初一数学竞赛系列讲座 应用题(一)

初一数学竞赛系列讲座 应用题（一）

一、一、知识要点

1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。

2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：

(1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；

(2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

(3) (3) 根据这个相等关系列出方程；

(4) (4) 解这个方程，求出未知数的值；

(5) (5) 写出答案(包括单位名称)。

3、行程类问题

行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度?时间=路程

4、数字类问题

数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。

解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。

二、二、例题精讲

例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时

每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21

7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)

分析 本题用方程来解简单自然。

解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组

?????=+=+(2) 2172035(1)

93520y x y x

解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351

也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法：

(1)+(2)得

(x+y)( 201+351)=9+217

所以 x+y=21035120127

9=++ (3) (1)-(2)得 (x -y)( 201-351)=9-217

所以 x-y=7035120121

7

9=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+

所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。

例2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔72

4分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)

分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车

与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处，它经过72

4分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。 解：设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得

?????+?=-=)(724)(6b a ax b a ax

两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5

评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。

例3 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A 、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题) 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。

解：如图，设小镇为D ，傍晚

汽车在E 休息 A D C E B

由已知， AD 是AC 的三分之一，也就是AD =21DC 又由已知，EB=21CE

两式相加得：AD+ EB=2DE

因为DE=400千米，所以AD+ EB=21

?400=200千米，

从而A 、B 两市相距400+200=600千米

评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。

例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v 1、v 2、v 3千米，且满足v 1> v 2> v 3> v >0，其中v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：

(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；

(2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。

在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为

解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：

S i =(v i -v)?1+v ?1= v i ?1(i=1、2、3)

第i 号赛艇追上浮标的时间为：()11=?=-+=

i i i i i v v v v v S t (小时)

由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。

评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)

解：设甲的运动速度是甲，V 乙的运动速度是乙V ，丙的运动速度是丙V ．设环形轨道长为L 。甲比乙多运动

一圈用时50秒，故有甲V －乙V ＝50L

①

甲比丙多运动一圈用时40秒，故有甲V －丙V ＝40L

②

②－①可得到乙V －丙V ＝40L －50L ＝200L

③

4＝丙乙－乙甲－V V V V ④

5＝－丙乙丙

甲－V V V V ⑤

甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离

＝（甲V －丙V ）×30－（ 甲V －乙V ）×10； 乙追上丙所用时间＝丙乙－乙、丙之间距离

V V ＝－－丙乙

丙

甲－30?V V V V 1104015010＝－＝丙乙－乙甲－?V V V V 秒．所以第110秒时，乙追上丙．

评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和?时间；

追及问题的关系式是：追及路程=速度差?时间。

例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。

解：设十位上的数为x ，则个位上的数为3 x ，百位上的数是x+7

由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2

∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926

答：这个三位数是926

评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。

例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。

解：设大数为x ，则小数为999-x ，由题意得

)1000999(61000999x x x x +-=-+

解这个方程得：x=857, ∴999-x=142

答：大数为857，小数为142。

例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为AB ，过了1小时里程碑上的数字为BA ，又行驶了1小时里程碑上的数字为A0B ，求每次看到的数字和卡车的速度。

分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。 解：依题意得：BA -AB =A0B -BA ，即AB +A0B =2BA ，

所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B

因为A 、B 取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6

故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。

评注：本题得到的是一个不定方程，通过A 、B 是1到9的自然数来求出A 、B 。

例9 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为

17735，试问擦去

的数是什么数？ 分析：设出擦去的数，用平均值为17735来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。

解：设写出了n 个自然数1，2，…，n 中擦去的是k ，则由题意得：

2121121177352

2112112117735

n n n n n k n n n n n k n =--+++≥--+++=+=--+++≤--+++=

即?????≤≤≤≥+171470171468 1773521773522n n n 解之得

因为n 是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69 于是由

177********=-+++k ，可解得k=7，即擦去的数为7。 评注：本题运用了放缩原理来得出n 的范围，从而确定自然数n 的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。

三、三、巩固练习

选择题

1、甲、乙二人从M 地同时出发去N 地，甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半的时间以每小时b 千米的速度行走；乙以每小时a 千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b 千米的速度行走。若a ≠b ，则( )先到达N 地。

A 、甲

B 、乙

C 、二人同时到达

D 、不确定

2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )

A 、24千米

B 、12千米

C 、48千米

D 、40千米

3、某人从A 地步行到B 地，当走到预定时间时，离B 地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B 地。已知AB 两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )

A 、2千米/时

B 、4千米/时

C 、5千米/时

D 、6千米/时

4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( )

A 、43

B 、34

C 、25

D 、52

5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是

( )

A 、1.5

B 、1.9

C 、3.25

D 、4.375

6、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有( ) (第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题)

A 、1个

B 、4个

C 、10个

D 、超过10个

填空题

7、早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时60千米，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。则第一辆车是8点 分离开化肥厂的.

8、甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B 地。甲走全程的平均速度是 千米/小时。(第六届迎春杯初赛试题)

9、一船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要 昼夜

10、一个六位数9abcde 的4倍是abcde 9，则这个六位数是

11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、21、19，则这四个数中最大的一个是

12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位自然数的个数是 解答题

13、一列客车的速度是60千米/时，一列货车的速度是45千米/时，货车比客车长135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1分30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？

14、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔31

3分钟相遇一次，若反向跑步则每隔40秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。

15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，恰好也到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题)

16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题)

17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为5，求这个两位数。

18、一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m 倍,求m 的值。

19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70而小于90，求这样的两位数。

20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。