小学五年级奥数经典题：整数分拆

小学五年级奥数经典题：整数分拆

整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然

数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积(或最小);

或拆成若干个连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。

例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆?

分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有

1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有积7×7=49。

例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆?

分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然

数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分

拆成7+8时，有积7×8=56。

注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，

如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m×m=m2;如

果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有积m×(m+1)。

例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆?

分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有积

4×5×5=100。

例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆?

分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3，但5

比2×3=6小。

又因为4=2×2，所以，能够考虑将14分拆成若干个2或3了。

注意到2+2+2=6，2×2×2=8;3+3=6，3×3= 9.所以，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。这样可知，分拆

成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即

14=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的积

3×3×3×3×2=162。

上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并

使它们的积的问题。下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成

若干个连续自然数的问题。

例5 将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法?

分析与解因1994=997×2=492+493+494+ 495，仅一种方法。所以，该题有解。

例6 将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法?

分析与解因为35=5×7=7×5，所以35能够分拆成

2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。