初中数学知识点整理表格版

初中数学教材知识梳理·系统复习

第一单元数与式第1讲实数

知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例

1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分

正有理数

有理数 0 有限小数或正实数

负有理数无限循环小数实数 0

实数

正无理数负实数

无理数无限不循环小数

负无理数

（1）0既不属于正数，也不属于负数.

（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的

式子；②构造型：如 3.010010001…（每两

个1之间多个0）就是一个无限不循环小

数；③开方开不尽的数：如，；④三角函

数型：如sin60°，tan25°.

（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属

于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.

知识点二：实数的相关概念

2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度

（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示

的数总比左边的点表示的数大

例：

数轴上-2.5表示的点到原点的距离是

2.5.

3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数

（2）代数意义：a、b互为相反数? a+b=0

（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距

离相等

a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.

例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.

4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)

-a(a＜0). b-a(a＜b)

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.

（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.

（2）对绝对值等于它本身的数是非负

数.

例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等

于3的是±3;|1-|=-1.

5.倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)

（2）代数意义：ab=1?a,b互为倒数

例：

-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数

有±1.

知识点三：科学记数法、近似数

6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数

（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数

为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中

左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一

个）

例：

21000用科学记数法表示为 2.1×

104；

19万用科学记数法表示为1.9×105；

0.0007用科学记数法表示为7×10-4.

7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.

（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪

一位.

例：

3.14159精确到百分位是3.14；精确

到0.001是3.142.

知识点四：实数的大小比较

8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.

（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对

值大的反而小.

（3）作差比较法：a-b＞0?a＞b；a-b=0?a=b；a-b＜0?a＜b.

（4）平方法：a＞b≥0?a2＞b2.

例：

把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序

排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.

知识点五：实数的运算

第2讲整式与因式分解

知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例

1.代数

式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的

字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫

做求代数式的值．

求代数式的值常运用整体代入法计算.

例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.

2.整式

（单

项

式、

多项

式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单

项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式

的次数.

（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高

的项的次数叫做多项式的次数.

（3）整式：单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有

的常数项都是同类项.

例：

（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④

2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属

于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②

⑥；同类项是①和⑤.

（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项

式，常数项是__1 .

知识点二：整式的运算

3.整式

的加

减运

算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的

指数不变．

(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是

“－”，则括号里的各项都变号.

(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.

失分警示：去括号时，如果括号外面是符

号，一定要变号，且与括号内每一项相

乘，不要有漏项.

例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.

4.幂运

算法

则(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n；

(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn；

(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n；

(4)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0).

其中m,n

都在整数

(1)计算时，注意观察，善于运用它们的

逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则

3×2m×2n=6.

（2）在解决幂的运算时，有时需要先化

成同底数.例：2m·4m=23m.

5.整式

的乘

除运

算(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

(2)单项式×多项式：m(a+b)=ma+mb.

(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.

(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.

(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：计算多项式乘以多项式时，注

意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.

例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.

（6）

乘法

公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的

运用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式：

a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2

9. 常

见

运

算

乘方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：

（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;

3-1=_1/3_;π0=__1__;

(2)64的平方根是_±8__,算术平方根

是__8_,立方根是__4__.

失分点警示：类似“的算术平方根”计

算错误. 例：相互对比填一填：16的

算术平方根是4___,的算术平方根是

___2__.

零次幂a0=_1_(a≠0)

负指数幂a-p=1/a p（a≠0，p为整数）

平方根、

算术平方根

若x2=a（a≥0）,则x=a

.其中a是算术平方根.

立方根若x3=a,则x=3a

.

10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化

6.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、

代入替换、计算．

例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.

知识点五：因式分解

7.因式

分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．

(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).

②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式

法分解；③检查各因式能否继续分解.

(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分

解为止，相同因式写成幂的形式；

(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．

第3讲分式

知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例

1.分式的

概念（1）分式：形如

B

A

(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)

的式子.

（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.

在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）

判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字

母. 例：下列分式：①;②; ③;④

2

22

1

x

x

+

-

，其中

是分式是②③④；最简分式③.

2.分式的

意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式

B

A

无意义；

(2)有意义的条件：当B≠0时，分式

B

A

有意义；

(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式

B

A

＝0.

失分点警示：在解决分式的值为0，求

值的问题时，一定要注意所求得的值满

足分母不为0.

例：当

21

1

x

x

-

-

的值为0时，则x＝-1.

