2017年高考理科数学北京卷及答案解析

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北京市2017年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1.若集合

–21{|}A x x =<<,–1{|}3B x x x =<>或,则A B =

( )

A .–2|}1{–x x <<

B .3|}–2{x x <<

C .1|}–1{x x <<

D .3|}1{x x <<

2.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )

A .(–∞,1)

B .(–∞,–1)

C .(1,+∞)

D .(–1,+∞)

3.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为

A .2

B .

C .

D .

4.若x ,y 满足 则x + 2y 的最大值为

( )

A .1

B .3

C .5

D .9

5.已知函数1(x)3()3

x x

f =-,则()f x

( )

A .是奇函数,且在R 上是增函数

B .是偶函数,且在R 上是增函数

C .是奇函数,且在R 上是减函数

C .是偶函数,且在R 上是减函数

6.设,m n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=”是“0m n <”的

( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为

A

.B

.C

.D .2

8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080

.则下列各数中与

M

N

最接近的 ( )

(参考数据：30.48lg ≈) A .1033 B .1053 C .1073

D .1093

3

2

53

85

32x x y y x ≤??

+≥??≤?

，，

，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------效----------------

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第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

9.若双曲线2

21y

x m

-

=

则实数m = . 10.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==,448a b ==,则

2

2

a b = . 11.在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0),则

|AP |的最小值为 .

12.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.

若1

sin 3

α=

,则cos()αβ-= . 13.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c ＞＞,则a b c +＞”是假命题的一组整数的

值,,a b c 依次为 .

14.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,1,2,3i =.

①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是 . ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则123,,p p p 中最大的是 .

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分) 在△ABC 中,60A =?∠,37

c a =. (1)求sin C 的值；

(2)若7a =,求△ABC 的面积.

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16.(本小题14分)

如图,在四棱锥P?ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD ∥平面MAC

,PA PD ==4AB =. (1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B ?PD ?A 的大小；

(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.

17.(本小题13分)

为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；

(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ； (3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)

-------------在

--------------------此--------------------卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效

----------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

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18.(本小题14分)

已知抛物线2

2C y px =：过点1(1)P ,.过点(10,)2

作直线l 与抛物线C 交于不同的两点

M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.

(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.

19.(本小题13分)

已知函数()cos x

f x e x x =-.

(1)求曲线(x)y f =在点(0,(0))f 处的切线方程；

(2)求函数()f x 在区间[0,]2

π

上的最大值和最小值.

20.(本小题13分)

设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记{}

1122max ,,,n n n c b a n b a n b a n =---(n 1,2,3)=,其中{}12max ,,,n x x x 表示12,,

,s x x x 这s 个数中最大的数.

(1)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列； (2)证明：或者对任意正数,存在正整数m ,当n m ≥时,n

c M n

>；或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++是等差数列.

M

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学答案解析

第一部分

一、选择题 1．【答案】A

【解析】由集合交集的定义可得{}=|21A B x x -<<-，故选A .

【考点】集合的交运算 2．【答案】B

【解析】因为(1i)(i)1(1)i z a a a =-+=++-，所以它在复平面内对应的点为

(1,1)a a +-，又此点在第二象限，所以1010a a +

->?

，

，解得1a <-，故选B ． 【考点】复数的乘法及几何意义 3．【答案】C

【解析】运行该程序，0,1,3;k s k ==<

11

011,2,3;1

k s k +=+==

=< 213

112,,3;22k s k +=+===<

31

5

2123,,3332k s k +=+====.

输出的s 值为5

3.故选C ．

【考点】程序框图 4．【答案】D

【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点

(1,1),33,31A B C -（，）（，）为顶点的三角形及其内部.

当直线：2z x y =+ 经过点B 时，2x y + 取得最大值，所以max 3239z =+?=，故

选D.

【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值 5．【答案】A

【解析】因为

1

()3

()3

x

x

f x =-，且定义域为R ，所以

1

11()

3

()=()3[3()]

()3

33

x

x

x x x

x f x f x --

-=--=--=-，即函数()f x 是奇函数.又3x y =在R 上是增函数，1()3x y =在R 上是减函数，所以1

()3()3x x f x =-在R 上

是增函数.故选A.

