《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案

一、判断题 1、( √ )

理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个

点。满足聚点定义 2、( √ )

理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2

tan(

)(π

π-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.

3、( √ )

理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞

理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。 5、( × )

理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。 6、( √ )

理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射???

??==+==...2,1,1

,1

1,

0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ?????? ,1,,31,21,1,0n 到集合?????? ,1,,3

1

,21,1n 的一一映射。

7、( √ )

理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(

8、( √ )

理由:狄利克莱函数???-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Q

x x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。

9、( √ )

理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )

理由:如无界。，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )

理由:由于可测。在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：

)()(***CE T m E T m T m T E +=??：可测

]([)(**CE C T m CE T m +=

可测。CE ?

13、( × )

理由:由于不是开集。，故所以E E E E o o ?Φ=, 14、( √ ) 理由:事实上：

令),()1,1(+∞-∞→-：f

)2

tan()(x x f x π

=

则f 是(1,1)-∞∞到(-,+)的1-1映射，故。),(~)1,1(+∞-∞- 15、( × )

理由:应为。)()()(x f x f x f -+-= 16、( √ )

理由:直线上开集的构造定理。 17、( √ )

理由: 集合具有无序性

18、( × )

理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2}

19、（√）

理由: 空集Φ是任意集合的子集.

20、（×）

理由:符号 表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系.

21、( × )

理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ

22、( × )

理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是0 23、( √ )

理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点

24、( × )

理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分 25、( √ )

理由: 有内点的定义可得.

26、( √ )

理由: 有内点的定义可得.

27、( × )

理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.

28、( × )

理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E

29、（×）

理由: 因有若]1,0[?E ，E 不可测，而E E )]1,0([-可测 30、（√）

理由: 因 ))(()(()(a g g f E g f e a g E >≠==>

)))((()))((((a g g f E a f g f E >≠>==

两可测集的并可测。 31、（×）

理由: 因 C ==]2,0[]1,0[，但2]2,0[,1]1,0[==m m 32、（√）

理由: 因 ∞

=>=∞=1)()(n n f E f E 分

33、（×）

理由: 反例：]1,0(=E ，????

?

=-∈-∈=n n n n n n j i j

j x j

j x x f 2,,2,1]2

,21(,0]2,21(,1)()

( 把}{)(n j f 是按n 后按j 的顺序形成的函数列 。

34、（×）

理由: 因2S 的测度可能无限

35、（√）

理由: 因若1E （可测）E ?，则11)()(E a f E a f E >=>

36、（×）

理由: 反例：自然数集外测度为零。

37、（×）

理由: 若1E 是E 的不可测集就不行。

38、（×）

理由: 反例：),0(),,1(+∞=+∞=B A ，1)(=-A B m

39、（√）

理由: 因R c ∈?，存在单调下降趋于c 的有理数列}{n r ， 则有 ∞

=>=>1)()(n n r f E c f E ，故可测。

40、（√）

理由: 因mE E A m mE E A E m A E m =-+=-=)())(()( 二、选择题

1、D

2、C

3、D

4、D

5、A

6、B

7、C

8、A

9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A 三、填空题

1、可数 ；

2、≤ ；

3、}|),{(22a y x y x <+，E ,E ；

4、E ，E ；

5、c i i A )( Γ

∈；6、充要；

7、f(x)在E ；8、a ； 9、}21|),{(22≤+≤y x y x ，}21|),{(22≤+≤y x y x ；10、 Γ

∈i c

i A ；

11、c

E ； 12、)(1

∞

=i i S m ；13、至多可数；14、10=mG ，c P =0；

15、}21|),{(22<+<=y x y x E o ，

}21|),{(22≤+≤='y x y x E ，}21|),{(22≤+≤=y x y x E ； 16、,...}1

,...21,1,0{n

E =?，Φ=o E ；

17、10n n n n f (x )f (x ),f (x )f (x )E;→∞

+≤≤???

