第一讲：集合的概念及表示方法

第一讲：集合的含义与表示

教学目标：理解集合的含义，知道常用数集及其记法；

初步了解属于关系和集合相等意义，初步了解集合的分类及性质； 初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．

教学重点：集合的含义及其表示方法． 教学过程： 一、问题情境

１．蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由的游泳；……鸟群，羊群，鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合．

２．在初中学习数的分类时，已接触过“正数的集合”、“负数的集合”，集合这一概念在数学中被广泛运用，集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学对象．那么，我们不禁要问：集合的含义是什么？ 二、学生活动

１．让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况． ２．问题：像“家庭”、 “班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？

三：知识要点

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

如“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市．

“Young 中的字母” 构成一个集合，该集合的元素就是y,o,u,n,g 这五个字母． “book 中的字母” 也构成一个集合，该集合的元素就是b,o,k 这三个字母． 2312>?>-x x ，所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集．

方程10232

=?=+-x x x 或2，1与2组成的集合称为方程的解集．

自然数的集合 0，1，2，3，…… 故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：?我

们今天学习了‘集合’.?数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：?你懂吗？?女儿肯定地回答：?懂!一点也不难.?父亲还是放心不下：?你们老师是怎么教的？?女儿说：?老师先让男孩子站起来，说：‘这是男孩组成的集合.’然后又让女孩子站起来，说：‘这是女孩组成的集合.’最后老师问我们：‘都懂了吗？’大家回答说：‘都懂了!’?听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：?那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？?迟疑了一会儿，女儿最终回答道：?不能!除非它们都能站起来.?大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？

3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数；

（4） 方程2

10x +=的解；

（5） 某校2007级新生； （6） 血压很高的人； （7） 著名的数学家；

（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或 者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。 5.两个集合相等：构成两个集合的元素是一样的。 6.元素与集合的关系

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a A 。 7.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N *

或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2

}，…；

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{直角三角形}，…。

五：典型例题

考点一：集合的有关概念

例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D.函数y=

x

1

图象上所有的点 变式训练

1.下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体

B.爱好足球的人

C.中国的富翁

D.某公司的全体员工 考点二：元素与集合的关系

例2：(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示. (2)所有素质好的人能否表示为集合?

(3)A={2,2,4}表示是否准确?

(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?

解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(?),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5?A.

(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A 不能表示为集合. (3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}. (4)因其元素相同,A 与B 表示同一集合.

例3：在数集{2x,x 2

-x}中,实数x 的取值范围是。

分析:实数x 的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x 2

-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x 的取值范围是{x|x<0或03}. 答案：{x|x<0或03}

例4：已知数集A=}

{A a a ∈+16,7,3,2且，求实数a 的值。 分析：16=1632

=+a a 或者；同时考虑到集合元素的互异性。

答案：

134=-=a a 或 例5：集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2

-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A 中仅有一个元

素,求k 的值.

解：由于A 中元素是关于x 的方程kx 2

-3x+2=0(k∈R)的解, 若k=0,则x=

3

2

,知A 中有一个元素,符合题设; 若k≠0,则方程为一元二次方程,

当Δ=9-8k=0即k=89时,kx 2

-3x+2=0有两相等的实数根,此时A 中有一个元素. 综上所述k=0或k=8

9

.

变式训练

1.用符号∈或?填空:

(1)1______N ,0______N ,-3______N ,0.5______N ,2______N ; (2)1______Z ,0______Z ,-3______Z ,0.5______Z ,2______Z ; (3)1______Q ,0______Q ,-3______Q ,0.5______Q ,2______Q ; (4)1______R ,0______R ,-3______R ,0.5______R ,2______R . 2.数集{3,x,x 2

-2x}中,实数x 满足什么条件? 3.方程ax 2

+5x+c=0的解集是{

21,3

1

},则a=________,c=_______. 考点三：集合的表示方法

例6：用列举法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然数组成的集合;

(2)方程x 2

=x 的所有实数根组成的集合;

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合. (4)?

???

??∈-∈=N x N

x A 916

(5)()??

??????

?????=-=+=24,y x y x y x B

(6){}

N y Z x x y x C ∈∈+-==,,52

(7){}N y Z x x y y D ∈∈+-==,,52

(8)(){

}N y Z x x y y x E ∈∈+-==,,5,2

解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x 2

=x 的所有实数根组成的集合为B,那么 B={0,1}.

(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 变式训练

1.用列举法表示下列集合:

(1)小于5的正奇数组成的集合;

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;

(3)方程x 2

-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x|

x

-36

∈Z ,x∈Z }. 列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶集合中的元素可以为数，点，代数式等 ⑷列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑸对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方

能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

例7：用描述法表示下列集合

(1)二次函数y=x 2

图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.

解：(1)二次函数y=x 2上的点(x,y)的坐标满足y=x 2,则二次函数y=x 2

图象上的点组成的集合

表示为{(x,y)|y=x 2

}; (2)()}

{0,=xy y x

(3)不等式x-7<3的解是x<10,则

不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.

用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画

一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：{}()

x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x|直角三角形}，…； 学习集合表示方法时应注意的问题

（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．

（2）注意?与{}0的区别．?是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合． （3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．

（4） 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：

集合{

()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =

者理解为曲线y =

集合{

x y =

中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值范围；

集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =

y 的取值范围；

集合{

y =

中的元素只有一个（方程y =，它是用列举法表示的单元素集合．

变式训练

1.用描述法表示下列集合: (1)方程2x+y=5的解集;

(2)小于10的所有非负整数的集合; (3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合; (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;

(6)方程组??

?==+1

y -x 1,

y x 的解的集合;

(7){1,3,5,7,…};

(8)x 轴上所有点的集合; (9)非负偶数;

(10)能被3整除的整数.