3.基本性

质

( 1 ) 基本性质：

A A C

B B C

?

=

?

A C

B C

÷

=

÷

(C≠0)．

（2）由基本性质可推理出变号法则为：

()A

A A

B B B

--

-

==

-

；

A A A

B B B

-

-==

-

.

由分式的基本性质可将分式进行化简：

例：化简：

2

2

1

21

x

x x

-

++

=

1

1

x

x

-

+

.

知识点三：分式的运算

4.分式的

约分和

通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约

去，

即

b

a

bm

am

=；

(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的

分式化为同分母的分式，即

bc

bd

bc

ac

d

c

b

a

,

,?

分式通分的关键步骤是找出分式的最

简公分母，然后根据分式的性质通分.

例：分式

2

1

x x

+

和

()

1

1

x x-

的最简公分

母为()

21

x x-.

5.分式的

加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即

a

c±

b

c＝

a±b

c；

(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即

a

b±

c

d＝

ad±bc

bd.

例：

1

11

x

x x

+

--

＝－1.

2

112

.

111

a

a a a

+=

+--

6.分式的

乘除法(1)乘法：

a

b·

c

d＝

ac

bd； (2)除法：

a c

b d

÷＝

ad

bc

；

(3)乘方：

n

a

b

??

?

??

＝

n

n

a

b

(n为正整数).

例：

2

a b

b a

?＝

1

2

；

21

x xy

÷＝2y；

3

3

2x

??

- ?

??

＝

3

27

8x

-

.

7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要

先分解后约分.

(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘

方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．

失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式

化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代

入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用

到整体代入.

第4讲二次根式

知识点一：二次根式关键点拨及对应举例

1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.

（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.

（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整

式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式

失分点警示：当判断分式、二次根式组成的

复合代数式有意义的条件时，注意确保各部

分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等

于0等.例：若代数式

1

1

x-

有意义，则x的

取值范围是x＞1.

2.二次根式

的性质（1）双重非负性：

①被开方数是非负数，即a≥0；

②二次根式的值是非负数，即a≥0.

注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平

方根、二次根式.

利用二次根式的双重非负性解题：

（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得

各个非负数均为0.如

1

a++1

b-=0，则a=-1，b=1.

（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同

时出现在二次根式的被开方数下时，可得

这一对相反数的数均为0.如已知

b=1

a-+1a

-,则a=1,b=0.

(2)两个重要性质：

①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝

()

()

a a

a a

?≥

?

?

-<

??

；

(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；

(4)商的算术平方根：

a

b

=

a

b

(a≥0，b＞0)．

例：计算：

2

3.14＝3.14；()22-＝2；

24=；=2 ；

442

93

9

==

知识点二：二次根式的运算

3.二次根式的

加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二

次根式．

例：计算：2832

-+＝32.

4.二次根式的

乘除法（1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)；

（2）除法：

a

b

=

a

b

(a≥0，b＞0)．

注意：将运算结果化为最简二次根式.

例：计算：32

23

?＝1；3232

2

2

==

4.

5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，

最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．

运算时，注意观察，有时运用乘法公式

会使运算简便.

例：计算：(2+1)(2 -1)= 1 .

第二单元方程(组)与不等式(组)

第5讲一次方程(组)

知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例

1.等式的基

本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果

仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .

失分点警示：在等式的两边同除以

一个数时，这个数必须不为0.

(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为

0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，

a b

c c

=(c≠0)．

(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.

(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c. 例：判断正误.

(1)若a=b,则a/c=b/c. (×)

(2)若a/c=b/c，则a=b. (√)

2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是

1，且等式两边都是整式的方程．

(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次

数都是1的整式方程．

(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的

一组方程．

(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共

解．

在运用一元一次方程的定义解题

时，注意一次项系数不等于0.

例：若(a-2)|a1|0

x a

-+=是关于x的

一元一次方程，则a的值为0.

知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组

3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数

项；

(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；

(3)移项：移项要变号；

(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；

(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.

失分点警示：方程去分母时，应该

将分子用括号括起来，然后再去括

号，防止出现变号错误.

4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 已知方程组，求相关代数式的值

时，需注意观察，有时不需解出方

程组，利用整体思想解决解方程组.

例：已知29

23

x y

x y

-=

?

?

-=

?

则x-y的值为x-

y=4.