→于 18、a R E(f a )?∈>对，有可测;19、可数集；20、00=mP ；21、}10|),{(22<+<=y x y x E o ，}1|),{(22≤+='y x y x E ，

}1|),{(22≤+=y x y x E ，}1|),{()0,0(22=+=?y x y x E ；22、i I

i CA ∈ ；23、n 2 ；24、c ；

25、c ；26、c ；27、c ；28、c ；29、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；30、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；31、ααA C s I

∈?；32、ααA C s I

∈?；33、n k

n k A ∞

=∞

=??1；34、n k

n k A ∞

=∞

=??1；35、

2

1

1

)(∑=n

k k x ；36、|})()({|sup ]

,[t y t x b a x -∈；37、211

2})({∑∞

=-k k k y x ；38、2

12

222

11})(){(y x y x -+-；

39、2

1

2

332

222

11})()(){(y x y x y x -+-+-；

40、2

12

44233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；41、}1:),{(22≤+=y x y x E ；42、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；43、}1:),{(22=+y x y x ； 44、

}1:),{(22≤+y x y x ；45、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 46、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 47、

2；48、0；49、1；50、)},({inf ,y x d B

y A x ∈∈；51、)},({sup ,y x d A

y A x ∈∈；52、1；53、∑∞

=1

||inf

i i I ；54、

n n mS ∞

→lim ；55、)(a f E >可测；56、0>?σ有 ∞

=<1

i i I E ；57、C B D A ???；58、||x ；

59、可测函数；60、点态收敛与一致收敛；61、)(*||E I m I --；62、次可数可加性；63、可测函数；64、可测函数；65、单调性；66、 ∞

=1i i G （i G 开）；67、推广；68、测度；69、

)(*)(**CE T m E T m T m +=；70、 ∞

=1

n n F ，

（n F 闭集）；71、常数；72、可测函数，连续函数；73、n n mS ∞

→lim ；74、零测集； 75、可测函数；76、依测度； 77、0； 78、0； 79、

0； 80、0； 81、0；82、0 四、计算题

1、解：因为,...2,1],2,1

1

[]2,1[1=+-

=?-=+n n A n A n n 所以}{n A 是一单调递减的集列。

从而n n A ∞

→lim ＝n n A im l ∞

→＝ ∞

=1n n A

故]2,0[1

=∞

= n n A

2、解：记Q E Q E -==]1,0[,]1,0[21 ,则1E 和2E 为两个互不相交的可测集。f(x)在1E 上是 常值函数，在2E 上是连续函数。 从而可得?

]

1,0[)(dx x f ＝?1

)(E dx x f ＋?2

)(E dx x f （1）

其中1E 为一零测度集故0)(1

=?E dx x f 。 构造函数2)(x x g =，同理有0)(1

=?E dx x g （2）

从而由（1），（2）可得?

]

1,0[)(dx x f ＝?1

)(E dx x g ＋?2

)(E dx x f

=3

1

1

2=

?dx x

3、解：因为,...2,1],1

1

1,2(]11,2(1=+--=?--=+n n A n A n n

所以}{n A 是一单调递增的集列。

从而n n A ∞

→lim ＝n n A im l ∞

→＝ ∞

=1

n n A

故 ∞

=1

n n A )1,2(-=

4、解：记Q E Q E -==]1,0[,]1,0[21 ,则1E 和2E 为两个互不相交的可测集。f(x)在1E 上是常 值函数，在2E 上是连续函数。 从而可得?

]

1,0[)(dx x f ＝?1

)(E dx x f ＋?2

)(E dx x f （1）

其中1E 为一零测度集，故0)(1

=?E dx x f 。 构造函数x x g 2)(=，同理有0)(1

=?E dx x g （2）

从而由（1），（2）可得?

]

1,0[)(dx x f ＝?1

)(E dx x g ＋?2

)(E dx x f

=1210

=?dx x

5、解：由于}{n A 渐涨，所以}{n A 收敛，于是

n n A ∞→lim )1,0(]1

1,1[lim 211=-===∞=∞=∞→n

n A A n n n n n 。

6、解：由于，于]2,0[e .a )(x e x f =

可积，在连续，从而在而)](2,0[]2,0[R e e x x

可积，且在于是)](2,0[L e x

?

