高中数学会考知识点总结

高中数学会考知识点总结

一、集合与常用逻辑用语及算法初步

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

常用数集：自然数集N 、正整数集*

N 或+N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 。 子集、真子集、补集 交集、并集

逻辑联结词：或)(∨、且)(∧、非)(?。 复合命题三种形式：p 或q ；p 且q ；非p 。 判断复合命题的真假：

p 或q ：同假为假，否则为真；p 且q ：同真为真；非p ：与p 真假相反。

四种命题：

原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ?则q ?；逆否命题：若q ?则p ?。 原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题。 互为逆否的两个命题是等价的。

反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。 充分条件与必要条件：

若q p ?，则p 叫做q 的充分条件； 若p q ?，则p 叫做q 的必要条件； 若q p ?，则p 叫做q 的充要条件。

三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

二、基本初等函数

映射、函数

函数的定义域、值域、区间（闭区间、开区间、半开半闭区间） 求函数的定义域：

分式的分母不等于0；偶次根式的被开方数大于等于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；零次幂的底数不等于0；三角函数中的正切函数x y tan =，2

π

π+

≠k x )(Z k ∈；已知函数)

(x f 定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需D x g ∈)(；已知函数)]([x g f 的定义域为D ，求函

数)(x f 定义域，只需要求)(x g 的值域D ∈。（5年高考3年模拟5p ，例2） 函数的单调性、单调区间、函数的最大值与最小值 函数的奇偶性

偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。 指数、分数指数幂

有理指数幂的运算性质（Q s r b a ∈>>，，，00）：s

r s

r

a

a a +=?；rs

s

r a a =)(；r

r r b a ab =)(。

对数：如果N a x

=)10(≠>a a ，，数x 就叫做以a 为底N 的对数，记为x N a =log ，其中a 叫

做底数，N 叫做真数（N a

N

a =log ）。

积、商、幂、方根的对数（M ，N 是正数）：

N M MN a a a log log )(log +=；N M N

M

a a a

log log log -=；M n M a n a log log =。 常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 通常写成N lg 。

自然对数：以e 为底的对数叫做常用对数，N e log 通常写成N ln 。 指数函数、对数函数的定义、图像和性质（20p ） 幂函数的定义、图像和性质（21p ）

函数的零点：使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点；方程0)(=x f 有实根?函数

)(x f y =的图像与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。

函数有零点的判定：

如果函数)(x f y =在区间][b a ，上的图像是连续不断的一条曲线，并且0)()(

三、三角函数与三角恒等变换

正角、负角和零角；与角α终边相同的角的表示；象限的角

弧度制：rad )180(

1π

=

；'185730.57)180(1

=≈=π

rad 。

圆弧长公式：r l ||α=（α为圆弧所对的圆心角的弧度数）。

任意角的三角函数：r y =αsin ，r x =αcos ，x

y

=αtan 。 三角函数的定义域、值域 三角函数值在每个象限的符号：

αsin )(--++，，，

；αcos )(+--+，，，；αtan )(-+-+，，，。 同角三角函数的基本关系式：1cos sin 2

2

=+αα；

αα

α

tan cos sin =。 三角函数的诱导公式（记忆规律：奇变偶不变，符号看象限） 三角函数的图像和性质（33~32p ）

最小正周期：)sin(?ω+=x A y 、)cos(?ω+=x A y

函数)sin(?ω+=x A y 的图像：振幅变换、周期变换、平移变换 两角和与差的正弦、余弦、正切：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

±。

二倍角的正弦、余弦、正切：

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

α

α

α2tan 1tan 22tan -=

。

化特殊式子：x b x a cos sin +为一个角的三角函数形式，例如：)6

sin(2sin 3cos π

+=+x x x 。

斜三角形的解法： 正弦定理：

C

c

B b A a sin sin sin =

=。 余弦定理：

A bc c b a cos 2222?-+=，

B ac c a b cos 2222?-+=，

C ab b a c cos 2222?-+=。

三角形的面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===?。

四、不等式

不等式的基本性质（43p ）

比较两个数或式的大小，一般步骤是：

作差——变形——与0比较大小；或者作商——变形——与1比较大小。 解一元二次不等式的一般步骤（43p ） 二元一次不等式（组）与平面区域（44p ） 基本不等式：