方法：

(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再

把“它”代入另一个方程，进行求解；

(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个

未知数的方法.

知识点三：一次方程(组)的实际应用

5.列方程(组) 解应用题的

一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

(2)设未知数；

(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；

(4)解方程(组)；

(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；

(6)作答：规范作答，注意单位名称．

（1）设未知数时，一般求什么设什么，

但有时为了方便，也可间接设未知数.如题

目中涉及到比值，可以设每一份为x.

（2）列方程（组）时，注意抓住题目中

的关键词语，如共是、等于、大（多）多

少、小（少）多少、几倍、几分之几等.

6.常见题型

及关系式（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.

（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.

（4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程

+两地间距离=追者走的路程.

第6讲一元二次方程

知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例

1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、

一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数

例：方程20

a

ax+=是关于x的

一元二次方程，则方程的根为－1.

项．

2.一元二

次方程

的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求

解.

( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.

( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=

24

2

b b ac

a

-±-

（b2-4ac≥0）.

(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，

也可以考虑用配方法．

解一元二次方程时，注意观

察，先特殊后一般，即先考

虑能否用直接开平方法和因

式分解法，不能用这两种方

法解时，再用公式法.

例：把方程x2+6x+3=0变形为

(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.

知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

3.根的判

别式(1)当Δ＝24

b ac

->0时，原方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝24

b ac

-=0时，原方程有两个相等的实数根．

(3)当Δ＝24

b ac

-<0时，原方程没有实数根．

例：方程2210

x x

+-=的判别

式等于8，故该方程有两个不相等

的实数根；方程2230

x x

++=

的判别式等于－8，故该方程没有

实数根.

*4.根与系

数的关

系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根

分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条

件是△≥0.

（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值

时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系

数的关系求解.

与一元二次方程两根相关代数式的

常见变形：

(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22

=(x1+x2)2-2x1x2,

12

1212

11x x

x x x x

+

+=

等.

失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意

前提条件时△=b2-4ac≥0.

知识点三：一元二次方程的应用

4.列一元

二次方

程解应

用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元

二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

运用一元二次方程解决实际

问题时，方程一般有两个实

数根，则必须要根据题意检

验根是否有意义.

（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应

用.

①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表

示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的

量；

②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形

通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

第7讲分式方程

知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例

1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例：在下列方程中，①210

x+=；②4

x y

+=-；③

1

1

x

x

=

-

，其中是分式方程的是③.

2.解分式方程

基本思路：分式方程 整式方程

例：将方程

12211x x

+=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1).

解法步骤：

(1)去分母，将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程；

(3) 检验：把所求得的x 的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去． 3.增根

使分式方程中的分母为0的根即为增根.

例：若分式方程1

01

x =-有增根，则增根为1.

知识点二 ：分式方程的应用 4.列分式方程

解应用题的

一般步骤

(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方

程；(5)检验： (6)作答．

在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.

第8讲 一元一次不等式(组)

知识点一：不等式及其基本性质

关键点拨及对应举例 1.不等式

的相关概念

（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1.

2.不等式

的基本性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；

性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >b

c ； 性质3：若a ＞b,c <0，则ac

. 牢记不等式性质3，注意变号.

如：在不等式－2x ＞4中，若

将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2. 知识点二 ：一元一次不等式

3.定义 用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.

例：若230m mx ++>是关于x 的一

元一次不等式，则m 的值为-1.

4.解法

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.

失分点警示

系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.

（2）解集在数轴上表示:

x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a

知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法

5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含

6.解法

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

方程两边同乘以 最简公分母 约去分母

7.不等式

组解集

的类型假设a＜b解集数轴表示口诀要用空心圆点表示．

（2）已知不等式（组）的解集

情况，求字母系数时，一般

先视字母系数为常数，再逆

用不等式（组）解集的定

义，反推出含字母的方程，

最后求出字母的值.

如：已知不等式（a-1）x＜1-a

的解集是x＞-1，则a的取值

范围是a＜1.

x a

x b

≥

?

?

≥

?

x≥b大大取大

x a

x b

≤

?

?

≤

?

x≤a小小取小

x a

x b

≥

?

?

≤

?

a≤x≤b大小，小大中间找

x a

x b

≤

?

?

≥

?

无解大大，小小取不了

知识点四：列不等式解决简单的实际问题

8.列不等

式解应

用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不

等式；验检是否有意义.