]

2,0[)(dx x f ??==]

2,0[]

2,0[)()(dx e R dx e L x x 122

-==?e dx e x 。

7、 解：由于}{n A 渐缩，所以}{n A 收敛，于是

n n A ∞→lim ]1,0[]1

1,0[lim 11=+===∞

=∞=∞→n

A A n n n n n 。

8、解： 由于，于]1,0[e .a )(3x x f =

可积，在连续，从而在而)](1,0[]1,0[33R x x 可积，且在于是)](1,0[3L x

?

]

1,0[)(dx x f ??==]

1,0[3]

1,0[3)()(dx x R dx x L 4

11

3=

=?dx x 。

9、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得：

?]

1,0[)(dx x f ?=]

1,0[xdx =21102211

|==?x xdx 。

10、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得： ?

]1,0[)(dx x f ?=]

1,0[dx e x =1|101

-==?e e dx e x x 。

11、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x x f sin )(= 。 这样利用积分的性质得： ?

]

1,0[)(dx x f ?=]

1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101

0-=-=?x xdx 。

12、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得：

?]

1,0[)(dx x f ?=]

1,0[xdx =21

102211

|==?x xdx 。

13、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得：

?

]1,0[)(dx x f ?=]

1,0[dx e x =1|101

-==?e e dx e x x 。

14、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x x f sin )(= 。 这样利用积分的性质得：

?

]

1,0[)(dx x f ?=]

1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101

-=-=?x xdx 。

15、解：令nx x f x

n nx

n 51sin )(22+=，则0)(lim =+∞

→x f n n 。 而21212

2)(=≤

≤

+nx nx x n nx

n x f 。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0sin )(lim 1

05122=?

+∞

→nxdx R x n nx

n 。

16、解：令nx x f x n nx n sin )(2

22

/11+=，则0)(lim =+∞

→x f n n 。 而x nx

nx x n nx n x f 21212/12

22

/1)(=

≤

≤

+，且函数x 21在]1,0[上L 可积。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0sin )(lim 1

012

22

/1=?

+∞

→nxdx R x n nx n 。

17、解：令nx x f x

n nx

n 21cos )(22+=，则0)(lim =+∞

→x f n n 。 而21212

2)(=≤

≤

+nx nx x n nx

n x f 。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0cos )(lim 1

02122=?

+∞

→nxdx R x n nx

n 。

18、解：令nx x f x n nx n cos )(2

23

/21+=，则0)(lim =+∞

→x f n n 。 而3/1213/22

23

/2)(-+=≤

≤

x x f nx

nx x n nx n ，且函数3/1-x 在]1,0[上L 可积。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0cos )(lim 1

012

23

/2=?

+∞

→nxdx R x n nx n 。

19、解：令)cos (sin )(21242

nx nx x f x n x n n +=+，则0)(lim =+∞

→x f n n 。

而2121222

42)(=≤

≤

+x

n x n x n x n n x f 。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0)cos (sin )(lim 1

0212

42=+?

+∞

→dx nx nx R x n x n n 。

20、解：令242

/331)(x

n x

n n x f +=，则0)(lim =+∞

→x f n n 。 而2/12

42

/33)(-≤≤

x x f x n x n n 。

故由Lebesgue 控制收敛定理得：

0)(lim 1

012

42

/33=?

+∞

→dx R x n x n n 。

21、解：由于对n ?：

212112222n n n n A A A A A A +-+???=???

所以

0n n n N

n N

A (,),

A ,∞∞===+∞=Φ

11

00n n n N n N

N lim A A (,)(,).∞

∞

∞

→∞

=====

+∞=+∞

11

n n N n N

N n lim A A .∞

∞

∞===→∞

=

=

Φ=Φ2

x f (x )tan(

x )π= 22、解: 333331o ().E E E E E '===?=Φ，

224

4442242o ().E E E ,E {(x,y )x y 1}E {(x,y )x y 1}.