若R b a ∈，，则ab b a 22

2

≥+； 若a ，b 为正数，则2

b

a a

b +≤

，当且仅当b a =时取等号。 利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值和最小值

五、数列

n a 与n S 的关系：???>=-=-)1()1(11

n n S S S a n n

n

等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=。

等差中项：a ，A ，b 组成等差数列， A 叫做a 与b 的等差中项；A b a 2=+。 等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

。 等差数列的常用性质：d m n a a m n )(-+=；若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+。

等比数列的通项公式：1

1-=n n q a a 。

等比中项：a ，G ，b 成等比数列， G 叫做a 与b 的等比中项；2

G ab =。

等比数列的前n 项和公式：)1()1(11)1(111=≠??

???--=

--=q q na q

q

a a q q a S n n n 等比数列的常用性质：m

n m n q a a -=；若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?。

六、导数及其应用

导数的几何意义：函数)(x f y =在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义，就是曲线)(x f y =在点

))((0x f x ，处的切线的斜率，即)('0x f k =。

导函数

基本初等函数的导数公式：

0)'(=c ；1)')((-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos =； a a a x x ln )'(=；x x e e =)'(；a x x a ln 1)'(log =

；x

x 1

)'(ln =。 导数的运算法则（61p ）

复合函数的求导法则：))((x g f y =，则x u u y y '''?=。

用导数判断函数的单调性：在某个区间)(b a ，，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间单调递增；如果0)('

求函数)(x f y =在][b a ，上的最大值与最小值的步骤（61p ）

七、数系扩充、推理与证明

12-=i

di c bi a +=+（R d c b a ∈，，，）的充要条件是：c a =且d b =。

复数的分类：

)(R b a di c bi a ∈+=+，：

0=b 时，为实数；

0≠b 时，为虚数（0=a 且0≠b 时，为纯虚数；0≠a 且0≠b 时，为非纯虚数）

共轭复数：bi a bi a z -=+=)(R b a ∈， 复平面、实轴、虚轴

复数集C 和复平面所有的点所成的集合是一一对应关系； 复数集C 和复平面的向量所成的集合也是一一对应关系。 复数的模：22||||b a bi a z +=

+=

复数的代数形式的四则运算（69p ） 复数加减法运算的几何意义（69p ）

三段论：大前提：M 是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P 。 综合法、分析法 反证法（70p ）

数学归纳法的步骤（70p ）

八、平面向量

向量、向量的模（||a ）

相等向量和共线向量（平行向量也叫做共线向量）

向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则（78p ） 向量减法的几何意义（79p ） 向量的数乘运算

向量共线的条件：向量a 与非零向量b 共线，当且仅当唯一一个实数λ，使得a b λ=。 向量的夹角

平面向量的坐标运算:

设)(11y x ，=，)(22y x ，=，则)(2121y y x x ++=+，，)(2121y y x x --=-，。 平面向量共线的坐标表示：

设)(11y x a ，=，)(22y x b ，=，≠，则，共线（∥）的充要条件是01221=-y x y x 。 平面向量的数量积：θcos ||||b a b a =?。

向量垂直的条件：设)(11y x ，=，)(22y x ，=，则向量a ，b 垂直当且仅当02121=+y y x x 。

九、立体几何

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 棱台与圆台统称为台体。 投影、三视图

斜二测画法的步骤（87p ）。 几何体的表面积和体积公式（88p ）。

点A 在平面α，记作α∈A ；点A 不在平面α，记作α?A 。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上的所有点都在这个平面。 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 典型结论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。 典型结论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。 典型结论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

空间两直线的位置关系：相交、平行、异面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 异面直线所成的角（取值围]2