（2）应用不等式解决问题的情况：

a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于

（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过

（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一

般还需根据整数解，得出最佳方案

注意：

列不等式解决实际问题中，设

未知数时，不应带“至少”、

“最多”等字眼，与方程中设

未知数一致.

第9讲平面直角坐标系与函数

知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例

1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．

（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).

2.点的坐标

特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：

点P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0；

点P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0；

点P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0；

点P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0.

（2）坐标轴上点的坐标特征：

①在横轴上?y＝0；②在纵轴上?x＝0；③原点

?x＝0，y＝0.

（3）各象限角平分线上点的坐标

①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；

②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数

（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：

①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，

b)；

③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．

（5）点M（x,y）平移的坐标特征：

M（x,y）M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐标轴上的点不属于

任何象限.

（2）平面直角坐标系中图

形的平移，图形上所有点

的坐标变化情况相同.

（3）平面直角坐标系中求

图形面积时，先观察所求图

形是否为规则图形，若是，

再进一步寻找求这个图形面

积的因素，若找不到，就要

借助割补法，割补法的主要

秘诀是过点向x轴、y轴作

垂线，从而将其割补成可以

直接计算面积的图形来解

决.

x

y

第四象限

(＋，－)

第三象限

(－，－)

第二象限

(－，＋)

第一象限

(＋，＋)

–1

–2

–3123

–1

–2

–3

1

2

3

O

3.坐标点的

距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．

（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：

点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；

点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－

y2|．

平行于x轴的直线上的点纵

坐标相等；平行于y轴的直

线上的点的横坐标相等.

知识点二：函数

4.函数的相关

概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的

量叫做变量．

（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确

定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表

法、图像法、解析法.

（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二

次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．

失分点警示

函数解析式，同时有几个代

数式，函数自变量的取值范

围应是各个代数式中自变量

的公共部分. 例：函数

y=3

5

x

x

+

-

中自变量的取值范

围是x≥-3且x≠5.

5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.

（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：

①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)

的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.

读取函数图象增减性的技

巧：①当函数图象从左到右

呈“上升”（“下降”）状

态时，函数y随x的增大而

增大（减小）；②函数值变

化越大，图象越陡峭；③当

函数y值始终是同一个常

数，那么在这个区间上的函

数图象是一条平行于x轴的

线段.

第10讲一次函数

知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例

1.一次函数的

相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0

时，称为正比例函数．

（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别

地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

例：当k＝1时，函数y＝kx＋k

－1是正比例函数,

2.一次函数

的性质k，b

符号

K＞0，

b＞0

K＞0，

b＜0

K＞0，

b=0

k<0，

b>0

k<0，

b<0

k<0，

b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确

定了倾斜方向和倾斜程度，b确

定了与y轴交点的位置.

（2）比较两个一次函数函数值

的大小：性质法，借助函数的图

象，也可以运用数值代入法.

例：已知函数y=－2x＋b，函数

值y随x的增大而减小(填“增大”

或“减小”)．

大致

图象

经过

象限

一、二、三一、三、

四

一、三一、二、

四

二、三、

四

二、四

图象

性质

y随x的增大而增大y随x的增大而减小

3.一次函数与

坐标轴交

点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交

点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是

()

－

b

k，0，与y轴的交点是(0，b)；

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．

例：

一次函数y＝x＋2与x轴交点的

坐标是（-2,0），与y轴交点的

坐标是（0,2）.

知识点二：确定一次函数的表达式

4.确定一次函

数表达式

的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：求出k与b的值，得到函数表达式．

（2）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可

设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.

(1)确定一次函数的表达式需要两

组条件，而确定正比例函数的表

达式，只需一组条件即可.

(2)只要给出一次函数与y轴交点

坐标即可得出b的值,b值为其纵

坐标，可快速解题. 如:已知一次

函数经过点（0,2），则可知b=2.

5.一次函数图

象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它

们的k值相同.

②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.

例：将一次函数y=-2x+4的图象

向下平移2个单位长度，所得图

象的函数关系式为y=-2x+2．

知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系

6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与

x轴交点的横坐标.

例：

（1）已知关于x的方程ax+b=0

的解为x=1,则函数y=ax+b与x

轴的交点坐标为（1,0）.

（2）一次函数y=-3x+12中，当

x ＞4时，y的值为负数．

7.一次函数与方

程组

二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.

8.一次函数与

不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

知识点四：一次函数的实际应用

9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.

