2 数学-扬州中学2015届高三上学期质量检测(12月) 数学(文)

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测

高 三 数 学 [文] 2014.12

一、

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=?B A _________.

2.函数)4

2cos(2)(π

+-=x x f 的最小正周期为_________.

3.复数1z i =+，且

)(1R a z

ai

∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 4.已知双曲线

)0(13

2

2>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.

6.“N M >”是“N M 2

2

l o g

l o g

>”

成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 7.已知函数tan(

)42

y x π

π

=-的部分图象如图所示，则

()OA OB AB +?=

8.已知,m n 为直线，,αβ为平面，给出下列命题：

①||m n m n αα⊥???⊥? ； ②||m m n n ββ⊥???⊥? ； ③||m m α

αββ⊥???⊥?

④||||m n m n αβαβ???????? ； ⑤,m n n m n αβαββα⊥??

=?⊥???⊥?

11. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______.

12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方。若点P 到坐标原点O

的距离为F,O,P 三点的圆的方程是 13.若函数

()s i n c f x x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数

2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值是

14.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为

32

的等比数列.记),(1

2*N n a a b n n n ∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*

N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.

二． 解答题：本大题共6小题，共计90分 15.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

16.（本小题满分14分）

已知函数,)(x f ?=其中向量),cos 3,cos (sin x x x ωωω+=

),sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=,0>ω若)(x f 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

.π

（1）求ω的取值范围；

（2）在ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,3=a 当ω最大时，,1)(=A f 求

ABC ?的面积最大值.

17.（本小题满分14分）

水库的储水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：

21

(1551)50,09()240

4(9)(341)50,912t t t e t v t t t t ?-+-+<≤?

=??--+<≤?

（1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期。以1i t i -<≤表示第i 个月份（i =1，2，...

，

12），问：一年内哪几个月份是枯水期？

（2）求一年内该水库的最大储水量（取3

20e =计算）

18.（本小题满分16分）

如图，F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率

为

1

2

。已知点C 在x 轴上，且,,,BC BF B C F ⊥三点确定的圆M 恰好与直

线1:30l x +=相切。

（1） 求椭圆的方程；

（2） 若过点A 的直线2l 与圆M 交于P,Q 两点， 且2MP MQ ?=-，求直线2l 的方程。

19. （本小题满分16分）

已知数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*

n N ∈，2

12n n n a a a k ++=+（k 为常数）

。 （1） 若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列； （2） 若0k =，且245,,a a a 成等差数列，求

2

1

a a 的值； （3） 已知12,a a a

b ==（,a b 为常数），是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意

*n N ∈都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分16分） 设函数2

1()ln ().2

a f x x ax x a R -=

+-∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.

（3）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有

212(1)

ln 2()()2

a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.

命题、校对、审核：徐所扣、张茹

高三数学质量检测（文科）参考答案 2014.12

1. R

2. π

3. 1

4. 12

5. 1

6.必要不充分

7. 6

8. ②③⑤

9. [-3,3] 10. 0 11. 24±

12. 2

2

1725

()(y )2

2

2

x -+-=

13. 1 14. 2.a >

15.

).

12222T =?

由余弦定理得,2

232

22bc bc c b a ≥?-+==即.1≤bc

∴.4

323121sin 21=??≤=

?A bc S ABC 17.（1）枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月；

（2）一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米。

18.（1）椭圆方程22143x y +=；（2）2)4

y x =±+ 19.（1）221()k a a =-时，当n=1时，得()2

2

21321a a a a a =+-，

又因为10a >，得2132a a a a -=- 故123,,a a a 成等差数列

（2）112

q q +==或 （3）存在，22a b k ab λ+-=

20. （1）函数的定义域为(0,)+∞.当1a =时，'

11()ln ,()1,x f x x x f x x x

-=-=-

=当01x << 时，'()0;f x <)(x f 单调递减；当1x >时，'()0.f x >)(x f 单调递增

()=(1)1f x f ∴=极小值，

无极大值.

（2）'

1()(1)f x a x a x =-+- 2(1)1a x ax x -+-= 1

(1)()(1)1a x x a x

----=

当

111a =-，即2a =时，2'

(1)()0,x f x x

-=-≤ ()f x 在定义域上是减函数； 当1011a <<-，即2a >时，令'()0,f x <得101x a <<-或1;x >令'

()0,f x >得1 1.1x a <<-当111a >-，即12a <<时，令'()0,f x <得01x <<或1;1

x a >-令'()0,f x >得11.1x a <<

-

综上，当2a =时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当2a >时，()f x 在1

(0,

)1

a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1a -上单调递增；当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1

a +∞-单调递减，

在1

(1,

)1

a -上单调递增； （3）由（Ⅱ）知，当(3,4)a ∈时，()f x 在[1,2]上单减，(1)f 是最大值，(2)f 是最小值.

123()()(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+ ∴2(1)l n 22

a m -+>3

l n 222a -+,而

0a >经整理得231a m a ->-，由34a <<得2

310115a a -<<-，所以1

.15

m ≥