【考点】函数的奇偶性与单调性 6．【答案】A

【解析】因为m ，n 是非零向量，所以cos ,0m n m n m n =<的充要条件是

cos ,0m n <.因为0λ<，则由m n λ=可知m ，n 的方向相反，,180m n =?，

所以cos ,0m n <，所以“存在负数λ，使得m n λ=”

可推得“0m n < ”；而由“0m n <”，可推得“cos ,0m n <”，但不一定推得“m

，

n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m n λ=”.综上所述，“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件，故选A.

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【考点】充分必要条件与平面向量 7．【答案】B

【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A-BCC 1B 1，

从图中易得最长的棱为1AC ===，故选：B.

【考点】几何体的三视图 8．【答案】D

【解析】因为361

lg3

361lg33610.48173=?≈?≈，所以17310M ≈，则

173

93

80101010

M N ≈=，故选D ． 【考点】指数与对数的运算

第二部分

二．填空题 9．【答案】2

【解析】由双曲线的标准方程可知21a =，2b m =，所以1

a =，c =

，所以

=2m =. 【考点】考查双曲线的标准方程与离心率. 10．【答案】1

【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则4138a d =-+=，

解得3

43;18d b q ==-=，解得2q =-.所以22132,1(2)2a b =-+==-?-=，

所以

2

2

1a b =. 【考点】等差数列与等比数列的通项公式 11．【答案】1

【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为2

2

2440x x y +--+=y ，即

22

121x y -+-=（）（），圆心为（1，2），半径1r =.因为点10P （，

）

到圆心的距离21d ==>，所以点P 在圆外，所以AP 的最小值为

211

d r -=-=. 【考点】圆的极坐标方程，点与圆的位置关系 12．【答案】7

9

-

【解析】解法一 因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，k Z ∈，

所以

2217cos()cos(22)cos 2(12sin )12()39k αβππααα?

?-=+-=-=--=--?=-

???

?.

解法二 因为1

sin =

03

α> ，所以角α 为第一象限角或第二象限角，当角

α为第一象限角时，可取其终边上一点()

，则cos α

= ，又()

关于y

轴

对称的点()

-在角β

的终边上，所以1sin ,cos 33

ββ==-

此时

(

)117

cos cos cos sin sin 33339

αβαβαβ??-=+=-+?=- ? ??? .当角α

为第二象限时，可取其终边上一点()-，

则cos α=

，因为()

-关于

y 轴对称的点()

在角β

的终边上，所以1sin ,cos 3ββ== ，

此时(

)117

cos cos cos sin sin 33339αβαβαβ?-=+=-?+?=- ?

? .综上可得，()7

cos 9

αβ-=- .

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【考点】三角函数的概念、两角差的三角函数公式 13．【答案】1,2,3---（答案不唯一）

【解析】因为“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否

定“设存在实数,,a b c .若a b c >>，则a b c +≤”是真命题.由于a b c >>，所以

2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <.因此,,a b c 依次可取整数1,2,3---，满足a b c +≤.

【考点】全称命题的真假与不等式的性质 14．【答案】1Q

2P

【解析】①i Q 为i A 与i B 的纵坐标之和，123i =，，，作图可得11A B 中点的纵坐标比

2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以123Q Q Q ,,中最大的是1Q .

②(1,2,3)i

i i i i A B p i A B +==+的纵坐标的纵坐标

的横坐标的横坐标

,分别作123,,B B B 关于原点的对称点123',','B B B ，比较直线'''112233,,A B A B A B 的斜率，可得直线'

22A B 的斜率最大，所以

123,,p p p 中最大的是2p .

【考点】散点图 三、解答题

15.【答案】（1）在△ABC 中，因为∠A=60°，3

7

c a =

，所以由正弦定理

得sin 3sinC 7214

c A a =

=?=. （2）因为7a =，所以3

737

c =?=.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221

73232

b b =+-??

，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC

的面积11sinA 8322S bc =

=??=【考点】正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式 16.【答案】（1）如图，设AC ，BD 的交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB=ME ，所以PD ∥ME .