'==?=+==+<，

23、解: {}55555011o E E (,y )y [,]E E E '=∈-==?=Φ，。

五、简答题

1、答: A ，B 是两个非空集合，若A 对等于B 的一个子集且B 又对等于A 的一个子集，则集合A 与B 对等。

2、答: 直线上任一非空开集可表为有限个或可数个互不相交的构成区间的和集，又当非空开集表为互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间。

3、答: E 是n R 中的点集，如果对于任一点集T 都有)()(***c E T m E T m T m +=，则称E 是L 可测的，此时的外侧度E m *称为E 的L 测度。

4、答:)(x f 是)(∞

(x f

在E 上是L 可积的，称此共同值为)(x f 在E 上的L 积分，记为.)(?E

dx x f

5、答: 对于X 中任意2个元素y x ,，都有唯一确定的实数),(y x d 与之对应，且这一对应关系满足：

1）0),(≥y x d ，0),(=y x d 的充要条件为y x =。 2）),(),(),(z y d z x d y x d +≤，对任意z 都成立。 6、答: n

R E ?,则∑∞

=?∞

==1

*

||inf 1

i i I E I E m i i 。 7、答: )(x f 是可测集E 上的实函数，若对于任意的实数R a ∈，][a f E >都是可测集，则称)(x f 为定义与E 上的可测函数。

8、答: f(x)是E 上a.e.有限的可测函数，则对,0>?δ都存在闭集E F ?δ,使得函数f(x)在δF 上连续且δδ<-)(F E m 。

9、答: 若对(,)U x δ?，有(,)

{}U x E x δ-≠Φ，则称x 为E 的聚点。

10、答: 若()n f x 为E 上的可测函数列，E ?上的可积函数()F x 满足：()()n f x F x ≤，且()()a.e n f x f x →于E ，则lim n E

E

n fdx f dx →∞=??。

11、答: 若对0σ?>，有lim ()0n n mE f f σ→∞

-≥=，则称()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 。

12、答: 若对(,)U x δ?，使得(,)U x E δ?，则称x 为E 的内点。

13、答: 若()()n n f x f x →∞

?于E ，则?子列()()a.e i n n f x f x →∞???→于E 。

14、答: 若()()n mE f x f x <+∞，，在E 上a.e 有限可测，且()()a.e n n f x f x E →∞

???

→于，则对0δ?>，?可测集()()()n n F E m E F f x f x F δδδδ→∞

?-

15、答: 令f(2n) = 2n f(2n －1)＝－2（n －１） 其中n=1, 2, 下面验证f 是{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射. （1） 设m ∈{自然数全体}, n ∈{自然数全体}且f(m) =f(n)

若f(m) =f(n)>0, 则m 、n 为偶数，f(m) =f(n)=m=n 若f(m) =f(n)≤ 0, 则m 、n 为奇数，f(m) =f(n)=1－m=1－n

即 m=n, 故而f 是单射。 （2） 对于任意的m ∈{偶数全体}

若m=0, 则有f(1)=0 ; 若m>0, 则有f(m)=m; 若m<0, 则有f(1－m)=m 故而f 是满射。

有（1）（2）得f 是一一映射。

16、答：令f(x)=tg(π(x －

2

1

))， 下证f(x)是(0, 1)到R 的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单增连续函数，且 f((0, 1)) =R 所以f(x)是(0, 1)到R 的一一映射.

17、答：令f(x)=tg(

2

π

(１－x))， 下证f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单减连续函数，且f((0, 1)) = [0, ∞]所以f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射.

18、答：令f(3n)= n n = 1, 2, …

下证f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射 (1) 对于任意的 3m, 3n ∈{能被3整数整除的正整数} 若f(3m)=f(3n) 则有 m=n, 所以f 是单射

(2) 对于任意的n ∈{正整数全体}

显然有3n ∈{能被3整数整除的正整数} 且 f(3n)=n 即f 是满射

由（1）（2）得f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.

