原假设是___________。 3. 时间序列预处理常进行两种检验，即为_______检验和_______检验。 4. 根据下表，利用AIC 和BIC 准则评判两个模型的相对优劣，你认为______模型优 于______模型。 5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型平稳。 6. 设ARMA (2, 1)： 则所对应的特征方程为_______________________。 7. 简单季节差分模型的模型结构为: ______________________。 8、对于时间序列{}t X ，如果___________________，则()~2t X I 。 9. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。 10. k 步差分的定义为k t X ?=___________________________。 三、 （15分）设{}t ε为正态白噪声序列，()()2t t 0,E Var εεσ==，时间序列}{t X 来自 试检验模型的平稳性与可逆性。 考核课程 时间序列分析（B 卷） 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟 注：B 为延迟算子，使得1 -=t t Y BY ；?为差分算子，1--=?t t t Y Y Y 。 一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。） 1. 若零均值平稳序列{}t X ，其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性，则对{}t X 可能建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.MA(1) 2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ B ）。 A. )1(MA B.)1(AR C.)1,1(ARMA D.)2(MA 3. 考虑MA(2)模型212.09.0--+-=t t t t e e e Y ，则其MA 特征方程的根是（ C ）。 （A ）5.0,4.021==λλ （B ）5.0,4.021-=-=λλ （C ）5.2221==λλ， （D ） 5.2221=-=λλ， 4. 设有模型112111)1(----=++-t t t t t e e X X X θφφ，其中11<φ，则该模型属于（ B ）。 A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1) 5. AR(2)模型t t t t e Y Y Y +-=--215.04.0，其中64.0)(=t e Var ，则=)(t t e Y E （ B ）。 A.0 B.64.0 C. 1 6.0 D. 2.0 6.对于一阶滑动平均模型MA(1): 15.0--=t t t e e Y ，则其一阶自相关函数为( C )。 A.5.0- B. 25.0 C. 4.0- D. 8.0 7. 若零均值平稳序列{}t X ?，其样本ACF 呈现二阶截尾性，其样本PACF 呈现拖尾性，则可初步认为对{}t X 应该建立（ B ）模型。 A. MA(2) B.)2,1(IMA C.)1,2(ARI D.ARIMA(2,1,2) 8. 记?为差分算子，则下列不正确的是（ C ）。 A. 12-?-?=?t t t Y Y Y B. 212 2--+-=?t t t t Y Y Y Y C. k t t t k Y Y Y --=? D. t t t t Y X Y X ?+?=+?） ( 二、填空题（每题3分，共24分）； 1. 若{}t Y 满足： 1312112---Θ-Θ--=??t t t t t e e e e Y θθ， 则该模型为一个季节周期为 【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！ Long long ago，有多long？估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义？当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢？ 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 ?描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 课程论文时间序列分析 题目时间序列模型在人口增长中的应用学院数学与统计学院 专业统计学 班级统计（二）班 学生殷婷 2010101217 指导教师翠霞 职称 2012 年10 月29 日 引言 人口问题是一个世界各国普遍关注的问题。人作为一种资源，主要体现在人既是生产者，又是消费者。作为生产者，人能够发挥主观能动性，加速科技进步，促进社会经济的发展；作为消费者，面对有限的自然资源，人在发展的同时却又不得不考虑人口数量的问题。我国是一个人口大国，人口数量多，增长快，人口素质低；由于人口众多，不仅造成人均资源的数量很少，而且造成住房、教育、就业等方面的很大压力。所以人口数量是社会最为关注的问题，每年新增加的国民生产总值有相当一部分被新增加的人口所抵消，从而造成社会再生产投入不足，严重影响了国民经济的可持续发展。因此，认真分析研究我国目前的人口发展现状和特点，采取切实可行的措施控制人口的高速增长，已经成为我国目前经济发展中需要解决的首要问题。 本文通过时间序列模型对人口的增长进行预测，国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。人口的预测，作为经济、社会研究的需要，应用越来越广泛，也越来越受到人们的重视。在描绘未来小康社会的蓝图时，首先应要考虑的是未来中国的人口数量、结构、分布、劳动力、负担系数等等，而这又必须通过人口的预测来一一显示。人口数量在时间上的变化，可以用时间序列模型来预测其继后期的数量。 本文通过时间序列分析的方法对人口增长建立模型,取得了较好 的预测结果。