《组合数学》教案-2章(母函数)
《组合数学》教案-2
章(母函数)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章母函数及其应用
问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方
2.0.1）。
新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数
（一）母函数
（1）定义
3
【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞
=≡
n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例
【例2.1.1】有限数列r
n C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数是：
()x G ＝n
n n n n n x C x C x C C ++++ 2210＝()n
x +1
【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数是
()x G ＝ +++++n
x x x 2
1＝x
-11
（3）说明
● n a 可以为有限个或无限个。 ● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}? +++++n x x x 20＝
x
x -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数
4
（二） 组合问题 （1）组合的母函数
【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ???=,,,2211 ,
且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为
()x G ＝∏∑==?
??? ??m
i n j j i x 10＝∑=n r r
r x a 0
其中，r 可重组合数为r
x 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
优点：
● 将无重组合与重复组合统一起来处理；
● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
（2）特例
【推论1】{}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为
G (x )＝ (1＋x )n
组合数为r x 之系数r
n C 。
5
【推论2】{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，则r 无限可重组合的母函数为
G (x )＝ ()n n
j j x x -=???
? ??∑∞
=110 组合数为r x 之系数r r n 1C -+。
【推论3】{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，每个元素至少选一个：
母函数 G (x )＝n
n
j j x x x ???
??-=???
? ??∑∞
=11 组合数 11C --n r
【推论4】{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，每个元素选非负偶数个：
母函数 G (x )＝(
)
n
n
x
x x +++++2421＝
()
n
x 211
-
组合数 r a ＝???
?????
?
?-+为偶数
当为奇数当r r r n r ,2,12C ,0。 【推论5】{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21 ，每个元素选奇数个：
母函数 G (x )＝()
n
n x x x x ++++++1253＝n
x x ??
?
??-21 组合数 ???
??-???
?
?---+-=为偶数当为奇数
当n r n r n r n n r a r ,2,12C ,0 【推论6】S ＝{}m m e n e n e n ???,,,2211 ，且n 1＋n 2＋…＋n m ＝
6
n ，元素i e 至少出现i k 次：为
母函数 G (x )＝∏∑==???
? ??m
i n k j j i i x 1＝∑=n k r r
r x a
组合数 r a
r ＝k , k ＋1, …, n ，k ＝k 1＋k 2＋…＋k m 。
（3）一般情形：设S ＝{20.a ，30.b ，∞.c}，并设元素a 只能出现1～5，10，13，16次，b 只允许出现奇数次，c 至少出现5次且必须出现偶数次，求S 的r 可重组合的母函数。
G (x )＝()
16131052x x x x x x ++++++
()2953
x x x
x ++++ ()
++86x x
（三） 应用
【例2.1.3】设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ?红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。母函数
G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )
＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2y ＋x 2z ＋xyz )＋( x 2yz )
5种情况：
① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个；