19、答: 令f(x)= 2x 当x ∈(0,

21) ; f(x)=2x+1 当x ∈(2

1

, 1). 由 f(x) 的单调性, 易知f(x)是(0,1) 到(0, 1)?(2, 3) 的一一映射. 20、答: 令f(x)=x+1,

显然，f(x)是{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射. 21、答：因对n ?=,1σ。有),[)1(

)1|(|+∞=≥=≥-n n

x

E f f E n 这样)(0)1|(|∞→→/∞=≥-n f f mE n ，故f f n ?

/。 22、答： ,2,1=i S i

，可测j i S S j i ≠Φ=,

∑∞

=∞

==1

1

)(i i i i mS S m

23、答：因1°0=c 分 2°0>c 时 )()(c

a

f E a cf E >

=> 3°0

a

f E a cf E <=> 故cf 在E 上可测。

24、答：设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使 E = F + N

25、答：因

??

?

??≥Φ<≤<=>1,10,]1,0[0],

1,0[))(](1,0[c c Q c o x D

而[0, 1]，Q ]1,0[，Φ均可测，故)(x D 可测。

26、答：有限集，可列集，康脱尔集。 27、答：令:(1,1)(,)f -→-∞+∞

()tan()2

x

f x x π

=

则称f 是(-1,1)到∞∞(-,+)的1-1对应。

28、答：由于对0,[0,1]()[0,1](0)a f a f E =>=>=不可测，所以()f x 在[0,1]不可测。 但是()1,[0,1]f x x ≡∈；所以()f x 在[0,1]可测。

29、答：取1,(0,]

(),0,(,)n x n f x x n ∈?=?∈+∞?

则()1(0,)n f x →+∞于，

但()1(0,).n f x ???→+∞一致

于

30、答：令1

t x

=

，则（R ）广义积分 1

1

1

220

11

sin 1

sin sin ()t x fdx dx t t dt dt x t t α

α

α+∞-+∞==

-=?

?

?? 当21α->时绝对收敛，当021α<-≤时条件收敛，当20α-≤时发散。

即积分1

0f dx ?仅当1α<时收敛，由定理3.3.3知当1α<时()f x 在(0,1]可积，1α≥时

()f x 在(0,1]不可积。

六、证明题

1、证明：因为φ=E A ，所以对于任意的点E P ∈，有A P ≠， 记02)

,(>=

A P d P δ，从而φδδ=),(),(P P P U A U ，令 E

P P P U G ∈=),(δ，则G E ?。 由紧集的定义知存在有限个开集覆盖E ，

不妨设这有限个开集为),(),......,,(),,(2121n P n P P P U P U P U δδδ，则

φδδ=),(),(i i P P P U A U 且 n

i P i i P U E 1),(=?δ。

令}{min 1i n

i δδ≤≤=、),(1δA U G =、 n

i P i i P U G 1

2),(==δ

则有1G A ∈,2G E ∈,且φ=21G G 。

2、证明：由题意对任意,,1

E F n

n ?存在闭集

使得函数列)}({x f n 在n F 上一致收敛于f(x)，且n

F E m n 1)(<

-。 从而)}({x f n 在n F 上必收敛于f(x)。 令 ∞

==1n n F F ,则)}({x f n 在n F 上必收敛于f(x)。

并且我们有,1

)())(()(1

n F E m F E m F E m n n n <-≤-=-∞

=

由n 的任意性知0)(=-F E m 。 故)}({x f n a.e.收敛f(x)于E 。 3、证明：任取一点

E

x ∈0,则

a

x f >)(0,从而

)(0>-a x f 。

而由f(x)是R 上的实值连续函数知a x f -)(也是R 上的实值连续函数。

由连续函数在0

x 点的保号性知，存在

x 点的邻域

)

,(0δx U ，

使得对任意)

,(0δx U x ∈，都有a x f -)(>0.也即E

x U ?),(0δ。

故

x 为E 的内点。由

x 的任意性知E 为开集。

4、证明：由题意对任意,,1E F n n ?存在闭集使得f(x)在n F 上连续，且n F E m n 1

)(<-.