时间序列分析是研究动态数据的动态结构和发展变化规律的统计方法。以1990年至2008年中国人口总数为例,用时间序列分析Eviews软件建立模型,并对人口的增长进行预测,研究时间序列模型在人口增长中的应用。 基本假设 (1) 在预测中国人口的增长趋势时，假设全国人口数量的变化是封闭的即人口的出生率和死亡率是自然变化的，而不考虑与其他国家的迁移状况； (2)在预测的年限，不会出现意外事件使人口发生很大的波动，如战争，疾病； (3) 题目数据能够代表全国的整体人数。。 问题分析 根据抽样的基本原理，预测人口增长趋势最直接的方法就是预测出人口总数的增长量，因此我们运用中华人民国国家统计局得到的1990年到2008年度总人口数据。考虑到迁移率、死亡率、出生率、年龄结构等多个因素对人口数量的影响，求解人口增长趋势的关键是如何在我们的模型中充分的利用这些影响因素从而使我们的预测结果具有较高的精确性。 研究数据： 《时间序列分析》课程实验报告 一、上机练习（P124） 1.拟合线性趋势 12.79 14.02 12.92 18.27 21.22 18.81 25.73 26.27 26.75 28.73 31.71 33.95 程序： data xiti1; input x@@; t=_n_; cards; 12.79 14.02 12.92 18.27 21.22 18.81 25.73 26.27 26.75 28.73 31.71 33.95 ; proc gplot data=xiti1; plot x*t; symbol c=red v=star i=join; run; proc autoreg data=xiti1; model x=t; output predicted=xhat out=out; run; proc gplot data=out; plot x*t=1 xhat*t=2/overlay; symbol2c=green v=star i=join; run; 运行结果： 分析：上图为该序列的时序图，可以看出其具有明显的线性递增趋势，故使用线性模型进行拟合：x t=a+bt+I t,t=1,2,3,…,12 分析：上图为拟合模型的参数估计值，其中a=9.7086,b=1.9829，它们的检验P值均小于 0.0001，即小于显著性水平0.05，拒绝原假设，故其参数均显著。从而所拟合模型为： x t=9.7086+1.9829t. 分析：上图中绿色的线段为线性趋势拟合线，可以看出其与原数据基本吻合。 2.拟合非线性趋势 1.85 7.48 14.29 23.02 37.42 74.27 140.72 265.81 528.23 1040.27 2064.25 4113.73 8212.21 16405.95 程序： data xiti2; input x@@; t=_n_; cards; 1.85 7.48 14.29 23.02 37.42 74.27 140.72 265.81 528.23 1040.27 2064.25 4113.73 8212.21 16405.95 ; proc gplot data=xiti2; plot x*t; symbol c=red v=star i=none; run; proc nlin method=gauss; model x=a*b**t; parameters a=0.1 b=1.1; der.a=b**t; der.b=a*t*b**(t-1); output predicted=xh out=out; run; proc gplot data=out; plot x*t=1 xh*t=2/overlay; 一、单项选择题 1．时间数列与变量数列() A都是根据时间顺序排列的B都是根据变量值大小排列的 C前者是根据时间顺序排列的，后者是根据变量值大小排列的 D前者是根据变量值大小排列的，后者是根据时间顺序排列的 2．时间数列中，数值大小与时间长短有直接关系的是() A平均数时间数列B时期数列C时点数列D相对数时间数列 3．发展速度属于() A比例相对数B比较相对数C动态相对数D强度相对数 4．计算发展速度的分母是() A报告期水平B基期水平C实际水平D计划水平5．某车间月初工人人数资料如下： 则该车间上半年的平均人数约为() A 296人 B 292人 C 295 人 D 300人 6．某地区某年9月末的人口数为150万人，10月末的人口数为150．2万人，该地区10月的人口平均数为() A150万人B150．2万人C150．1万人D无法确定 7．由一个9项的时间数列可以计算的环比发展速度( ) A 有8个 B 有9个 C 有10个 D 有7个 8．采用几何平均法计算平均发展速度的依据是( ) A 各年环比发展速度之积等于总速度 B 各年环比发展速度之和等于总速度 C 各年环比增长速度之积等于总速度 D 各年环比增长速度之和等于总速度 9．某企业的产值2005年比2000年增长了58．6％，则该企业2001—2005年间产值的平均发展速度为( ) A 5 %6.58 B 5%6.158 C 6 %6.58 D 6%6.158 10．根据牧区每个月初的牲畜存栏数计算全牧区半年的牲畜平均存栏数，采用的公式是( ) A 简单平均法 B 几何平均法 C 加权序时平均法 D 首末折半法 11、时间序列在一年内重复出现的周期性波动称为（ ） A 、长期趋势 B 、季节变动 C 、循环变动 D 、随机变动 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D 11、B 二、多项选择题 1．对于时间数列，下列说法正确的有( ) A 数列是按数值大小顺序排列的 B 数列是按时间顺序排列的 C 数列中的数值都有可加性 D 数列是进行动态分析的基础 季节性时间序列分析方 法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 第七章季节性时间序列分析方法 由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。 本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。 §1 简单随机时序模型 在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。 一、季节性时间序列 1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。 注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7） 2．处理办法： （1）建立组合模型； （1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847） 对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。 启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除（ 或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。 定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=?=)1(。 二、 随机季节模型 1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-?+=-)1(11??，可以还原为：t t S S e X B =?-)1(1?。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=?-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=?。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为 t S t S e B V W B U )()(= （1） 这里，?? ? ??----=----=?=qS q S S S pS P S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W 2212211)(1)()(平稳。 注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。 §2 乘积季节模型 一、 乘积季节模型的一般形式 由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有 浙江农林大学 2009 - 2010 学年第 二 学期考试卷（A 卷） 课程名称： 应用时间序列分析 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共12分） 1. 关于严平稳与（宽）平稳的关系，不正确的为 。 ( ) A. 严平稳序列一定是宽平稳序列 B. 当序列服从正态分布时，两种平稳性等价 C. 二阶矩存在的严平稳序列一定为宽平稳的 D. MA(p)模型一定是宽平稳的 2. 下图为某时间序列的相关检验图，图1为自相关函数图，图2为偏自相关函数图，请选择模型 。 ( ) 图1 图2 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 A. AR(1) B. AR(2) C. MA(1) D. MA(2) 3. 下图中，图3为某序列一阶差分后的自相关函数图，图4为某序列一阶差分后的 偏自相关函数图，请对原序列选择模型。( ) 图3 图4 A.ARIMA(4，1，0) B. ARIMA(0，2，1) C. ARIMA(0，1，2) D.ARI MA(0，1，4) 4. 记B 为延迟算子，则下列不正确的是 。 ( ) A. 0 1B = B. (1)k t t k t X X B X --=- C. 12t t BX X --= D. 11()t t t t B X Y X Y --±=± 5.对于平稳时间序列，下列错误的是 ( ) A.)(212εσεE = B.),(),(k t t k t t y y Cov y y Cov -+= C.k k -=ρρ D.)(?)1(?1k y k y t t +=+ 6.下图为对某时间序列的拟合模型进行显著性水平0.05α=的显著性检验，请选择 该序列的拟合模型 。 ( ) 应用时间序列分析实验报告 实验名称第三章平稳时间序列分析 一、上机练习 data example3_1; input x; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.036 0.00 0.17 0.45 2.15 4.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.96 0.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34 -1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36 -0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.28 -0.39 -0.52 -2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.21 0.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36 -0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.77 1.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 - 2.47 0.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.39 1.06 -0.39 -0.16 2.07 1.35 1.46 1.50 0.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05 ; procgplot data=example3_1; plot x*time=1; symbolc=red i=join v=star; run; 建立该数据集，绘制该序列时序图得： 根据所得图像，对序列进行平稳性检验。