基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计

自动控制原理课程设计说明书

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控

制系统设计

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2018年 1月

1 任务概述 (3)

1.1设计概述 (3)

1.2 要完成的设计任务： (4)

2系统建模 (4)

2.1 对象模型 (4)

2.2 模型建立及封装 (5)

3仿真验证 (9)

3.1 实验设计 (9)

3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9)

4 双闭环PID控制器设计 (12)

4.1内环控制器的设计 (13)

4.2外环控制器的设计 (13)

5 仿真实验 (15)

5.1简化模型 (15)

5.2 仿真实验 (16)

6 检验系统的鲁棒性 (18)

6．1 编写程序求系统性能指标 (18)

6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19)

7 结论 (22)

附录 (22)

1任务概述

1.1设计概述

如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。

图1一阶倒立摆控制系统

这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。

1.2 要完成的设计任务：

(1)通过理论分析建立对象模型（实际模型），并在原点进行线性化，得到线性化模型；将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入；

(2)设计实验，进行模型验证；

(3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器；

(4)在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真;

(5)编写绘图程序，绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间；

(6)检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。

倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg；

倒立摆的振子质量m不变，倒摆长度L从0.3m分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。

2系统建模

2.1 对象模型

一阶倒立摆的精确模型的状态方程为：

若只考虑θ在其工作点θ0 = 0附近的细微变化，这时可以将模型线性化，这时可以近似认为：

一阶倒立摆的简化模型的状态方程为：

2.2 模型建立及封装

上边的图是精确模型，下边的是简化模型。

图2模型验证原理图

2、由状态方程可求得：

Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))

Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))

Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)

Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))

（其中J =mL 2

，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m，倒摆长度2L，重力加速度g=10m/s2）

将以上表达式导入函数。

3、如下图框选后选择createsubsystem

图3封装

4、封装之后如下图

图4子系统建立

5、将精确模型subsystem和简化模型subsystem1组合成以下系统以供验证，注意add的符号是++，不是+-，网上其他的课设都是错的。（输入信号是由阶跃信号合成的脉冲，幅值为0.05，持续时间(step time)为0.1s）。

图5系统模块封装

6、鼠标右击子系统模块，在模块窗口选项中选择Mask->edit mask，则弹出如下窗口。

图6添加参数

7、点击左边菜单栏的edit，添加参数m和L，注意prompt中的m和L意思是之后对话框中的提示词，而name中的m和L是要被prompt中输入的值导入的变量，如果name中填错了，那么之后的值将无法导入。

图7编辑参数

8、在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口，在新窗口中可以输入m和L的值，之后将会输入，如图8所示。

图8输入参数

3仿真验证

3.1 实验设计

假定使倒立摆在(θ=0，x=0）初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动，摆杆将倒下。

3.2 建立M文件编制绘图子程序

图9绘图子程序

(提示：附录中有子程序方便大家Ctrl+c(＾＿＾)，上边只是为了方便对照)。

1、在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口，在新窗口中输入m

和l值，点击OK并运行，如图10所示。

图10 输入参数

2、如图设置tofile模块的参数，Variablename的名字就是M程序中的函数名，

这里如果不是signals的话程序是无法运行的。Save format要选择Array，因为程序是按数组形式调取变量的，没有选择Array的话运行程序会出现“索引超出矩阵维度”的错误。

图11 tofile参数设置3、运行M文件程序，执行该程序的结果如图8所示。

图12 模型验证仿真结果

从中可见，在0.1N的冲击力下，摆杆倒下（θ由零逐步增大），小车位置逐渐增加，这一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。同时，由图中也可以看出，近似模型在0.8s以前与精确模型非常接近，因此，也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质。

4 双闭环PID控制器设计

一级倒立摆系统位置伺服控制系统如图13所示。

图13 一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图

4.1内环控制器的设计

内环采用反馈校正进行控制。

图14 内环系统结构图

反馈校正采用PD控制器，设其传递函数为D2′s=K1s+K2，为了抑制干扰，在前向通道上加上一个比例环节D2s=K

控制器参数的整定：

设D2s的增益K=-20，则内环控制系统的闭环传递函数为

令ξ= 0.7

内环控制器的传递函数为：D2′s=0.175s+1.625

内环控制系统的闭环传递函数为：W2s=64

s2+11.2s+64

4.2外环控制器的设计

外环系统前向通道的传递函数为：

图12 外环系统结构图

对外环模型进行降阶处理，若忽略W2s的高次项，则近似为一阶传递函数为：

对模型G1(s)进行近似处理，则G1(s)的传递函数为：

外环控制器采用PD形式，其传递函数为：D1s=K3(τs+1)

采用单位反馈构成外环反馈通道，则D1′s，则系统的开环传递函数为：

采用基于Bode图法的希望特性设计方法，得K3=0.12，τ= 0.87，取τ= 1，则外环控制器的传递函数为

图13 系统仿真结构图

5 仿真实验

5.1简化模型

1、根据已设计好的PID控制器，可建立图14系统，设置仿真时间为10ms，单

击运行。这个仿真是为了便于理解。

2、

图14 SIMULINK仿真框图

3、新建M文件，输入以下命令并运行

%将导入到PID.mat中的仿真试验数据读出

load PID.mat

t=signals(1,:);

q=signals(2,:);

x=signals(3,:); %drawing x(t) and thera(t) response signals

%画小车位置和摆杆角度的响应曲线

figure(1)

hf=line(t,q(:));

grid on

xlabel ('Time (s)')

axis([0 10 -0.3 1.2])

ht=line(t,x,'color','r');

axis([0 10 -0.3 1.2])

title('\theta(t) and x(t) Response to a step input')

gtext('\leftarrow x(t)'),gtext('\theta(t) \uparrow')

执行该程序的结果如图15所示

图15 仿真结果

5.2 仿真实验

注意，图中子系统为简化模型而不是精密模型(MMP网上的写的精密模型，调了好久才发现)。

图16 SIMULINK仿真框图

图17系统仿真结果图

6 检验系统的鲁棒性

检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。

6．1 编写程序求系统性能指标

新建pid.m文件，输入以下命令并保存

load PID.mat

clc

t=signals(1,:);

x=signals(2,:);

q=signals(3,:);

figure(1)

hf=line(t,q(:));

grid on

axis([0 10 -0.3 1.2])

ht=line(t,x,'color','r');

r=size(signals); e=r(1,2);

C=x(1,e); %得到系统终值

y_max_overshoot=100*(max(x)-C)/C %超调量计算

r1=1;

while (x(r1)<0.1*C)

r1=r1+1; end r2=1;

while (x(r2)<0.9*C)

r2=r2+1;

end

x_rise_time=t(r2)-t(r1) %上升时间计算

s=length(t);

while x(s)>0.98*C&&x(s)<1.02*C

s=s-1;

end

x_settling_time=t(s) %调整时间计算

C1=q(1,e);

[max_y,k]=max(q);

q_max_overshoot=max(q)-C1%超调量计算

q_rise_time=t(k) %上升时间计算

s=length(t);

while q(s)>-0.02&&q(s)<0.02

s=s-1;

end

q_settling_time=t(s) %调整时间计算

6.2改变参数验证控制系统的鲁棒性

倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg；倒立摆的振子质量m 不变，倒摆长度L 从0.3m 分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。在单位阶跃输入下，检验所设计系统的鲁棒性

。

1、改变输入参数并运行，再运行pid.m文件，得到响应曲线及性能指标，记录

表1

图18 改变输入参数

2、仿真实验的结果如图19所示：