小升初奥数计数方法

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．

【例1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?（6级）

【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？

（6级）

【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？（8级）

【例 3】10个三角形最多将平面分成几个部分？（8级）

【例4】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？（8级）

【例5】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?（10级）

【例 6】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？（8级）

【例 7】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）（10级）

模块二、整体法

解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来

研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．

【例8】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，

那么共需剪多少刀?（8级）

【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？（8级）

【例 9】在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．（8级）

模块三、对应法

将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量

上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．

一、图形中的对应关系

形（如图），一共有多少种不同的方法？（6【例10】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”

级）

【例11】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？（6级）

【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？（6级）【例12】图中可数出的三角形的个数为．（8级）

【例 13】如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数．（8级）

A

B

C D

二、数字问题中的对应关系

【例 14】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？

（8级）

【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？（8级）

【例 15】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12，21，111．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？（8级）

【例 16】（2008年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？（8级）

三、对应与阶梯型标数法

【例 17】游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票

员总能找得开零钱？（10级）

【例 18】（2008年第一届“学而思杯”五年级试题）学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，

学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．（10级）

【例 19】(第七届走美试题)一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边

的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．（10级）

【巩固】将1~12这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？（10级）

四、不完全对应关系

【例 20】圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多

边形称为红色(蓝色)多边形．不包含红点及蓝点的称无色多边形．试问，以这12个点为顶点的所

有凸多边形(边数可以从三角形到12边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较

多？多多少个？（8级）

【例 21】有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大．另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也

比左右两位数字小．请问符合要求的数M与W，哪一类的个数多？多多少？（10级）

【例 22】用1元，2元，5元，10元四种面值的纸币若干张(不一定要求每种都有)，组成99元有P种方法，组成101元有Q种方法，则Q P．（10级）

模块四、递推法

对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可

以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．

【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？（6级）