0(π

，）

异面直线垂直

直线与平面的位置关系：直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行。 平面和平面的位置关系：平行、相交。 直线和平面平行的判定定理：

平面外的一条直线和此平面的一条直线平行，则该直线和此平面平行。 平面和平面平行的判定定理：

一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面互相平行。 直线和平面平行的性质定理：

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

平面和平面平行的性质定理：

如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线与平面垂直：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。 直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 直线和平面所成的角（取值围]2

0[π

，）

二面角

二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面作棱的两条垂线OA ，OB ，则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角。（取值围)0[π，，二面角的平面角为直角时，称为直二面角） 平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 空间两点的距离公式：

空间两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，，则22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=。

十、直线和圆的方程

倾斜角（倾斜角α的取值围是

1800<≤α）

斜率：αtan =k ；过)(111y x P ，，)(222y x P ，的直线的斜率1

21

2x x y y k --=)(12x x ≠。

两直线平行或垂直的判定（101p ） 直线的几种形式：

点斜式：)(00x x k y y -=- 斜截式：b kx y += 两点式：

1

21

121x x x x y y y y --=--

截距式：

1=+b

y

a x 一般式：0=++C By Ax

直线的交点坐标：联立直线方程进行求解。 两点间的距离：

已知平面上两点)(111y x P ，，)(222y x P ，，则22122121)()(||y y x x P P -+-=。

点到直线的距离：

点)(00y x P ，到直线0=++C By Ax 的距离2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=。

两平行直线的距离：

已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程011=++C By Ax l ：，022=++C By Ax l ：，则1l 与2l 的

距离2

2

21||B

A C C d +-=

。

平面上两点连线的中点坐标公式：

平面上两点)(111y x P ，，)(222y x P ，，线段21P P 的中点为)2

2(

2

121y y x x P ++，。 圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-，圆心为)(b a ，，半径为r )0(>r 。 圆的一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x )04(2

2

>-+F E D ，圆心为)2

2(E

D --

，，半径为2

422F

E D r -+=

。

圆的直径式方程：

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （圆的直径的端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，）。

点与圆的位置关系：根据点到圆心的距离与半径r 的大小关系进行判断。 直线与圆的位置关系：根据圆心到直线的距离与半径r 的大小关系进行判断。 圆与圆的位置关系：根据圆心距与半径1r 和2r 的大小关系进行判断（5种情况）。

十一、圆锥曲线

椭圆：平面与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数a 2)2||2(21c F F a =>的点的轨迹叫做椭圆。 若M 为椭圆上任意一点，则有a MF MF 2||||21=+。 椭圆的标准方程：

12222=+b y a x )0(>>b a （焦点在x 轴上），或122

22=+b

x a y )0(>>b a （焦点在y 轴上）。 离心率：a

c

e =，10<

双曲线：平面上与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于非零常数a 2)2||2(21c F F a =<的动

点的轨迹是双曲线。若P 为双曲线上任意一点，则有a PF PF 2||||21=-。 双曲线的标准方程：

12222=-b y a x )00(>>b a ，（焦点在x 轴上），或122

22=-b

x a y )00(>>b a ，（焦点在y 轴上）。 离心率：a c

e =，1>e 。

渐近线：x a b

y ±=叫做双曲线12222=-b

y a x 的渐近线。

与12222=-b y a x )00(>>b a ，有共同渐近线的双曲线方程为k b

y a x =-22

22)0(≠k 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

抛物线：平面与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。 抛物线的标准方程：px y 22

=（焦点坐标)02(，p

，准线方程：2

p x -

=）；

py x 22=（焦点坐标)2

0(p

，，准线方程：2p y -=）。

如果直线与抛物线的交点为)(11y x A ，，)(22y x B ，， 则弦长||1

1||1)()(||212

212221221y y k x x k y y x x AB -+

=-+=-+-=

， 21221214)(||x x x x x x -+=-，21221214)(||y y y y y y -+=-。

十二、计数原理、概论统计

系统抽样、分层抽样 频率分布直方图 茎叶图 中位数、众数 均值、方差