高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】

《三角函数》

【知识网络】

一、任意角的概念与弧度制

1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角，不旋转为零角 ２、同终边的角可表示为

{}()360k k Z ααβ?

=+∈

x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈

3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα?

?+<<+∈

第二象限角：

{}()90

360180360k k k Z αα??+<<+∈

第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα?

?+<<+∈

第四象限角：

{}()270360360360k k k Z αα??+<<+∈

４、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360

90360k k k Z αα?

?+<<+∈

锐角：

{}090αα<< 小于90的角:{}90αα<

5、若α为第二象限角，那么

2

α

为第几象限角？

ππαππ

k k 222

+≤≤+

ππ

α

ππ

k k +≤

≤

+2

2

4

,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k

所以2

α

在第一、三象限

6、弧度制：弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad .

7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=?π 815730.571801'?=?≈?

=π

8、角度与弧度对应表：

9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?；面积:211

22

S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制.

二、任意角的三角函数

1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y

x

α=

其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r =

２、三角函数值对应表:

πππ235π

3π

３、三角函数在各象限中的符号

口诀:一全正,二正弦，三正切,四余弦.(简记为“全s ｔ c ”

)

sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>０,t ａn α>0， 第二象限:0,0.>0,c ｏs α<0,tan α<０, 第三象限:0,0.<０, 第四象限：0,0.<>y x sin α<０,cos α>0,tan α<0,

4、三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y , 过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向 延长线交于点Ｔ.

由四个图看出:

当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x

x OM r α====，

o x y M T P A o x y M T P A x

y o M T P A x y

o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）

tan y MP AT AT x OM OA

α=

===． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式

22sin cos 1αα+=

sin tan tan cot 1cos α

αααα

=

?= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-

(ααcos sin +，ααcos sin -,ααcos sin ?,三式之间可以互相表示)

6、诱导公式

口诀：奇变偶不变,符号看象限（所谓奇偶指的是α

π+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)

2

12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数；21

2(1)s ,s()2(1)sin ,n

n co n n co n απαα+?-?+=??-?

为偶数为奇数

. ①．公式（一)：α与()2,k k Z απ+∈

απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ;απαtan )2tan(=+k

②.公式（二）:α与α-

()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=;()tan tan αα-=-

③．公式（三)：α与πα+

()sin sin παα+=-;()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=

④．公式(四）：α与πα-

()sin sin παα-=;()cos cos παα-=-;()tan tan παα-=-

⑤．公式(五):α与

2

π

α+

sin cos 2παα??+= ???;cos sin 2παα??

+=- ???

； ⑥.公式(六）：α与

2

π

α-

sin cos 2παα??-= ???；cos sin 2παα??

-= ???

； ⑦.公式(七):α与

32

π

α+ 3sin cos 2παα??

+=- ???

;3cos sin 2παα??+= ???; ⑧.公式(八):α与

32

π

α- 3sin cos 2παα??-=- ???；3cos sin 2παα??-=- ???

；

三、三角函数的图像与性质

1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右)平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变),得到函数

()sin y A x ω?=+的图象。

2、函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=+>>的性质: ①振幅：A ;②周期:2T π

ω

=

;③频率：12f T ωπ

=

=;④相位：x ω?+；⑤初相：?。 3、周期函数：一般地,对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足

()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数,T 叫做该函数的周期.

４、⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：令2

x k π

ω?π+=+,得ω

?

π

π-+

=

2

k x

对称中心:π?ωk x =+,得ω

?

π-=

k x ，))(0,(

Z k k ∈-ω

?

π； ⑵)cos(

?ω+=x A y 对称轴:令π?ωk x =+，得ω

?

π-=k x ；

对称中心：2ππ?ω+=+k x ,得ω

?ππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ω?ππ;

⑶周期公式:

①函数sin()y A x ω?=+及cos()y A x ω?=+的周期ω

π

2=

T （A 、ω、?为常数，且A ≠0).

②函数()φω+=x A y tan 的周期ω

π

=T (A 、ω、?为常数，且A ≠０）. 5 sin y x =

cos y x = tan y x =

图像

定义域 R R

,2x x k k Z ππ??≠+∈????

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最

值

当22

x k π

π=+

()

k Z ∈时,max 1y =;

当22

x k π

π=-

()k Z ∈时，

min 1y =-．

当()2x k k Z π=∈时，

max 1y =；当2x k ππ=+

()k Z ∈时,min 1y =-.

