重点高中数学双曲线抛物线知识点总结

重点高中数学双曲线抛物线知识点总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

双曲线

平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<

)的点的轨迹。

方程 22

22

1(0,0)x y a b a b -=>> 22

22

1(0,0)y x a b a b -=>> 简图

范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或

顶点 (,0)a ± (0,)a ±

焦点 (,0)c ± (0,)c ±

渐近线 b y x a

=± a y x b

=± 离心率 (1)c

e e a =

> (1)c

e e a

=

> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称

准线方程 2

a x c =±

2

a y c

=±

a 、

b 、

c 的关

系 222c a b =+

考点

题型一 求双曲线的标准方程

1、给出渐近线方程n

y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线

22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22

22(0)x y a b

λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12，离心率为

54

； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；

（3） 与双曲线

22

1916

x y -=有公共渐进线，且经过点()

3,23A -。 _x

_ O

_y

_x

_ O

_y

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22

221y x a b

-=(0,0)a b >>。

由题意知，2b=12，c e a ==54

。 ∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或22

16436

y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12），

∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。

又2c=26，∴c=13。∴2

2

2

144b c a =-=。

∴标准方程为

22

114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22

22x y a b

λ

-=

()

3,23A -Q 在双曲线上 ∴()

2

2

233

1916

-= 得1

4

λ=

所以双曲线方程为22

4194

x y -= 题型二 双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a

=

和222

c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且

点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4

5

c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为

1x y

a b

-=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12

2

(1)b a d a b

-=

+，

同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22

2

(1)b a d a b

+=

+，

1222

22ab ab

s d d c

a b =+=

=

+。 由s ≥

45c ，得

2ab c ≥4

5

c ，即22252a c a c -≥。 于是得22512e e -≥，即4

2

425250e e -+≤。 解不等式，得

25

54

e ≤≤。由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是552e ≤≤。 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22

221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使

1290F AF ∠=o ，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

解：∵1290F AF ∠=o

∴22

212

4AF AF c +=

又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，

∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴2

2

222

2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，

∴

101042c a ==即10

2

e =。 题型三 直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程

组，即222222

0Ax By C b x a y a b

++=??-=?，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

221212

1

11l k x x y y k =+?-=+

?- 【例4】如图，已知两定点12(2,0),(2,0)F F -，满足条件212PF PF

-=u u u u r u u u r

的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点，如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，

使OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r

，求

（1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；

y A C

（3）m 的值和△ABC 的面积S 。 解：由双曲线的定义可知，

曲线E 是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的双曲线的左支， 且2c =

，a=1，易知221b c a =-=。

故直线E 的方程为2

2

1(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),

由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1

???消去y ，得22

(1)220k x kx -+-=。

又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有

222

122122

10,(2)8(1)0,20,

12

0.1k k k k x x k x x k ?-≠?=+->??

-?+=<-?

?-=>?-?

V 解得21k -<<-。 又∵ 2

2

2

12121211()4AB k x x k x x x x =+?-=+?+-

222

2222

22(1)(2)

1()4211(1)

k k k k k k k --+-=+?-?=--- 依题意得2222

(1)(2)

263(1)

k k k +-=-，整理后得422855250k k -+=， ∴2

57k =

或2

54

k =。 但21k -<<-，

∴5

2

k =-

。 故直线AB 的方程为

5

102

x y ++=。 （3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r

，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，

∴1212

(,)(

,)(0)c c x x y y x y m m m

++=≠。 又1222451

k

x x k +==--，212122

222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，

∴点458

(

,)C m m

-。 将点C 的坐标代入曲线E 的方程，的

2

28064

1m m

-=， 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。 ∴4m =，C 点的坐标为(5,2)-，

C 到AB 的距离为

225

(5)2121

3

5(

)12?-++=+， ∴△ABC 的面积11

63323

S =??=。

一、抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。 （一） 知识归纳 方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

