2018年高考理科数学分类汇编---三角函数

2018年全国高考理科数学分类汇编——三角函数

1.（北京）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．

【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．

故答案为：．

2.（北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．

【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB==

=，由正弦定理得=得sinA===，则A=．

（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，

即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），

则AC边上的高h=csinA=3×=．

3. （江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．

【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，

∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，

故答案为：﹣．

4.（江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．

【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，

得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，

当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．

5.（江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．

（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．

【解答】解：（1）由，解得，

∴cos2α=；

（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．

∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），

∴sin（α+β）==．

则tan（α+β）=．

∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．

6. （江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【解答】解：（1）S

=（40sinθ+10）?80cosθ

矩形ABCD

=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=?80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；

当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；

（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，

则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）

=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，

则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；

令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；

当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；

当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；

∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．

=800（4sinθcosθ+cosθ），

答：（1）S

矩形ABCD

S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

sinθ∈[，1）；

（2）θ=时总产值y最大．

7.（全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．

【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，

先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，

可得此时x=，π或；

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，

计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．

8.（全国1卷）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：=，即=，

∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，

∴BC=

==5．

9.（全国2卷）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A

A．4B．C．D．2

【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，

BC=1，AC=5，则AB====4．

故选：A．

10. （全国2卷）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π

【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，

由，k∈Z，

得，k∈Z，

取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，

得，∴．则a的最大值是．故选：A．

11.（全国2卷）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．

【解答】解：sinα+cosβ=l，

两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，

cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，

由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，

∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．

12.（全国3卷）若sinα=，则cos2α=（）B

A．B．C．﹣D．﹣

【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．

13.（全国3卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）C

A．B．C．D．

【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

△ABC的面积为，∴S

==，∴sinC==cosC，

△ABC

∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．

14.（全国3卷）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．

【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，

∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：3

15.（上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．