二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).
中考数学-二次函数图像及其性质
中考数学 二次函数图像 【一】二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的 五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【二】二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值 2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ??,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值 244ac b a -. 【三】二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠. ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
二次函数图像性质及应用
二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 =x D.3 - )2 y2- =x + (5 y2- (52+ )2 - =x )2 y C. 3 (5 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图
7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质:
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
二次函数的图像及性质专题复习
九年级数学期末复习教学案二次函数图像与性质 一、选择题 1、下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 2、抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为 ( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 3、抛物线y=x 2 -(m+2)x+3(m-1)与x 轴 ( ) A.一定有两个交点; B .只有一个交点; C .有两个或一个交点; D .没有交点 4、若直线y=ax +b (a ≠0)在第二、四象限都无图像,则抛物线y=ax 2 +bx+c ( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴平行于y 轴 C.开口向上,对称轴平行于y 轴 D.开口向下,对称轴是y 轴 5、一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系中的图像可能是 ( ) 6、对于任何的实数t ,抛物线 y=x 2 +(2-t)x+t 总经过一个定点,这个点是 ( ) A . (1, 0) B.(-l, 0) C.(-1, 3) D. (l, 3) 7、将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a 的值为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1), N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是 ( ) A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2 D .y 1<y 3<y 2 9、已知=次函数y =ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5个代数式:ac ,a+b+c ,4a -2b+c ,2a+b , 2a -b 中,其值大于0的个数为 ( ) A .2 B 3 C 、4 D 、5 10、为了备战世界杯,中国足球队在某次集训中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2 (如图),则下列结论:①a <
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式: ①一般式:(a、b、c为常数,a≠0) ②顶点式:(a、h、k为常数,a≠0),其中(h,k)为 顶点坐标。 ③交点式:,其中是抛物线与x轴交点的横坐标, 即一元二次方程的两个根,且a≠0,(也叫两根式)。 2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物 线,几个不同的二次函数,如果a相同,那么抛物线的开口方向,开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同。 ②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到,移动规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。 ③在画的图象时,可以先配方成的形式,然后 将的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法;也可 用描点法:也是将配成的形式,这样可以确定 开口方向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点(0,c),及此点关于对称轴对称的点(2h,c);如果图象与x轴有两个交点,就直接取这两个点(x1,0),(x2,0)就行了;如果图象与x轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。
(1)抛物线开口向 (1)抛物线开口向(1)抛物线 (1)抛物线 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 ①配方法:将解析式化为的形式,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线,若a>0,y有最小值,当x=h时,;若a<0,y有最大值,当x=h时,。 ②公式法:直接利用顶点坐标公式(),求其顶点;对称轴是直线,若若 ,y有最大值,当
5. 抛物线与x轴交点情况: 对于抛物线 ①当时,抛物线与x轴有两个交点,反之也成立。 ②当时,抛物线与x轴有一个交点,反之也成立,此交点即 为顶点。 ③当时,抛物线与x轴无交点,反之也成立。 二、考点归纳 考点一求二次函数的解析式 例1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8,试求f(x)。 解答: 法一:利用二次函数的一般式方程 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意 故得f(x)=-4x2+4x+7。 法二:利用二次函数的顶点式方程 设f(x)=a(x-m)2+n 由f(2)=f(-1)可知其对称轴方程为,故m=; 又由f(x)的最大值是8可知,a<0且n=8; 由f(2)=-1可解得a=-4。 故。 法三:利用二次函数的零点式方程 由f(2)=-1,f(-1)=-1可知f(x)=-1的两根为2和-1,故可设F(x)=f(x)+1=a(x-2)(x+1)。又由f(x)的最大值
二次函数图像及其性质说课稿 (1)
二次函数图像及其性质说课稿 各位老师,大家好!今天我说课的课题是二次函数图像及其性质。下面我将从以下几个方面进行阐述:首先,我对本节教材进行简要分析。 1. 说教材 本节内容是人民教育出版的九年级数学课程标准实验教科书《数学》第二册第二十七章第二节第三课时,属于数与代数领域的知识。在此之前,学生已学习了二次函数的概念和二次函数的图像及其性质。本节内容是对二次函数图像及其性质的相关知识的复习总结和综合运用,是后续研究二次函数图像的变换的基础。二次函数在初中函数的教学中有重要地位,它不仅是初中代数内容的引申,也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。 本节课中的教学重点是梳理所学过的二次函数及其性质的相关内容,建构符合学生认知结构的知识体系,教学难点是运用数形结合的思想,选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题,以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。 基于以上对教材的认识,根据数学课程标准,考虑到学生已有的认知结构与心理特征,制定如下的教学目标。 2. 说目标 【知识与技能】: 1.复习巩固二次函数图像及其性质的相关知识: 了解二次函数解析式的二种表示方法,会用配方法转化二次函数的表示形式; 会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质; 会根据公式确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴以及抛物线与坐标轴的交点坐标。 2.运用二次函数图像及其性质的相关知识解决实际问题。 【过程与方法】: 1.通过对二次函数图像及其性质的相关知识的复习,掌握求解二次函数图像及其性质的题目的基本方法和思路,领悟数形结合的数学思想方法;