二次函数重点难点总结上课讲义

初中二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1 ?二次函数的概念：一般地，形如y二ax

2 bx c（ a , b, c是常数，a = 0 ）的函数，叫做二次函数。

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a=0，而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2

2. 二次函数y =ax bx c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的基本形式

2

1. 二次函数基本形式：y=ax的性质:

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2

2. y =ax c的性质:

上加下减。

2

3. y =a x -h 的性质:

左加右减。

4. y =a x —h k 的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

2

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x_h) +k，确定其顶点坐标(h，k)；

⑵ 保持抛物线y二ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上’h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”

方法二：

⑴y二ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y = ax2? bx c变成

y =ax2 bx c m (或y =ax2 bx c - m )

⑵y =ax2? bx ? c沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y = ax2 bx c变成

2 2

y =a(x m) b(x m) c (或y = a(x - m) b(x - m) c)

四、二次函数y = a x - h ］亠k与y =ax2? bx ■ c的比较

从解析式上看，y =a(x-h $ +k与y =ax2 +bx +c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

七2 2 2

丄.込丄，其中,k/S 4a 2a ' 4a

者，即y"x 2a

五、二次函数y=ax2?bx，c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2Exy化为顶点式y = a(x-h)2,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h, c、与x轴的交点x1, 0 , x2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

b b 4a

c —b 2

x 的增大而增大；当 …亦时，y 随x

的增大而减小；当时，y 有最大值

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y =ax 2 ?bx （ a , b , c 为常数，a = 0）；

2

2?顶点式：y=a （x-h ） k （ a , h , k 为常数，a = 0 ）； 3. 两根式：y =a （x-xj （x-X 2）（ a=0, , x 2是抛物线与x 轴两交点

的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与

x 轴有交点，即b 2_4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化?

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y =ax bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a=0 .

a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下,

当b 0时，-屯：：：0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;

2a

六、 二次函数y =ax 2?bx ? c 的性质

1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为

x

，顶点坐标为

b 4a

c _b 2

2a ' 4a ,

2. 当X ::： 一2时，y 随x 的增大而减小；

当

2a 值

4ac

. 4a

y 随x 的增大而增大；当x b 时，y 有最小

2a

当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为 b x =

2a

，顶点坐标为舟，4a

_b 2

4a ?当时，y 随

⑴当a 0时，抛物线开口向上, ⑵当a .0时，抛物线开口向下,

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向,

a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小.

当b =0时，一匕=0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b <0时，一匕.0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b 0时，一匕.0，即抛物线的对称轴在y轴右侧;

2a

当b =0时，一匕=0，即抛物线的对称轴就是y轴;

当b ：：：0时，一卫：：：0，即抛物线对称轴在y轴的左侧.

2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.

K

ab的符号的判定：对称轴x —在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab ：：：0 ,概括的说就是

2a

“左同右异”

总结：

3. 常数项c

⑴ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ;

⑶ 当c <0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c决定了抛

物线与y轴交点的位置.

总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2 2

y =ax - bx 关于x 轴对称后，得到的解析式是

y --ax -bx_c ；

2

y =a X _h i 亠k 关于x 轴对称后，得到的解析式是 2. 关于y 轴对称

9

9

y=ax ? bx 关于y 轴对称后，得到的解析式是

y =ax -bx c ；

2 2

y =a x -h 丨亠k 关于y 轴对称后，得到的解析式是 y =a x 亠k ；

3. 关于原点对称

y = ax - b x 关于原点对称后，得到的解析式是

y 二-ax 2 ? bx 「c ；

2

y 二a x- h 关于原点对称后，得到的解析式是

2

y =a x - h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点m, n 对称

2 2

y =a x 「h ］亠k 关于点 m , n 对称后，得到的解析式是 y 二-a x ? h 「2m ［亠2n 「k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此

a 永远不变?求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与

x 轴交点情况）：

一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y =ax 2 ? bx c 当函数值y =0时的特殊情况 图象与x 轴的交点个数： ① 当.：-b -4ac 0时，图象与x 轴交于两点A x i , 0 , B x 2, 0 （冷=X 2），其中的为,x ：是一元二次

方程ax 2 bx ^0 ^-0的两根?这两点间的距离 AB = X 2 - X i 二b 一

4ac

|a|

② 当厶=0时，图象与x 轴只有一个交点；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转

180°）

y = ax bx 关于顶点对称后，得到的解析式是

“—ax ? 一bx c -丄;

2a

2

y = —a x _h | 亠 k .

③当：：0时，图象与x轴没有交点.

1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y .0 ；

2'当a ：：：0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y：：：0 .

2

2. 抛物线y =ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）;

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2? bx ? c中a , b , c的符号，或由二次函数中a , b , c的符号

判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一

个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx飞@=0）本身就是所含字母x的二次函数；

下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函数图像参考:

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y=-2(x+3)