时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵 轴表示序列取值。时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的X围有界的特点。如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。 procarima data=example3_1; identifyvar=x nlag=8; run; 图一 图二样本自相关图 图三样本逆自相关图 时间序列分析基于R——习题答案 第一章习题答案 略 第二章习题答案 2.1 （1）非平稳 （2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 2.2 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图 2.3 （1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 （2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4 LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P 值为0.0363。显著性水平=0.05 ，序列不能视为纯随机序列。 2.5 （1）时序图与样本自相关图如下 （2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 3.1 ()0t E x =,2 1 () 1.96 10.7 t Var x ==-,22 0.70.49 ρ ==,22 φ = 3.2 1715 φ= ,2 115 φ = 3.3 ()0t E x =,10.15 () 1.98(10.15)(10.8 0.15)(10.80.15) t Var x +==--+++ 10.8 0.70 10.15 ρ= =+,2 10.80.150.41 ρ ρ=-=,3 210.80.150.22 ρ ρρ=-= 1110.70 φρ==,22 20.15 φ φ==-,33 φ = 3.4 10c -<<, 1121,1,2 k k k c c k ρρρρ--? =?-??=+≥? 3.5 证明: 该序列的特征方程为：3 2 --c 0c λλλ+=，解该特征 方程得三个特征根： 11 λ=，2 c λ =3 c λ =-无论c 取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。证毕。 3.6 (1)错 （2）错 （3）对 （4）错 （5） 3.7 该模型有两种可能的表达式：11 2 t t t x ε ε-=-和 1 2t t t x εε-=-。 3.8 将1 23 100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为 7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录 回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足： 则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。 三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1； 时间序列分析实验指导 4 2 -2 -4 50100150200250 统计与应用数学学院 前言 随着计算机技术的飞跃发展以及应用软件的普及，对高等院校的实验教学提出了越来越高的要求。为实现教育思想与教学理念的不断更新，在教学中必须注重对大学生动手能力的培训和创新思维的培养，注重学生知识、能力、素质的综合协调发展。为此，我们组织统计与应用数学学院的部分教师编写了系列实验教学指导书。 这套实验教学指导书具有以下特点： ①理论与实践相结合，书中的大量经济案例紧密联系我国的经济发展实际，有利于提高学生分析问题解决问题的能力。 ②理论教学与应用软件相结合，我们根据不同的课程分别介绍了SPSS、SAS、MATLAB、EVIEWS等软件的使用方法，有利于提高学生建立数学模型并能正确求解的能力。 这套实验教学指导书在编写的过程中始终得到安徽财经大学教务处、实验室管理处以及统计与应用数学学院的关心、帮助和大力支持，对此我们表示衷心的感谢！ 限于我们的水平，欢迎各方面对教材存在的错误和不当之处予以批评指正。 统计与数学模型分析实验中心 2007年2月 目录 实验一EVIEWS中时间序列相关函数操作 【实验目的】熟悉Eviews的操作：菜单方式，命令方式； 练习并掌握与时间序列分析相关的函数操作。 【实验内容】 一、EViews软件的常用菜单方式和命令方式； 二、各种常用差分函数表达式； 三、时间序列的自相关和偏自相关图与函数； 【实验步骤】 一、EViews软件的常用菜单方式和命令方式； ㈠创建工作文件 ⒈菜单方式 启动EViews软件之后，进入EViews主窗口 在主菜单上依次点击File/New/Workfile，即选择新建对象的类型为工作文件，将弹出一个对话框，由用户选择数据的时间频率（frequency）、起始期和终止期。选择时间频率为Annual（年度），再分别点击起始期栏（Start date）和终止期栏（End date），输入相应的日期，然后点击OK按钮，将在EViews 软件的主显示窗口显示相应的工作文件窗口。 工作文件窗口是EViews的子窗口，工作文件一开始其中就包含了两个对象，一个是系数向量C（保存估计系数用），另一个是残差序列RESID（实际值与拟合值之差）。 第二章习题答案 2.1 （1）非平稳 （2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 2.2 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图 2.3 （1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 （2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4 ，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平=0.05 不能视为纯随机序列。 