10.常见题型（1）求一次函数的解析式.

（2）利用一次函数的性质解决方案问题.

第11讲反比例函数的图象和性质

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例

1.反比例函

数的概念（1）定义：形如y＝

k

x(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量

的取值范围是非零的一切实数．

（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：

①y＝

k

x；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则

该函数是反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上

的方法：①把点的横、纵坐标代入看

是否满足其解析式；②把点的横、纵

坐标相乘，判断其乘积是否等于k.

失分点警示

（2）反比例函数值大小的比较时，首

先要判断自变量的取值是否同号，即

是否在同一个象限内，若不在则不能

运用性质进行比较，可以画出草图，

直观地判断.

k>0 图象经过第

一、三象限

（x、y同

号）

每个象限内，函数y的值

随x的增大而减小.

k<0 图象经过第

二、四象限

（x、y异

号）

每个象限内，函数y的值

随x的增大而增大.

y=k2x+b

y=k1x+b

3.反比例函

数的图象

特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分

别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

例：若(a，b)在反比例函数

k

y

x

=的

图象上，则(－a，－b)在该函数图象

上.(填“在"、"不在")

4.待定系数

法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数

k即可.

例：已知反比例函数图象过点（－3，

－1），则它的解析式是y=3/x.

知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

5.系数k的

几何意义（1）意义：从反比例函数y＝

k

x(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂

线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角

形的面积为1/2|k|.

（2）常见的面积类型：

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达

式，注意若函数图象在第二、四象

限，则k＜0.

例：已知反比例函数图象上任一点作

坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该

反比例函数解析式为：

3

y

x

=或

3

y

x

=-.

6.与一次函

数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对

称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，

利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个

函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关

系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求

即可.也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下

方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于

把点的横、纵坐标转化为图形的边

长，对于不好直接求的面积往往可分

割转化为较好

求的三角形面

积；②也要注

意系数k的几

何意义.

例：如图所示，三个阴影部分的面积

按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△

OPE＞S△BOD.

知识点三：反比例函数的实际应用

7.一般步

骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

（2设出函数表达式；

（3）依题意求解函数表达式；

（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

第12讲二次函数的图象与性质

知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例

1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.

例：如果函数y=(a－1)x2是

二次函数，那么a的取值范

围是a≠0.

2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其

中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为

抛物线与x轴交点的横坐标.

（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定

系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数

的解析式.

若已知条件是图象上的三个

点或三对对应函数值，可设

一般式；若已知顶点坐标或

对称轴方程与最值，可设顶

点式；若已知抛物线与x轴

的两个交点坐标，可设交点

式.

知识点二：二次函数的图象与性质

3.二次函数的图象和性质图象x

y

y=ax2+bx+c(a＞0)

O

x

y

y=ax2+bx+c(a＜0)

O

（1）比较二次函数函数值大

小的方法：①直接代入求值

法；②性质法：当自变量在

对称轴同侧时，根据函数的

性质判断；当自变量在对称

轴异侧时，可先利用函数的

对称性转化到同侧，再利用

性质比较；④图象法：画出

草图，描点后比较函数值大

小.

失分点警示

（2）在自变量限定范围求二

次函数的最值时，首先考虑

对称轴是否在取值范围内，

而不能盲目根据公式求解.

例：当0≤x≤5时，抛物线

y=x2+2x+7的最小值为7 .

开口向上向下

对称

轴

x＝

2

b

a

-

顶点

坐标

2

4

,

24

b a

c b

a a

??

-

-

?

??

增减

性

当x>

2

b

a

-时，y随x的增大而增

大；当x＜

2

b

a

-

时，y随x的增大而

减小.

当x>

2

b

a

-时，y随x的增大而减

小；当x＜

2

b

a

-时，y随x的增大而

增大.

最值x=

2

b

a

-

，

y最小＝

2

4

4

ac b

a

-

. x=

2

b

a

-

，

y最大＝

2

4

4

ac b

a

-

.

3.系数

a、b、c a决定抛物线的开口方

向及开口大小

当a＞0时，抛物线开口向上；

当a＜0时，抛物线开口向下.

某些特殊形式代数式的符

号：

①a±b+c即为x=±1时，y

的值；②4a±2b+c即为x=

±2时，y的值.

