第一讲 计算综合 精英班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件

第一讲

计算问题

在历届的小升初选拔、迎春杯和希望杯中，考察学生的计算能力是必不可少的。这部分的题目难度不大，但是方法很巧妙，目的是考察大家的基本运算和巧算的能力。要做好这些题目，就需要同学们在掌握好最基本的计算知识和方法的基础上多做题，从而锻炼自己的运算能力。在计算的过程中也有许多巧方法可以帮助我们加快计算速度、提高正确率。

知识说明：计算中的提取公因数法是近几年来迎春杯、希望杯和小升初中经常考的题目，但是通过分析我

们发现在考试中不仅仅是只考提取公因数这样简单的题，这类题目往往是同积不变的规律、商不变的规律等结合着出的综合题。和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：

如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.

商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.

【例1】

计算（1）（05 年希望杯 2 试）2.005×390＋20.05×41＋200。5×2

（2）（04 年希望杯 2 试）12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6

（3）（06 年希望杯 2 试）8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3

分析： （1）根据提取公因数的方法和积不变的规律知道，

原式＝200.5×3.9＋200.5×4.1＋2＝200.5×（3.9＋4.1＋2）＝200.5×10＝2005 （2）原式＝125÷36－28÷36＋83÷36＝（125－28＋83）÷36＝5

125 7 83 125 - 28 + 83 180

或12.5 ÷ 3.6 - 7 ÷ 9 + 8.3 ÷ 3.6 =

- + = = = 5 36 9 36 36 36

（3）原式＝（8.1＋1.9）×1.3＋（11.9－8）÷1.3＝13＋3＝16

[巩固]（05 年希望杯 1 试）计算 78.16×1.45＋3.14×21.84＋169×0.7816 分析：不难看出式子中 7816 出现过两次：78.16 和 0.7816，由此可以联想到提取公因数

原式＝78.16×1.45＋3.14×21.84＋1.69×78.16

＝78.16×（1.45＋1.69）＋3.14×21.84

＝78.16×3.14 ＋3.14×21.84＝3.14×100＝314

知识说明

提取公因数

【例2】

计算（1）2003×2001÷111＋2003×73÷37

（2）412×0.81＋11× 9 1

＋53.7×1.9

4

分析：（1）原式＝2003×2001÷111＋2003×73×3÷（37×3）＝2003×（2001＋73×3）÷111

＝2003×2220÷111＝40060

（2）原式＝41.2×8.1＋11×（9＋0.25）＋（41.2＋12.5）×1.9

＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25 ＝41.2×（8.1＋1.9）＋（10＋2.5）×1.9＋99＋11×0.25

＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋（11＋19）×0.25

＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.5

[前铺]计算 31.4×36＋64×43.9 分析：观察发现题中有 36 和 64，试想如果出现 64×31.4，就太完美了，所以我们可以构造出 64×31.4

这就是提取公因数的构造法。如：

原式＝31.4×36＋64×（31.4＋12.5）＝31.4×36＋64×31.4＋12.5×64

＝31.4×(36＋64) ＋800＝3140＋800＝3940

【例3】

（04 华罗庚金杯）计算：（1）2004.05×1997.05－2001.05×1999.05

（2）（873×477－198）÷（476×874＋199）

分析：（1）原式＝（3＋2001.05）×（1999.05－2）－2001.05×1999.05

＝3×1999.05－2×2001.05－6＝3×1999.05－2×1999.05－2×2－6＝1989.05

（2）原式＝（873×476＋873－198）÷（873×476＋476＋199）

＝（873×476＋675）÷（873×476＋675）＝ 1

[前铺]计算 13.6×37.5＋8.75×1.4×40

分析：原式＝（8×1.7）×（12.5×3）＋（7×1.25）×（7×0.2）×40

＝（8×12.5）×（1.7×3）＋（1.25×0.2×40）×（7×7） ＝100×5.1＋10×49＝10×（51×49）＝1000

【例4】

计算（2345×3456－1234×4567）÷（5555＋6666）

分析：通过观察发现 1234、2345、4567 之间差 1111 根据这一规律进行分拆构造公因数

(2345? 3456 -1234 ? 4567) ÷ (5555 + 6666)

= (1234 ? 3456 +1111? 3456 -1234 ? 4567) ÷ (5555 + 6666) = [1111? 3456 - (1234 ? 4567 -1234 ? 3456)] ÷ (5555 + 6666) = (1111? 3456 -1234?1111) ÷ (1111? 5 +1111? 6) = 1111? 2222 ÷ (1111?11) = 1111? 2222 ÷1111÷11 = 1111? 2 ÷11 = 202

