第一章 三角形的证明单元测试题(含解析)

第一章三角形的证明单元测试

一、选择题

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．12 B．15 C．12或15 D．18

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）

A．18°B．24°C．30°D．36°

3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线O C．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS

4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（）

A．∠EAM=∠FAN；B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN

5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三

角形全等的是（）

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β；B．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5 D．两条边长是5，一个角是β

6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）

A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD

二、填空题

7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=．

8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是的．（填“正确”或“错误”）9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a 于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．

三、解答题

11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．

求证：BE=CF．

12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=D C．

（1）求证：△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

13．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：

①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．12 B．15 C．12或15 D．18

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，

3、6、6可以构成三角形，

周长为15；

②当3为腰时，

其它两边为3和6，

∵3+3=6=6，

∴不能构成三角形，故舍去，

∴答案只有15．

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

https://www.360docs.net/doc/f4935286.html,

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）

A．18°B．24°C．30°D．36°

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．

【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°

∵BD是AC边上的高，

∴BD⊥AC，

∴∠DBC=90°﹣72°=18°．

故选A．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．

3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线O C．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS

【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．

【分析】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出正确选择．

【解答】解：∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，

∴△MOC≌△NOC（SSS）．

故选D．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．

4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（）

A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可证明△AEB≌△AFC，利用全等三角形的性质进行判断．【解答】解：∵在△AEB和△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，

∴△AEB≌△AFC（AAS），

∴BE=CF，∠EAB=∠FAC，

∴∠EAM=∠FAN，故选项A、B正确；

∵∠EAM=∠FAN，∠E=∠F，AE=AF，

∴△ACN≌△ABM，故选项C正确；

错误的是D．

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是根据已知条件确定全等三角形．

5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β

B．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5

D．两条边长是5，一个角是β

【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、两条边长分别为4，5，它们的夹角为β，可以利用“边角边”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误；

B、两个角是β，它们的夹边为4，可以利用“角边角”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误；

C、三条边长分别是4，5，5，可以利用“边边边”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误；

D、两条边长是5，角β如果是底角，则顶角为（180°﹣2β），则转化为“角边角”，利用ASA证明三角形与已知三角形全等；当角β如果是顶角时，底角为（180°﹣β）÷2，此时两三角形不一定全等．故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）

A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD

【考点】等腰三角形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；

B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；

C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；

D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

二、填空题

7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=40°．

【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．

【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．

【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，

∴∠B===80°，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，

∵AD=DC，

∴∠C===40°．

【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．

8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是错误的．（填“正确”或“错误”）

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可．

【解答】解：如已知一个角=70°．

当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣70°）÷2=55°，

当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°﹣140°=40°．

故答案为：错误．

【点评】主要考查了等腰三角形的性质．要注意分两种情况考虑，不要漏掉一种情况．

9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a 于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为13．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．

【解答】解：∵ABCD是正方形（已知），

∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；

又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，

∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；

∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，

∴在Rt△AFB和Rt△AED中，

∵，

∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），

∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．

故答案为：13．

【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．

10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是相等或互补．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．

【解答】解：当两个三角形同为锐角或同为钝角三角形时，

易得两三角形全等，则第三边所对的角是相等关系；

当一个钝角三角形和一个锐角三角形时（如图），

则第三边所对的一个角与另一个角的邻补角相等，即这两个角是互补关系．

故填“相等或互补”．

【点评】本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．

三、解答题

11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．

求证：BE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAD=∠BAD，由等量关系可得∠CAD=∠EAB，有SAS可证△ACF≌△ABE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证．

【解答】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠CAD=∠BA D．

又∵∠EAB=∠BAD，

∴∠CAD=∠EA B．

在△ACF和△ABE中，

∴△ACF≌△ABE（SAS）．

∴BE=CF．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度中等，注意掌握数形结合思想的应用．

12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=D C．

（1）求证：△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；

（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．

【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中

∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，

∴BE=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，

∴∠EBC=25°．

【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

13．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=30°．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：

①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；

（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；

②α+β=180°或α=β，根据三角形外角性质求出即可．

【解答】（1）解：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=30°，

∴∠DCE=30°，

故答案为：30°；

（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，理由是：

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

（3）解：当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，题目比较典型，是一道证明过程类似的题目．

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