高考导数压轴题处理集锦
导数压轴题题型
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）
(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m ≤2时，证明f(x)>0.
(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1
0＋m
＝0?m ＝
1，
定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x
－1x ＋m ＝e x x ＋1－1x ＋1
，
显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1
x ＋2
(x >－2)．
h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1
x ＋22
>0，
所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，
又g ′(－12)＝1e －13
2
<0，g ′(0)＝1－1
2>0，
所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间? ????
－12，0，
设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t
－1t ＋2＝0? ??
??－12 所以，e t ＝1t ＋2 ?t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x ) 所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝1＋t 2t ＋2 >0， 当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足212 1 )0()1(')(x x f e f x f x +-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥22 1 )(，求b a )1(+的最大值。 （1）1211 ()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21 ()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21 ()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+ 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00()0F x x F x x ''>?<< 当x =max ()2 e F x = 当1,a b ==(1)a b +的最大值为2 e 例3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x > +-，求k 的取值围。 解（Ⅰ）22 1(ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-=- + 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =???=-??即1,1,22 b a b =?? ?-=-?? 解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1 f ()1x x x x = ++，所以 22ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1) k x x --(0)x >，则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而(1)0h = 故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得2 1 ()1h x x >-当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2 11 x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0（x ）>1ln -x x +x k . （ii ）设0 且244(1)0k ?=-->，对称轴x=1 11k >-. 当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11 ）时，h （x ）>0， 可得2 11 x -h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>?' h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得 2 11 x - h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值围为（-∞，0] 例4已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . （2009、） (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6. 解: (1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故 f ′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x ＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(x+3)e －x . 当x ＜－3或0＜x ＜3时,f ′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时,f ′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少. (2)f ′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e －x +(3x 2+6x+a)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)x+b －a ］. 由条件得f ′(2)＝0,即23+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a. 从而f ′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)x+4－2a ］.因为f ′(α)＝f ′(β)＝0, 所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x －β)＝(x －2)［x 2 －(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0， 即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6. 2. 在解题中常用的有关结论※ 3. 题型归纳 ①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用 （构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换） 例1（切线）设函数 a x x f -=2 )(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴 交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+ -()a ∈R . ⑴当1 2 a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1 4 a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈， 使12()()f x g x ≥，数b 取值围. ②交点与根的分布 例3（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线 方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，数c 的最小值； ⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，数m 的取值围． 例4（综合应用）已知函数 .23)32ln()(2x x x f - += ⑴求f (x )在[0,1]上的极值； ⑵若对任意0 ]3)(ln[|ln |],31 ,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，数a 的取值 围； ⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，数b 的 取值围. ③不等式证明 例5 (变形构造法)已知函数 1)(+= x a x ?，a 为正常数． ⑴若)(ln )(x x x f ?+=，且a 29 = ，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ， ()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>． ⑶若)(ln )(x x x g ?+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有 1 ) ()(1 212-<--x x x g x g ，求a 的取值围． 例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2 >=a ax x x f . （1）若2 )('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，数a 的取值围； （2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=，若1 ),1,1 (,2121<+∈x x e x x ，求证 42121)(x x x x +< 例7（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在 1=x 处取得极大值． （I ）数a 的取值围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证： 81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 例8（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域的极值点的个数； （Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立， 数b 的取值围； （Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较x y x y ln 1ln 1--与的大小．