[前铺]计算567×142＋426×811－8520×

分析：观察数字，寻找和或倍数的关系，发现142、426 和8520 之间有倍数关系。

567 ?142 + 426 ?811- 8520 ? 50 = 567 ?142 +142 ? 3?811-142 ? 60 ? 50

= 142 ?(567 + 3?811- 60 ? 50) = 142 ? (567 + 2433 - 3000) = 0

提取公因数方法总结：（1）直接提取（这些知识我们在学校已经接触了）

（2）通过积不变的性质来构造出我们想要的公因数

（3）通过和不变的性质来拆分构造公因数

拆分、凑整、分组

知识说明：在小学奥数计算中，凑整是一种方法，更是一种解题思想，凑整只是手段，简算才是目的。

希望同学们熟悉这种方法后，课后多加练习，做到举一反三。

【例5】计算（1）（全国奥林匹克试题）计算93＋87＋88＋79＋100＋62＋75＋95＋85＋69＋72＋98 ＋89＋77＋54＋75＋92＋85＋83＋76＋65＋60＋79＋86＋100＋49＋97＋97＋80＋78 （2）1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01

分析：（1）分析：观察发现这些数字没有什么规律可言，这样我们可以把个位分类来算，十位分类来算，比如通过观察我们发现各位是2 的有3 个可以算2×3，个位是3的有两个可以看作3×2……十位是9的有6个可以看作90×6，故原式＝90×6＋80×8＋70×8＋60×4＋54＋40＋2×3＋3×2＋5×6＋6×2＋7

×4＋8×3＋ 9×5＋200＝540＋640＋560＋240＋94＋6＋6＋30＋12＋28＋24＋45＋200＝2425 （2）本题是凑整和分组的综合，恰当分组对解复杂题是可以起到事半功陪的效果，要认真体会。原式＝（1＋0.99－0.98－0.97）＋（0.96＋0.95－0.94－0.93）＋…＋（0.04＋0.03－0.02－0.01）＝0.04×25＝1

[前铺]计算1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋104＋103－102－101

分析：通过观察本题需要现分组在计算，本题有多种分组方法

方法一：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101 ＝（1000＋999—998—997）＋（996＋995—994－993）＋…＋（104＋103—102—101）

= 4,+ 4 +…_+_,4 = 4 ? 225 = 900

225个4

方法二：原式＝（1000—998）＋（999—997）＋（104—102）＋（103—101）

＝2 × 450＝900.

方法三：原式＝1000＋（999—998—997＋996）＋（995—994－993＋992）＋…＋（103—102—101＋100）－100＝1000—100＝900.

【例6】计算：1×22＋2×32＋3×42＋…＋18×192＋19×202

分析：分拆(2 -1) ? 22= 23- 22，(3 -1) ?32= 33- 32……再用公式

原式= (23 - 22 ) + (33 - 32 ) +...... + (203 - 202 ) = (1+ 23 + 33 +...... + 203 ) - (1+ 22 + 32 +...... + 202 )

=1

? 202 ? 212 -

1

? 20 ? 21? 41 = 41230 4 6

说明:本题需要老师帮助学生总结下面的三个公式：

1. 1＋2＋3＋4＋…＋n＝n ? (n +1) ；

2

2. 12＋22＋32＋42＋…＋n2＝n ? (n + 1) ? (2n +1)

6

3. 3 3 3 3 3 2 n 2 ? (n + 1) 2

1 ＋

2 ＋

3 ＋

4 ＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n) ＝；

4

[前铺]（仁华学校入学测试题）计算：1×2＋2×3＋3×4＋…＋99×100

分析：原式＝1×(1＋1) ＋2×(2＋1) ＋3×(3＋1) ＋…＋99×（99＋1）

＝12＋22＋32＋42＋…＋992＋1＋2＋3＋4＋…＋99

1 1

＝×99×（99＋1）×（2×99＋1）＋

6 2

×（1＋99）×99

＝328350＋4950＝333300

【例7】计算：3+33+333+3333+……+ 3,3…,3 = ；

99个3

分析：有了铺垫，我们不难联想到：

原式=（9 + 99 + 999+…+ 9,9…,9）÷3 =1;

1…1011÷3= 3,70 37…_0_,37 337

99个9 97个1 32个37

[前铺]在小学奥数计算中，凑整是一种很好方法，尤其是大家在遇到大数的时候，例如我们都熟悉的公式1,11?,1 ×1,11?,1 ＝123…n…321 (n≤9)，此公式只适用于n 小于9 的时候，当n 大于9 时候此公式就不适n个1 n个1