③2a+b的符号，需判断对

称

轴-b/2a与1的大小.若对称轴

在直线x=1的左边，则-b/2a

＞1，再根据a的符号即可得

出结果.④2a-b的符号，需判

断对称轴与-1的大小.

a、b 决定对称轴（x=-

b/2a）的位置

当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；

当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；

当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．

c 决定抛物线与y轴的

交点的位置

当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；

当c＝0时，抛物线经过原点；

当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.

b2－

4ac

决定抛物线与x轴的

交点个数

b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;

b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;

b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

知识点三：二次函数的平移

4.平移与解

析式的关

系

平移|k|个单位

平移|h|个单位

向上(k＞0)或向下(k＜0)

向左(h＜0)或向右(h＞0)

y=a(x－h)2＋k

的图象

y=a(x－h)2

的图象

y=ax2

的图象

注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶

点的平移方式即可确定平移后的函数解析式

失分点警示：

抛物线平移规律是“上加下减，

左加右减”,左右平移易弄反.

例：将抛物线y=x2沿x轴向右平

移2个单位后所得抛物线的解析

式是y=（x－2）2．

知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式

5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程

ax2+bx+c=0的根.

当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＜0，无实根

例：已经二次函数y=x2-

3x+m(m为常数)的图象与x

轴的一个交点为（1,0），则

关于x的一元二次方程x2-

3x+m=0的两个实数根为

2,1.

6.二次函数与不等式抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

第13讲二次函数的应用

知识点一：二次函数的应用关键点拨

实物抛物线

一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求

解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的

二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位

置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上

等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求

解.

①据题意，结合函数图象求出函数解析式；

②确定自变量的取值范围；

③根据图象，结合所求解析式解决问题.

实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

②研究自变量的取值范围；

③确定所得的函数；

④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求

相关的值；

⑤解决提出的实际问题.

解决最值应用题要注意两点：

①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大

（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，

“什么”要设为函数；

②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）

的取值是否在自变量的取值范围内.

结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题

由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面

积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样

需注意自变量的取值范围.

第四单元图形的初步认识与三角形

第14讲平面图形与相交线、平行线

知识点一：直线、线段、射线关键点拨

1.

基本事实（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．

例：在墙壁上固定一根横放的木

条，则至少需要2枚钉子，依据的

是两点确定一条直线.

知识点二：角、角平分线

2.概念（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．

（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个

相等的角的射线

例：

（1）15°25'＝15.5°；

37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''.

（2）32°的余角是58°，32°的

补角是148°.

3.角的度

量

1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''

4.余角和补角( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°?∠1与∠2互为余角；

( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°?∠1与∠2互为补角.

（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．

知识点三：相交线、平行线

5.三线八角（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如

“U”.

一个角的同位角、内错角或同旁内角可

能不止一个，要注意多方位观察

6.对顶角、邻补角（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边

的两个角叫做对顶角.

（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.

例：在平面中，三条直线相交于1点，

则图中有6组对顶角.

7.垂线（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的

垂线．

（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

例：如图所示，点

A到BC的距离为

AB，点B到AC的

距离为BD，点C

到AB的距离为BC.

D

C

B

A

8.平行线（1）平行线的性质与判定

①同位角相等?两直线平行

②内错角相等?两直线平行

③同旁内角互补?两直线平行

（2）平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

②平行于同一条直线的两直线平行．

（1）如果出现两条平行线被其中一条折

线所截，那么一般要通过折点作已知直

线的平行线.

（2）在平行线的查考时，通常会结合对

顶角、角平分线、三角形的内角和以及

三角形的外角性质，解题时注意这些性

质的综合运用.

知识点四：命题与证明

9.命题与证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做

命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.

（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，

那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.

（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立

的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不

成立就可以了.

例：下列命题是假命题的有(③)

①相等的角不一定是对顶角；

②同角的补角相等；

③如果某命题是真命题，那么它的逆命

题也是真命题；

④若某个命题是定理，则该命题一定是

真命题.

第15讲一般三角形及其性质

知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例

1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类

?

?

?

?

?

?

?

?

直角三角形

三角形锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

?

?

?

?

?

?

?

?

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

失分点警示：

在运用分类讨论思想计算等腰

三角形周长时，必须考虑三角

形三边关系.

例：等腰三角形两边长分别是

3和6，则该三角形的周长为

15.

2.三边关

系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3.角的关系（1）内角和定理：

①三角形的内角和等180°；

②推论：直角三角形的两锐角互余.