令 ∞

==1n n F F ,F E F -=0,则由f(x)在n F 上连续知f(x)在n F 上有限。

从而f(x)在F 上有限，并且我们有,1

)())(()(1

n F E m F E m F E m n n n <-≤-=-∞

=

由n 的任意性知0)(=-F E m 。故f(x)是E 上a.e.有限的。 下证f(x)是E 的可测函数。

对任意R a ∈,][][][][][01

0a f F a f F a f F a f F a f E n n >>=>>=>∞

= ，由f(x)在n F 上连

续知][a f F n >是可测集。

从而由0F 是零集知][a f E >是可测集，故f(x)是E 上的可测函数。

5、证明：取)1,0(},1

,,31,21{?=n

A ，则

}1,0{])1,0[(]1,0[],)1,0[()1,0( A A A A -=-=

????

??

???-∈==-==A x x n n x n x x f x )1,0(,),4,3(1,2

1

210)( ，

则(0,1)[0,1]f 是到的1-1映射，故]1,0()1,0(=。

6、证明：由于，于E x f x f n n )()(?∞

→所以由F.Riesz 定理，E x f x f n n i 于a.e )()(??→??→∞

，

于是0)(=→/f f mE i n 。又0)(a.e )()(11=≤>++n n n n f f mE E x f x f ，所以于。 记)],([)(110+∞

=≤→/=n n n n f f E f f E E i 则00=mE 。

对,0E E x -∈?有)()(1x f x f n n +>，且)()(x f x f n n i ??→??∞

→， 于是)()(x f x f n

n ??→??→∞。即,)()(0E E x f x f n n -??→??→∞

于 故。于E x f x f n n a.e )()(→∞

→

7、证明：开集，型集为i i I

i G a I G G G G )(≤=?∈ δ

闭集，i i I

i i I

i CG a I CG G C CG ))(()(≤==?∈∈

型集。为σF G C ?

]

1,0[)1,0(:→f 令

8、证明：由于有界，E 所以存在有界区间∏=><=n

i i i b a I 1

,，使得I E ?，

于是+∞<-=≤∏=n

i i i a b mI mE 1

)(。

9、证明: 设A 为一无穷集合, A 不空, 任意取一元素1x , 因为A 是无穷集合, 所以}{1x A -不空, 任意取一元素2x , 同理},{21x x A -不空, 任意取一元素3x ,… ，依次取下去, 得一个集合A x x x n ?},,,{21 。

令f(n x )=n ，显然 f 是},,,{21 n x x x 到N 的一一映射。故而

},,,{21 n x x x 是A 的可数子集.

10、证明:令C=B －A, 则C ?B,

若C 是空集，则B A ?＝A 是可数集.

若C 不是空集，则C 是有限集，设C=},{21n a a a A=},,{21 n x x x ，

显然i m x a ≠ 其中n m ≤≤1，i ≤1。k k a c =当n k ≤≤1时；n k k x c -= 当 k>n 时．则

},,{21 k c c c ＝B A ?， 显然B A ?是可数集.

11、证明: 令C=A －B, 则有A C ?, 故C 是可数集或有限集． 若C 是有限集，显然.

若C 是可数集，显然 Φ=?B C ，设},,,{21 n c c c C =，

},,{21 n b b b B =。令n n b a =2，n n c a =-12，则

B A

C B a a a n ?=?=},,,{21 。而},,,{21 n a a a 显然是可数集。故而B A ?是可数集.