合了。现在要求：1,11?,1?1,11?,1为多少？

10个1 10个1

1,11?,1?1,11?,1 = 9,_99?_,9 ?1,11?,1÷9 = (10,0?,0 -1) ?1,11?,1÷9 = (1,11?,10,0?,0 -1,11?,1) ÷9 10个1 10个1 10个9 10个1 10个0 10个1 10个1 10个0 10个1

=1,11?,108;

8?89 ÷9 =1234567900987654321 。此种方法是根据等式的性质现将1,11?,1扩大9 倍变9个1 9个8 10个1

成9,_99?_,9 然后在除以9，这样9,_99?_,9 就和10,0?,0 差1 根据凑整原则将9,_99?_,9 变成(10,0?,0 -1) 进行10个9 10个9 10个0 10个9 10个0

计算，希望同学们在熟练运用下面的简算方法后，课后要多加练习做到要能举一反三。

[巩固]求3,3…,3?6,6…,6 乘积的各位数字之和？

2008个3 2008个6

分析：本题可以按照两种思路给学生展开

法一：是学生喜欢的从简单情况找规律

3×6=18 ； 33 × 66 =2178 ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；……

所以：3,3…,3?6,6…,6 = 2,2…,217,7…,7 8

2008个3 2008个6 2007个2 2007个7

法二：是凑整求和，例题是直接给我们 99… 我们就直接用，而本题没有直接给我们就先来凑 99…

原式＝3,3…,3?3?2,2…,2 = 9,9…,9 ? 2,2…,2 =（10,0…,0 -1）? 2,2…,2

2008个3 2008个2 2008个9 2008个2 2008个0 2008个2

= 2,2??,? 2 0,0??,? 0 - 2,2??,? 2 = 2,2??,? 217,7??,? 78

2008个2 2008个0 2008个2 2007个2 2007个7

所以各位数字之和=9×2008=18072

【例8】计算3,_33…_,33?3,_33…_,334的值为多少？

998个3 997个3

分析：原式=3,_33…_,33?3,_33…_,334=3,_33…_,33?(3,_33…_,33+1)=3,_33…_,33?3,_33…_,33+3,_33…_,33

998个3 997个3 998个3 998个3 998个3 998个3 998个3

=9,_99…_,99?1,_11…_,11+3,_33…_,33=（10,_00…_,00-1）?1,_11…_,11+3,_33…_,33

998个9 998个1 998个3 998个0 998个1 998个3

=1,_11…_,110,0_0…_,00 -1,_11…_,11+ 3,_33…_,33 =1,_11…_,110,0_0…_,00 + 2,2_2…_,22 = 1,_11…_,112,2_2…_,22 998个1 998个0 998个1 998个3 998个1 998个0 998个2 998个1 998个2 本题需要我们把是凑整和拆分结合考虑，希望大家课后多做练习。

[巩固]计算8,8??,?8?3,3??,?3

2007个8 2007个3

分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将一个9,9??,?9 ，然后在原式乘以3 的基础上除以3，所以

2007个9 3,3??,?3乘以3 凑出2007个3

原式= 8,8??,?8?9,9??,?9÷3 = 8,8??,?8?（10,0??,?0 -1）÷3 =（8,8??,?8 0,0??,?0 - 8,8??,?8）÷3 2007个8 2007个9 2007个8 2007个0 2007个8 2007个0 2007个8

= 8,8??,?8 71;

1???12 ÷3 = 2,9_6???_2,96 2957 0,3_7???_0,37 04

2006个8 2006个1 668个296 668个037

总结：通过上述的练习，看到了么，同学们计算不是盲目的，是需要大家平时做题时多注意观察，积累做题的技巧，但是仅仅通过现在的学习是不够的希望大家回去多做总结。

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ? ? ? ? ? ? = =

知识说明：通过对历届杯赛的总结，发现对五年级学生来讲，对一些简单换元法和分式进行计算是非常

必要的，同时也希望同学们做题时要加强对一些规律性比较强的数字的计算，重要的是自己最好能做好归纳总结，不断充实和巩固自己的知识。

【例9】 （1）（08 年数学解题能力展示） ?≤2007 - (8.5?8.5 -1.5?1.5) ÷10/? ÷160 - 0.3

（2）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（4010÷4011）÷（4011÷4012）

?≤2007 - (8.5?8.5 -1.5?1.5) ÷10/? ÷160 - 0.3 = ?≤2007 - (8.52 -1.52

) ÷10/? ÷160 - 0.3

分析：（1） = [2007 - (8.5 +1.5) ?(8.5 -1.5) ÷10]÷160 - 0.3 = (2007 -10 ? 7 ÷10) ÷160 - 0.3