（2）外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

利用三角形的内、外角的性质

求角度时，若所给条件含比

例，倍分关系等，列方程求解

会更简便.有时也会结合平行、

折叠、等腰（边）三角形的性

质求解.

4.三角形

中的重

要线段

四线性质

（1）角平分线、高结合求角度

时，注意运用三角形的内角和

为180°这一隐含条件.

（2）当同一个三角形中出现两

条高，求长度时，注意运用面

积这个中间量来列方才能够求

解.

角平分线

（1）角平线上的点到角两边的距离相等

（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）

中线

（1）将三角形的面积等分

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

高

锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高

相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

5.三角形

中内、

外角与

角平分

线的规

律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=

1

2

∠BAC-∠CAE=

1

2

(180°-∠B-

∠C）-（90°-∠C）=

1

2

(∠C-∠B）；

如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=

1

2

∠A+90°；

对于解答选择、填空题，

可以直接通过结论解题，

会起到事半功倍的效果.

如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=1

2

∠A ，∠O ’=

1

2

∠O ； 如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-

1

2

∠A.

知识点二 ：三角形全等的性质与判定

6.全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形

全等的判定

一般三角形全等

SSS （三边对应相等）

SAS （两边和它们的夹角对应相等）

ASA （两角和它们的夹角对应相等）

AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）

失分点警示

如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.

直角三角形全等

(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.

8.全等三

角形的运用

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到

两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

例：

如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.

第16讲 等腰、等边及直角三角形

知识点一：等腰和等边三角形

关键点拨与对应举例

1.等腰三角形（1）性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高

互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称

轴.

（2）判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.

（1）三角形中“垂线、角平分

线、中线、等腰”四个条件中，

只要满足其中两个，其余均成立.

如：如左图，已知AD⊥BC,D为

BC的中点，则三角形的形状是

等腰三角形.

失分点警示：当等腰三角形的

腰和底不明确时，需分类讨论.

如若等腰三角形ABC的一个内

角为30°，则另外两个角的度数

为30°、120°或75°、75°.

2.等边三角形（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.

即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或

角平分线或中线)所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B

＝60°，则△ABC是等边三角形.

（1）等边三角形是特殊的等腰

三角形，所以等边三角形也满

足“三线合一”的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的

角60°，所以当等边三角形

出现高时，会结合直角三角

形30°角的性质，即

BD=1/2AB.

例：△ABC中，∠B=60°，

AB=AC，BC=3，则△ABC的周

长为9.

知识点二：角平分线和垂直平分线

3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若

∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.

（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角

平

分线上．

例：如图，△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直

平分线交AC于D，交AB于

E，CD=2，则AC=6.

4.垂直

平分

线图

形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.

（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

知识点三：直角三角形的判定与性质

5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝

1

2

AB；

(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则

CD＝

1

2

AB.

(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平

方．即 a2＋b2＝c2 .

（1）直角三角形的面积

S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角

边，c为斜边，h是斜边上的

高)，可以利用这一公式借助面积

这个中间量解决与高相关的求长

度问题.

（2）已知两边，利用勾股定理

求长度，若斜边不明确，应分类

讨论.

（3）在折叠问题中，求长度，

往往需要结合勾股定理来列方程

解决.

6.直角

三角

形的

判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，

则△ABC是Rt△；

(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三

角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt

△

(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.

2

1P C

O

B

A

P

C

O B

A

D

A

B

C a

b

c

D

A

B

C a

b

c

第17讲 相似三角形

知识点一：比例线段

关键点拨与对应举例

1. 比例 线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

a c

b d

=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例

线段．

列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.

2.比例

的基本性质

(1)基本性质：a c

b d

=? ad ＝bc ；（b 、d ≠0）

(2)合比性质：a c b d

=?a b b ±＝c d

d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：

a c

b d =＝…＝m

n

＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)? ......a c m

b d n

++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）

已知比例式的值，求相关字母代数式的值，

常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若

35a b =，则a b b +=85

. 3.平行

线分线

段成比例定理

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE

BC EF

=

. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD

应等于5

3

.

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB

OD OC =

. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.

4.黄金分割

点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果

AC AB ＝=5－12

≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．

例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．

知识点二 ：相似三角形的性质与判定

5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).

如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.

判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.

(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三

角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE

=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如

图，若AB AC BC

DE DF EF

==

，则△ABC ∽△DEF.