图形

x

y

O

F

l

x

y

O F

l

顶点 （0，0） 对称轴 x 轴

y 轴

焦点 (,0)2

p F (,0)2p F -

(0,)2p F

(0,)2

p F -

离心率 e=1

准线

:2

p l x =-

:2

p l x =

:2

p l y =-

:2

p l y =

（二）典例讲解

题型一 抛物线的定义及其标准方程

方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2

y mx =或2

(0)x my m =≠。

x

y

O F

l

x

y

O

F

l

【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。

（1）抛物线的焦点是双曲线2

2

169144x y -=的左顶点；

（2）经过点A （2，－3）；

（3）焦点在直线x-2y-4=0上；

（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.

解：（1）双曲线方程可化为

22

1916

x y -=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为2

2(0)y px p =->且32

p

-=-， ∴p=6.

∴方程为2

12y x =-

（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y 2＝2px 或x 2＝－2py ．

点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝

2

9 点A （2，－3）坐标代入x 2

＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝3

4 ∴所求抛物线的标准方程是y 2

＝

29x 或x 2＝－3

4y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2

y mx =或2

x ny =，

代入A 点坐标求得m=

29，n=-3

4， ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2

＝－3

4y

（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。 ∴焦点为（0，-2），（4，0）。 ∴抛物线方程为2

8x y =-或2

16y x =。

（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为2

2(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物 线定义得p

52

AF m ==+

， 又2

(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±，

故所求抛物线方程为2

2y x =±或2

18y x =±。 题型二 抛物线的几何性质

方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线2

2(0)y px p =>上一点，则02

p PF x =+

。 2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。

【例6】设P 是抛物线2

4y x =上的一个动点。

（1） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。

解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。 ∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，

∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。

显然P 是AF 的连线与抛物线的交点，

最小值为5AF =

（2）同理PF 与P 点到准线的距离相等，如图： 过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。 ∵11

PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。 ∴PB PF +的最小值是4。

题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题

方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。

【例7】已知抛物线y ＝x 2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。

分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y 1＋y 2的最小值，从形式上看变量较

多，结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。

解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)

由抛物线方程y ＝x 2知焦点1

F(0,

)4

,准线方程1

4

y =-，设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、

|BC 1|、|MN|，则|AD 1|＋|BC 1|＝2|MN|，且

1

MN =2(y+)4

，根据抛物线的定义，有|AD 1|＝|AF|、

y

x

A

O

P F

|BC 1|＝|BF|,∴1

2(y+

)4

＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2， ∴1

2(y+

)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34

。

分析二：要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一变量的函数，然后求

此函数的最小值。

解法二：设抛物线y ＝x 2上点A(a,a 2),B(b,b 2

)，AB 的中点为M(x ，y)，则

2

,222b a y b a x +=+=

∵|AB|＝2，∴(a ―b)2

＋(a 2

―b 2

)＝4，则(a ＋b)2

－4ab ＋(a 2

＋b 2)2

－4a 2b 2

＝4

则2x ＝a ＋b,2y ＝a 2＋b 2,得ab ＝2x 2－y,∴4x 2―4(2x 2―y)＋4y 2―4(2x 2

―y)＝4 整理得1

4122

++

=x x y

43411414124

1141)14(4122=-=-≥-+++=

∴x x y 即点M 纵坐标的最小值为3/4。

练习： 1、以y =±

3

2

x 为渐近线的双曲线的方程是（ ） Ａ、3y 2

―2x 2

=6 Ｂ、9y 2

―8x 2

=1 C 、3y 2

―2x 2

=1 D 、9y 2

―4x 2

=36 【答案D 】解析：A 的渐近线为2y=3x ±

，B 的渐近线为22y=3x ± C 的渐近线为2

y=3

x ±

，只有D 的渐近线符合题意。 2、若双曲线2

2

1x y -=的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离为2，则a+b 的值为

（ ）