= 2000 ÷160 - 0.3 = 12.2

（2）本题按照除号相当于分数线的原则分析就变的简单多了，

2 3 4 4010 4011 3 4 5 4011 4012 4012 原式＝1 ... 1 (2006)

3 4 5 4011 4012 2 3 4 4010 4011 2

3 3

? 0.2 【例10】 计算（1）（03 年希望杯 1 试）

4 ? 5.84 1.38

（2）? ÷ 3 + 5 + 2.6 / ? 1 + 1 + 1 ? 1 + 13 + 1 ? ? ÷ 2.6 ? 5 + 5 ? 3 + 2.6 ? 3 / '1 13 ∞ 5 5

2.6 ? 3 2.6 5 3 '1 13 13 ∞ ≤ ? 2.6 ? ? 3

≤ ? 13 13

3 3 ? 0.2 3

? 584

分析：（1）原式= 4 ? 5.84 = 4 = 3?146 = 146 = 73 1.38 138 138 46 23

3 + 2.6 + 5 5 ? 3 + 5

? 2.6 + 3 ? 2.6

（2）原式= 1 3 + 5 13 × + 2.6 2.6 ? 13 × 13 5 ? 3 13 13 2.6 ? 5 ? 3 13 × 5 ? 3 + 13 1 = 1 5 ? 2.6 + 3 ? 2.6 9 13

2 2.52

[前铺]（03 年希望杯 2 试）计算4 ? 3 12 5

?1.05

2 2.52 14 252 14 252

分析： 4 ? 3 12 = ?1.05

? = 3 7

?105 ? = 8 3 147 5 5

换元法和分数的计算

https://https://www.360docs.net/doc/f414296021.html,/?userid=1787958560

7

1 1 1 1 1 1 1 【例11】 计算：（0.1＋0.21＋0.321＋0.4321）×（0.21＋0.321＋0.4321＋0.54321）－

（0.1＋0.21＋0.321＋0.4321＋0.54321）×（0.21＋0.321＋0.4321）

分析：设 x ＝0.21＋0.321＋0.4321 ，y ＝0.21＋0.321＋0.4321＋0.54321 ，

原式＝（0.1＋x ）×y －（0.1＋y ）×x ＝0.1×（y －x ）＝ 0.054321

[巩固]计算 （1＋0.45＋0.56）×（0.45＋0.56＋0.67）－（1＋0.45＋0.56＋0.67）×（0.45＋0.56） 分析：该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算。设 a ＝0.45＋0.56，b ＝0.45＋0.56＋0.67，有原式＝（1＋a ）×b －（1＋b ）×a ＝b ＋a b －a － a b ＝b －a ＝0.67

[巩固]（07 年希望杯 2 试）计算下面的算式

（7.88＋6.77＋5.66)×（9.31＋10.98＋10）－（7.88＋6.77＋5.66＋10)×（9.31＋10.98） 分析：换元的思想即“打包”，令 a ＝7.88＋6.77＋5.66，b ＝9.31＋10.98，

则原式＝a ×(b ＋10)－（a ＋10）×b ＝（ab ＋10a ）－（ab ＋10b ）＝ab ＋10a －ab －10b ＝10×（a －b ）

＝10×（7.88＋6.77＋5.66－9.31－10.98）＝10×0.02＝0.2

【例12】 计算 1 - 1 - 1 -?-

1 ? 1 + 1 +?+ 1 - 1- 1 - 1 -?- 1 ? 1 + 1 +?+ 1

2

3 2007 2 3 2008 2 3 2008 2 3 2007

分析：采用换元思想.设 x = + +? ，则原式＝ (1- x )(x + 1 ) - (1- x - 1 )x = 1

.