F E D C

B A l 5

l 4

l 3l 2

l 1O

D

C

B

A

E

D

C

B

A

F

E D

C B A

F

E D

C B

A

F

E D

C B

A

6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等

于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周

长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与

△DEF的面积之比为9：4.

(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△

ADE:S△ABC=1:4，则

AF:AG=1：2.

7.相似三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图

形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.

（2）证明等积式或者比例式的一般方法：

经常把等积式化为比例式，把比例式的

四条线段分别看做两个三角形的对应边.

然后，通过证明这两个三角形相似，从

而得出结果.

第18讲解直角三角形

知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例

1.锐角三角函数正弦: sin A＝

∠A的对边

斜边

＝

a

c

余弦: cos A＝

∠A的邻边

斜边

＝

b

c

正切: tan A＝

∠A的对边

∠A的邻边

＝

a

b.

根据定义求三角函数值时，一定根

据题目图形来理解，严格按照三角

函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形.

2.特殊角的三角函数值

度数

三角函数30°45°60°sinA

1

2

2

2

3

2 cosA

3

2

2

2

1

2 tanA

3

3

1 3

知识点二：解直角三角形

3.解直角

三角形

的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个

锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的

过程叫做解直角三角形．

科学选择解直角三角形的方法口

诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方

便；

已知直边求直边，理所当然用正

切；

已知两边求一边，勾股定理最方

便；

已知两边求一角，函数关系要记

牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能

4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=

a

c，cos A＝sinB=

b

c，tan A＝

a

b.

少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.

例：在Rt△ABC中，已知

a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.

知识点三：解直角三角形的应用

5.仰角、

俯角、

坡度、

坡角和

方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下

方的角叫做俯角．（如图①）

(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡

比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡

角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）

(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和

一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或

铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

解直角三角形中“双直角三角形”

的基本模型：

（1）叠合式（2）背靠式

解题方法：这两种模型种都有一条

公共的直角边，解题时，往往通过

这条边为中介在两个三角形中依次

求边，或通过公共边相等，列方程

求解.

6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

第五单元四边形

第19讲多边形与平行四边形

知识点一：多边形关键点拨与对应举例

1.多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边

形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线

把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为

()3

2

n n-

．

多边形中求度数时，

灵活选择公式求度

数，解决多边形内角

和问题时，多数列方

程求解.

例：

(1)若一个多边形的内

角和为1440°，则这

个多边形的边数为

10．

(2)从多边形的一个顶

点出发引对角线，可

以把这个多边形分割

成7个三角形，则该

多边形为九边形．

2.多边形的内角和、外角和( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3.正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为

()2180

n

n

-?

，每一个外角为360°/n.

( 3 ) 正n边形有n条对称轴.

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.

知识点二：平行四边形的性质

4.平行四边

形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.

利用平行四边形的性

质解题时的一些常用

5.平行四边形

的性质

（1）边：两组对边分别平行且相等.

即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.

（2）角：对角相等，邻角互补.

即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.

（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）对称性：中心对称但不是轴对称.

到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻

两边之和等于周长的

一半.

（2）平行四边形中有

相等的边、角和平行

关系，所以经常需结

合三角形全等来解题.

（3）过平行四边形对

称中心的任一直线等

分平行四边形的面积

及周长.

例：

如图，□ABCD中，

EF过对角线的交点

O，AB=4，AD=3，

OF=1.3，则四边形

BCEF的周长为9.6.

6.平行四边形

中的几个解

题模型

（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到

△ABF为等腰三角形，即AB=BF.

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△

ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌

△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线

所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图

②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.

（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可

得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

（4）根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.

知识点三：平行四边形的判定

7.平行四边形

的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.

例：如图四边形

ABCD的对角线相交

于点O,AO=CO，请

你添加一个条件

BO=DO或AD∥BC

或AB∥CD（只添加

一个即可），使四边

形ABCD为平行四边

形.

第20讲特殊的平行四边形

知识点一：特殊平行四边形的性质与判定关键点拨及对应举例1.性质

（具有平

行四边形

的一切性

质，对边

平行且相

等）

矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌

Rt△CDB≌Rt△BAC; _两对全等

的等腰三角形.所以经常结合勾股

定理、等腰三角形的性质解题.

（2）菱形中，有两对全等的等腰

三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌

Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠

ABC=60°，则△ABC和△ADC O

D C

B

A

O

D C

B

A