高考数学(四海八荒易错集)专题03 函数的图像与性质 理

专题03 函数的图像与性质

1．(2016·课标全国乙)函数y ＝2x 2

－e |x |

在[－2,2]的图象大致为( )

答案 D

2．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3

－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－

f (x )；当x >1

2

时，f ?

??

??

x ＋12＝f ?

??

??

x －12

，则f (6)等于( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2 答案 D

解析 当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ??

??x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.

3．(2016·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题

答案 D

4．(2016·北京)设函数f (x )＝?

??

??

x 3

－3x ，x ≤a ，

－2x ，x ＞a .

(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；

(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)

解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝?

??

??

x 3

－3x ，x ≤0，

－2x ，x ＞0.

若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2

－1)．

由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1,0]上单调递减，所以f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.

(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图．

由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.

当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.

5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x

与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )

答案 B

6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x

＋15，

则f (log 220)等于( ) A ．1B.45C ．－1D ．－45

答案 C

解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)?f (x )＝f (x ＋4)，

因为4

又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ? ??

??log

245＝－1.故选C. 7．已知函数f (x )＝1

ln x ＋1－x

，则y ＝f (x )的图象大致为( )

答案 B

解析 方法一 由题意得，?

??

??

x ＋1>0，

x ≠0，

解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x

x ＋1

， 当－10； 当x >0时，g ′(x )<0.

∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解：

f (2)＝

1

ln3－2

<0，排除A. f ? ??

??－12

＝

1ln 12＋

12＝1

ln e 2

<0，排除C ，D ，选B. 8．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝?????

－x 2

4

，0

4－2x ，x >4，

若h (t )>h (2)，则实数t

的取值范围为________． 答案 (－2,0)∪(0,2)

易错起源1、函数的性质及应用

例1、(1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )

4≤m <2 B.1

4≤m ≤2 C ．2

D ．2≤m ≤4

(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝????

?

x ＋a ，－1≤x ＜0，????

??

25－x ，0≤x ＜1，其中

a ∈R .若f ? ????－52＝f ? ????92，则f (5a )的值是________．

答案 (1)A (2)－2

5

解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 故由f (log 2m )

可得?????

－2≤log 2m ≤2，

－2≤log 4

m ＋2≤2，log 2

m

4

m ＋2，

m >0，m ＋2>0，

解－2≤log 2m ≤2，得1

4≤m ≤4；

解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得1

16

≤m ＋2≤16， 即－31

16

≤m ≤14.

由log 2m

故有????

?

m 2

>0，m ＋2>0，

m 2

解得－1

综上可知，m 的取值范围是1

4≤m <2，故选A.

(2)由已知f ? ????－52＝f ? ????－52＋2＝f ? ??

??－12＝－12＋a ， f ? ????

92＝f ?

??

??92－4＝f ? ????12＝??????25－12

＝110

.

又∵f ? ????－52＝f ? ????92，则－12＋a ＝110，a ＝35，

∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2

5

.

【变式探究】(1)(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0

4x

，则f ? ??

??－52＋f (1)＝________.

(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝????

?

ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2

x ＋1，0≤x ≤1，其中

a ，

b ∈R .若f ? ????12＝f ? ??

??

32，则a ＋3b 的值为________．

答案 (1)－2 (2)－10

解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数，

所以f (x )＝－f (－x )．

所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，

又f ? ????－52＝f ? ????－12＝－f ? ??

??12， 121

()42,2f ==

故f ? ????－52＝－2，从而f ? ??

??－52＋f (1)＝－2.

【名师点睛】

(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值． (2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)

1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内：

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．

(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性

定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：

(1)f (x ＋a )＝－f (x )?函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (2)f (x ＋a )＝

1

f x

?函数f (x )的最小正周期为2|a |. (a ≠0)

(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b

2

对称．

易错起源2、函数图象及应用 例2、(1)函数y ＝

sin2x 2x ＋2

－x 的图象大致为( )

(2)已知函数f (x )＝

ax 33＋

ax －x 2＋3

2

，g (x )＝a 2x 3－2ax 2

＋x ＋a (a ∈R)．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )

与g (x )的图象不可能的是( )

答案 (1)A (2)B

解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝sin2x

2x ＋2

－x 为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (0)＝0，排除C ，D ；

当x ＝1

100时，11100

100

2sin

100

02

2

-

>+，

显然排除B ，故选A. (2)因为f (x )＝

ax 33

＋

ax －x 2＋3

2

，

所以f ′(x )＝ax 2

－x ＋a

2

，

若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.

若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>1

2，又a <0，所以a <－22

.

二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝1

2a ；

三次函数g (x )＝a 2x 3

－2ax 2

＋x ＋a ，

所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2? ????x －1a ? ????x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >1

3a ，

令g ′(x )<0，得1a

3a

，

所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2

＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a ；

由B 中的图象知13a <12a .但a <－22，所以13a >1

2a ，

所以选项B 的图象是错误的，故选B.

【变式探究】(1)函数f (x )＝?

??

??x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )

(2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是( )

答案(1)D (2)B

【名师点睛】

(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．

(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．