既无最大值也无最小值

周期性 2π 2π

π

奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数

单调性

在2,222k k ππππ??-++????

()k Z ∈上是增函数；

在32,222k k ππππ??++?

???

()k Z ∈上是减函数．

在[]()

2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈

上是减函数.

在,2

2k k π

πππ?

?

-

+

??

?

()k Z ∈上是增函数．

对

称性

对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2

x k k Z π

π=+

∈

对称中心

(),02k k Z ππ??+∈

??

? 对称轴()x k k Z π=∈

对称中心(),02k k Z π??

∈

???

无对称轴

函

数 性 质

6. 五点法作)sin(?ω+=x A y 的简图,设?ω+=x t ，取0、2

π

、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值

再描点作图。

７. )sin(?+ω=x A y 的的图像

8. 函数的变换：

(1)函数的平移变换

①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右)平移a 个单位 （左加右减）

②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下)平移b 个单位 (上加下减）

(2)函数的伸缩变换:

①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

w

1

倍(1>w 缩短， 10<

②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A 倍(1>A 伸长，

10<

(3)函数的对称变换：

① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°(整体翻折） （对三角函数来说:图像关于x 轴对称)

② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°(整体翻折） (对三角函数来说:图像关于y 轴对称)

③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留,并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部

翻折)

④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局部翻动)

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-

(6）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+

(7) sin cos a b αα+＝)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)a b 所在的象限决

定,

sin tan b

a

???=

=

=

，该法也叫合一变形)． (8)

)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4

tan(tan 1tan 1θπ

θθ-=+-

2. 二倍角公式

（1）a a a cos sin 22sin =

(２）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2

2

2

2

-=-=-=a a a a a

(3)

a

a

a 2

tan 1tan 22tan -=

3. 降幂公式：

（1）

22cos 1cos 2a a +=

（２) 22cos 1sin 2

a a -=

4． 升幂公式

（1）2

cos 2cos 12

α

α=+ (2）2

sin

2cos 12

α

α=-

（3）2)2

cos 2(sin

sin 1α

α

α±=± （4)αα22cos sin 1+=

（5）2

cos

2

sin 2sin α

α

α=

５. 半角公式（符号的选择由

2

θ

所在的象限确定) （1）

2cos 12sin

a

a -±=, （２)

2cos 12cos a a +±

= , （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan

-=+=+-±=

6. 万能公式: (１)2

tan 12tan

2sin 2

α

α

α+=

， （２）2

tan 12tan 1cos 2

2α

αα+-=

, (3).2

tan 12tan

2tan 2

α

α

α-=

７.三角变换:

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、

化简的方法技能。

（1） 角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：

)sin(cos sin 22?θθθ++=

+b a b a 其中2

22

2sin ,cos b a b b a a +=

+=

??，比如：

x

x y cos 3sin +=

)

cos )

3(13sin )

3(11(

)3(12

2

2

2

22x x ++

++=

)cos 23sin 21(2x x +=

)3

sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x

（3）注意“凑角”运用：()ααββ=+-， ()αββα=--， ()()12

ααββα=+--????

例如:已知),43(

ππβα∈、,53)sin(-=+βα，1312)4sin(=-πβ，则?)4

cos(=+π

α (4)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“１”可转化为“αα2

2

cos sin +”

（５）幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如：a cos 1+常用升幂化为有理式。

（6）公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

(7)结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项,或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

(8)消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法

（9）思路变换:如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路,通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

（10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子:a a cos sin + ,a a cos sin a a cos sin -，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出,且必要时可以换元。

8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）:

①b x a y +=sin （或)cos b x a +型:利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22?++=

x b a y 再利用有界性

③c x b x a y ++=sin sin 2

型:配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束 ④d

x c b

x a y ++=

sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决

⑥c x x b x x a y +?++=cos sin )cos (sin 型:常用到换元法：x x t cos sin +=,但须注意t 的取值范围:2≤

t 。

9.三角形中常用的关系:

)sin(sin C B A +=， )cos(cos C B A +-=， 2

cos 2sin C B A +=, )(2sin 2sin C B A +-=， )(2cos 2cos C B A +=

10. 常见数据:sin15cos75cos15?=?=

?=?=，

3215tan -=?, 3275tan +=?,