2.5 （1）时序图与样本自相关图如下 （2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+ 0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01( t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149 .011 )(εεσσ=-= t x Var 49.00212==ρφρ 022=φ 3.2 解：对于AR （2）模型： ?? ?=+=+==+=+=-3.05 .021102112 12112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：???==15 /115/721φφ 3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E 原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.0 第一章习题答案 略 第二章习题答案 （1）非平稳 （2） （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图 （1）自相关系数为： （2）平稳序列 （3）白噪声序列 ，序列不能视为纯随机序列。LB=，LB统计量对应的分位点为，P值为。显著性水平=0.05 （2）非平稳 （3）非纯随机 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 ()0t E x =,2 1() 1.9610.7 t Var x ==-,2 20.70.49ρ==,220φ= 1715φ=,2115 φ= ()0t E x =,10.15 () 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15) t Var x += =--+++ 10.8 0.7010.15 ρ= =+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-= 1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ= 10c -<<, 1121,1,2 k k k c c k ρρρρ--? = ?-??=+≥? 证明: 该序列的特征方程为：32--c 0c λλλ+=，解该特征方程得三个特征根： 11λ= ，2λ= 3λ= 无论c 取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。证毕。 (1)错 （2）错 （3）对 （4）错 （5） 该模型有两种可能的表达式：11 2 t t t x εε-=-和12t t t x εε-=-。 将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为 ()23 23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t t B CB x B B CB B B B εε-+-=-=-+++++L 展开等号右边的多项式，整理为 2233 4423243 4 10.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++--?-?-+++L L L 时间序列模型归纳总结复习随机时间序列分析的几个基本概念 一、随机过程(Stochastic Process) 定义 设（Ω,F,P ）是概率空间，T 是给定的参数集，如果对于任意t ∈T ，都有一定义在（Ω,F ,P ）上的随机变量X(t,ω)与之对应，则称随机变量族{X(t,ω),t ∈T}为随机过程。简记为{X(t,),t ∈T}或{X t ,t ∈T }或X T 离散参数的随机过程也称为随机序列或（随机）时间序列。 上述定义可简单理解成： 随机过程是一簇随机变量{X t ,t ∈T}，其中T 表示时间t 的变动范围，对每个固定的时刻t 而言，X t 是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。 当t={0,±1,±2,…}时，即时刻t 只取整数时，随机过程{X t ,t ∈T}可写成如下形式，{X t ,t=0,±1,±2,…}。此类随机过程X t 是离散时间t 的随机函数，称它为随机序列或时间序列。 对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即{X t ,t=0,±1,±2,…}就是一个离散随机序列。 二、时间序列的概率分布和数值特征 1、时间序列的概率分布 一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。 时间序列所有的一维分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),… 所有二维分布是：Fij(·，·)， i ，j=0,±1,±2,…,(i ≠j) 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。 2、时间序列的均值函数 一个时间序列的均值函数是指： () t t t EX XdF X μ∞ -∞ ==? 其中EXt 表示在t 固定时对随机变量Xt 的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(·)有关。 3、时间序列的协方差函数与自相关函数 与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数定义为：应用时间序列分析第4章答案
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