12、证明：设},,,{3

21

i i i i A = （ ,3,2,1=i ）, 则i A 是可数集，于是知全体正有理数 ∞

=+

=1

i i A Q 成一可数集。

因正负有理数成一一对应，故负有理数-Q 成一可数集。但全体有理数

}0{ -+=Q Q R ，故有理数全体成一可数集。

13、证明：在每个区间中取一有理数与这个区间对应，则不同的区间对应不同的有理数，故A 与有理数的子集对等。

而有理数集是可列的，所以A 是至多可列的。

14、证明：令}:),{(Z x n x A n ∈= 其中Z n ∈，Z 为整数集。显然n A 是可数集, 并且

=?+∞

-∞

=n n A {Z y Z x y x ∈∈,:),(}。

因为可数个可数集的并是可数集，故{Z y Z x y x ∈∈,:),(}是可数集。 15、证明：必要性，取B A T =，则B CE T A E T == ,，从而

B m A m CE T m E T m T m B A m **)(*)(**)(*+=+==

充分性，T ?，令CE T B E T A ==,，则CE B E A

)(*)(***)(**CE T m E T m B m A m B A m T m +=+==

16、证明：设)(x f 是E 上a , e 有限的可测函数，由鲁金定理得，)(x f 在E 上基本连

续，即对0>?ε存在E E ?δ，及连续函数g 满足 （1）εδ<-)(E E m （2）E x x g x f ∈=),()(

于是对δδδE E g f E g f E -<≠<≥->?)()|(|,0，所以 εδδ<-≤≥-)()|(|E E m g f mE 17、证明：因对T ?，有

)(*)(**CE T m E T m T m += )(*))((*CE T m CE C T m +=

18、证明：因f f n ?，由Riesz 定理，存在}{n f 的子列}{k n f ，使 )()(lim x f x f k n k =∞

→，E E x ?∈0，且0)(0=-E m m

设k E x ∈时有)()(x g x f k n ≤，且0)(=-k E E m

这样 ∞

=∈1

k k E x 时，有)()(x g x f k n ≤，从而)()(x g x f ≤

注意∑∞

=∞==-≤-0

0)()(k k k k E E m E E

19、证明：设},,,,{21 n r r r E =，0>?ε 令)22(1

1

+++

--=i i i i i r r I ε

ε

则i

i mI 2ε

=

，

且 ∞

=?1

i i I E εε

==∑

∑∞

=∞

=1

1

2

||i i

i i I

由E m *的定义知 ε=≤∑∞

=1

||*i i I E m 故有0*=E m

20、证明：N k ∈?有k E 使k

E E m k 1

)(<

-，且在k E 上n f 一致收敛于f 令 ∞

==1

0k k E E ，则n f 在0E 收敛于f ，且k

E E m E E m k k 1

)(()(1

0≤

-=-∞

= 。 从 而 0)(0=-E E m

21、证： )(*21n E E E m

))()((*121 n

i i n S E E E m ==

21121((*)()((*E E m S E E E m n += ))((*))212n n n S E E E m S E ++ n E m E m E m ***21+++=

22、证明：因 |)()(||)()(||)()(|x g x f x f x f x g x f k k -+-≤- 故N n ∈?，

?

?????≥-??????≥-?????

??

≥-n g f n f f n g f k k 21||21||1|| 从而

????

??????

??≥-+???? ????????≥-≤???? ????????

≥-n g f m n f f m n g f m k k 21||21||1||

令

∞→k ，得 01||=????

????????≥-n g f m 注意到

{} ∞

=?

???

??

≥

-=≠11||k n g f g f

故 {}()0=≠g f m ，

即)()(x g x f =，a , e 于E ．

23、证明：①若E 有界，则0*0*=≤≤E m E m ， 从而E m E m **=，即E 可测

②若E 无界，则存在互不相交的有界集列}{n E ，使 ∞

==1n n E E 。

而每个 E E n ?，且 0*=E m ，所以 0*==n n E m mE ， 因 ∑∞

===10n n mE mE ，所以E 是可测的。

24、证明：首先 )()(lim x f x f n n =∞

→ 因0>?σ，

])

1(1

,0[))1(1()|(|+=+≤

=≥-n n x E f f E n σσσ

故 0)

1(1

lim

)|(|lim =+=≥-∞

→∞

→n f f mE n n n σσ

所以 f f n ?

25、证明：因A 可测，取B A T =，有

))((*))((*)(*cA B A m A B A m B A m += )(*cA B m mA +=

又因)(*)(**cA B m A B m B m +=（定义3中取T = B 即得）