六：课堂练习

1.下列对象能否组成集合: (1)数组1、3、5、7;

(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形;

(5)美国NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数; (7)所有绝对值小于3的整数;

(8)中国男子足球队中技术很差的队员; (9)参加2008年奥运会的中国代表团成员. 2.说出下面集合中的元素: (1){大于3小于11的偶数}; (2){平方等于1的数}; (3){15的正约数}. 3.判断正误:

(1)所有属于N 的元素都属于N *

. ( ) (2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )

(3)所有不属于N *

的数都不属于Z . ( ) (4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( ) (5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( ) 4.分别用列举法、描述法表示方程组???==+27

3y -2x 2,

y 3x 的解集.

5．已知集合}{

,,S a b c

=中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是 （ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形 6. 已知(){}

{}2,1,,0|2

--=∈=++R n m n mx x x ，求m ，n 的值.

7.已知集合A=126x N N x ??

∈|∈??-??

，试用列举法表示集合A.

1.1.2集合间的基本关系

教学目标：1.理解子集、真子集概念；2.会判断和证明两个集合包含关系；

3.理解“?≠”、“?”的含义；

4.会判断简单集合的相等关系；

5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念

教学难点：元素与子集、属于与包含间区别

教学过程：

（I）情景引入：战国时期有个公孙龙提出“白马非马”的言论，请问白马真的不是马吗？（Ⅱ）讲授新课

通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：

规定:空集?是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有?A。

问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？

?集合A与集合B的元素完全相同，从而有：

问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）

（2）除去?与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）

3.真子集：

由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A ?A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A ?B ，而且A ≠B （即B 中至少有一个元素不在A 中），则称集合A 是集合B 的

真子集（proper subset ），记作A ?≠

B 。（空集是任何非空集合的真子集） (3)对于集合A ，B ，

C ，若A ?B ，B ?C ，即可得出A ?C ；对A ?≠ B ，B ?≠ C ，同样有A ?≠ C, 即：包含关系具有“传递性”。 4.证明集合相等的方法：

（1） 证明集合A ，B 中的元素完全相同；（具体数据） （2） 分别证明A ?B 和B ?A 即可。（抽象情况）

对于集合A ，B ，若A ?B 而且B ?A ，则A=B 。 （III ） 例题分析：

练习：

1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0}; (7) A={-1,1}，B={x|x 2-1=0}; （8）A={x|x 是两条边相等的三角形}，B={x|x 是等腰三角形}。

2、设A={0，1}，B={x|x ?A}，问A 与B 什么关系？

3、判断下列说法是否正确？

（1）N ?Z ?Q ?R ； （2）φ?A ?A ； （3）{圆内接梯形}?{等腰梯形}； （4）N ∈Z ； （5）φ∈{φ}； （6）φ?{φ}

4.含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ??????

，也可表示为{}2,,0a a b +，求2006

2007a b +的值。

。

课后作业：1.1.1 集合的含义与表示

一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( )

A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义

B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点

5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )

A ．x ＋y ∈M

B ．x ＋y ∈X

C ．x ＋y ∈Y

D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}

B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }

C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }

D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题

7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．

9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空：

①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②

2

1

______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．

13．方程组??

?

??=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．

14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________．

③}7

5,64,53,42,31{______________________________________________________． 16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______． 三、解答题

17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

19．实数集A 满足条件：1?A ，若a ∈A ，则

A a

∈-11

． (1)若2∈A ，求A ；

(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a

∈-1

1．

20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R

①若A 是空集，求a 的范围；

②若A 中只有一个元素，求a 的值；

③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．

21．用列举法把下列集合表示出来： ①A =};99

|{N N ∈-∈x

x ②B =};|99

{

N N ∈∈-x x

③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；

④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝?∈∈=+=*},,5,|

{N N q p q p x q

p

x

22．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．

1.2 集合间的基本关系

1. 已知集合{}1,0,1-=A ,A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A ．2个 B.4个 C.6个 D. 8个

2.已知集合P={1，2}，那么满足Q ?P 的集合Q 的个数为（ ）

A ．4 B.3 C.2 D. 1

3.满足{1，2}{}1,2,3,4,5A ??条件的集合A 的个数为（ ）

A.4

B.６

C.８

D.１０

4．集合{

}2

|210,A x x x x R =--=∈的所有子集的个数为（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1 5.在下列各式中错误的个数是( ) ①}

{

10,1,2

∈;②

}{}

{10,1,2∈;③

}{}

{0,1,20,1,2?;④}{

0,1,2φ≠

?;⑤

}{}{0,1,22,0,1=

A.1

B.2

C.3

D. 4 6．下列六个关系式中正确的有（ ）

①{}{}a b b a ,,=；②{}{}a b b a ,,?；③{}{}a b b a ,,?；④{}0φ=；⑤{}0φ≠

?；⑥0{}0∈．

A.６个

B.５个

C.４个

D.３个及３个以下

7．已知集合{}0,1-=A ，集合{}2,1,0+=x B ，且B A ?，则实数x 的值为 8．若{}{}1,2,31,2,3,4A ≠

??,则A =

9. 设数集{}{}

21,2,,1,,A a B a a ==-?若A B,求实数a 的值。

10. 求满足{}{}

22|10,|10,x x x R M x x x R M ≠

+=∈??-=∈的集合的个数.

11. 集合{}

2|320,A x x x =-+={

2

|2B x x x =-+}10a -=,

,B A ?a 求的范围。

12. 已知集合{}{}|1<4,|<,A x x B x x a A B ≠

=≤=?若,求实数a 的取值集合.

13.若集合A={x ｜-2≤x ≤5}，B={x ｜m+1≤x ≤2m-1}，且B ?A ，求由m 的可取值组成的集合。