2 3

2007 2008 2008 2008

在这里需要老师对于(a+b )?(c + d ) = (a+b )? c + (a+b )? d = a c + bc + ad + bd 的计算进行简单的说明。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

[前铺] (1+ + + + ) ?( + + + + ) - (1+ + + + + ) ?( + + + )

2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5

分析：设1+ + + + = A ， 2 3 4 5 1 + 1 + 1 + 1 = B 2 3 4 5 原式＝ A ? (B + 1) - ( A + 1) ? B ＝ A ? B + 1 ? A - A ? B - 1 ? B ＝ 1 ? A - 1 ? B ＝ 1 ?( A - B ) ＝

1

6 6 6 6 6 6 6 6

http://https//https://www.360docs.net/doc/f414296021.html,/?userid=1787958560https://https://www.360docs.net/doc/f414296021.html,/?userid=1787958560

10

1. 325.24＋425.24＋625.24＋925.24＋525.24

分析：325.24＋425.24＋625.24＋925.24＋525.24 ＝0.24×5＋325＋425＋625＋925＋525

＝1.2＋25×4＋300＋400＋600＋900＋525 ＝1.2＋(100＋900) ＋(400＋600) ＋300＋525 ＝2826.2.

2. （迎春杯竞赛试题）计算：

1+ 1 +… + 1 ? 1 + 1 +… + 1 - 1+ 1 +… + 1 ? 1 + 1 +…

+ 1 2 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007

分析：令a = 1 +… + 1

， b = 1 + 1 +… +

1 2 2007 2 3

2008 1 原式= (1+ a ) ? b - (1+ b ) ? a = b + ab - a - ab = b - a =

2008

3. （04 年希望杯 1 试）计算0.4 ? ? 11 ÷ 2 3 ?(

4.3 -1.8)/

? 26

'≤ 52 4 ∞?

分析： 0.4 ? ? 11 ÷ 2 3 ?(4.3 -1.8)/ ? 26 = 0.4 ? 11 ? 4 ? 5

? 26 = 2

'≤ 52 4 ∞?

52 11 2

4. （03 年希望杯 1 试）观察 5*2＝5＋55＝60,7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推知 9*5 的值。

分析：本题是简单定义新运算和凑整的综合题规律是明显的：9*5＝9＋99＋999＋9999＋99999，其中 5 代表最后一个重复数的位数。而 9*5＝9＋99＋999＋9999＋99999＝10＋100＋1000＋10000＋100000－5＝

111110－5＝111105。

5. 计算 51.2 ×8.1 ＋ 11 ×9.25 ＋ 537 ×0.19

分析：稍着处理，题中数字就能凑整化简，

原式＝51.2×8.1＋11×9.25＋（512＋25）×0.19 ＝51.2×8.1＋11×9.25＋512×0.19＋25 ×0.19

＝51.2×8.1＋51.2 ×1.9＋11×9.25＋0.25×19 ＝51.2×10＋11×0.25＋11×9＋0.25×19

练习一

＝512＋0.25×30＋99 ＝611＋7.5 ＝618.5

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10

6. 计算9,9 …,9 ? 8,8 …,8 ÷ 6,6 …,

6 2008个9

2008个8

2008个6

分析：本题着重是给大家一种凑的思想，除数是6,6 …,6 ，所以需要我们的被除数也能凑出6,6 …,

6 2008个6

这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以：

原式= 3? 3,3 …,3? 4 ? 2,2 …,2 ÷ 6,6 …,6 = 3? 4 ?1;1…1? 6,6 …,6 ÷ 6,6 …,

6 2008个6

2008个3

= 3? 4,4 …,4 2008个4

2008个2

= 13,3 …,

3 2 2007个3

2008个6

2008个1

2008个6

2008个6

惯性害死人----松毛虫和鲨鱼

法国科学家法伯曾做过一个著名的毛毛虫试验。他把若干毛毛虫放在一个花盆的边缘上，首尾相

连，围成一圈，并在花盆周围不到 6 英寸的地方撒了一些毛毛虫最爱吃的松针。毛毛虫开始一个跟着一个，绕着花盆一 圈又一圈地走，一小时过去了，一天过去了，又一天过去了，毛毛虫们还是不停地围绕花盆在转圈，一连走了七天七夜，终于因为饥饿和精疲力竭 而死去。

毛毛虫的悲剧在于盲从。其实，只要有一只毛毛虫能越雷池一步，打破固有的习惯及跟随的习性，就会逃脱死亡的陷阱。我们人，何尝不是如此。

另一位科学家的实验是在海洋馆里。他用玻璃板把一条具有攻击性的大鲨鱼和一条小鱼隔开。刚开始，这条大鲨鱼不断撞击玻璃，企图捕食隔壁的小鱼。无奈，玻璃隔板太坚硬，无论怎么发威，玻璃隔板都丝毫未损。 攻击了一段时间之后，它便放弃了。于是，科学家把隔板悄悄地移开。意想不到的是，大鲨鱼再也没有攻击过小鱼。它们都温和地在各自的领域活动，互不侵犯。

哲理的故事