因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点.所以M 为PB 的中点.

（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为P A=PD ，所以OP ⊥AD .

又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ?平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD. 因为OE ?平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .

如图建立空间直角坐标系O-xyz

，则00P （，200D （，，），240B -（，，），

4 4.0,BD PD =-=（，）.

设平面BDP 的法向量为(,,)n x y z =，则

0,

0,n BD n PD ?=??

=??

即440,20.

x y x -=???=?? 令1x =

，则1,y z ==

于是n =.

平面P AD 的法向量为(0,1,0)p =.

所以1

cos ,2

n p n p n p ?=

=. 由题知二面角B-PD-A 为锐角，所以它的大小为3

π. （3

）由题意知(1,2,

(2,4,0),(3,2,22

M C MC -=-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则2

sin cos ,=

n MC n MC n MC

α==

.

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所以直线MC 与平面BDP

所成角的正弦值为9

.

【考点】空间中直线、平面的位置关系以及二面角、线面角

17.【答案】（1）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以

从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为

15

0.350

=. （2）由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.

21122222222444121

(0),(1),(2)636

C C C C P P P C C C ξξξ=========.

所以ξ的分布列为

故ξ的期望121()0121636

E ξ=?

+?+?=. （3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【考点】散点图，随机事件的概率，随机变量的分布列、数学期望 18.【答案】（1）由抛物线2

:2C y px =过点11P （，），得1

2

p =. 所以抛物线C 的方程为2

y x =.

抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为1

4

x =-.

（2）由题意，设直线l 的方程为1

(0)2

y k x k =+≠，l 与抛物线C 的交点为

1122(,),(,)M x y N x y .

由21,2y kx y x ?=+???=?

得224(44)10k x k x +-+=. 则121222

11

,4k x x x x k k -+==.

因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为12(,)x x .

直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112

(x ,)y x

x . 因为

21122112

1122

22y x y x y x x x y x x x +-+

-= 122112

212212222

11

(k )()2221

(22)()

211(2k 2)420,

x x kx x x x x k x x x x x k k k x +++-=

-++=

--?+==

所以21

112

2y x y x x +

=. 故A 为线段BM 的中点。

【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系

19.【答案】（1）因为()cos x

f x e x x =-，所以'()(cos sin )1x

f x e x x =--，'(0)0f =. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （

2

）

设

()(x

h x e x x

=

--

，则

'()(cos sin sin cos )2sin x x h x e x x x x e x =---=-.

当(0,)2

x ∈π

时，'()0h x <，

所以()h x 在区间0,2??

????π上单调递减.

所以对任意(0,]2

x ∈π

有()()00h x h <= ，即()0f x '< .

所以函数()f x 在区间0,2??

????

π上单调递减.

因此()f x 在区间0,2??

????

π上的最大值为(0)1f =，最小值为()22f =-ππ.

【考点】函数、导数的几何意义以及导数在求解最值中的应用

数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）

20.

【

答

案

】

（

1

）

{}{}{}111211223112233110,

max 2,2max 121,3221,

max 3,3,b 3max{131,332,533} 2.

c b a c b a b a c b a b a a =-=-==--=-?-?=-=---=-?-?-?=- 当3n ≥时，

1111()()()()20,k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<

所以k k b na -关于k ∈+N 单调递减.

所以{}112211max ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n n =--???-=-=-. 所以对任意1,1n n c n =-≥，于是11n n c c +-=-, 所以n c 是等差数列.

（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则

[]12111121(1)(1)()(1).

k k b na b k d a k d n

b a n d nd k -=+--+-=-+--

所以1121211121(1)(),,,.

n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->?=?

-≤?当时当时

①当10d >时， 取正整数2

1

d m d >

,则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,c ,,

m m m c c ++是等差数列.

②当10d =时，对任意1n ≥，

{}{}1121121(n 1)max ,0(n 1)(max ,0a ).n c b a n d b a d =-+-=-+--

此时，123,,,,,

n c c c c 是等差数列.

③当10d <时， 当2

1

d n d >

时，有12nd d <. 所以112112

1112111212(1)(d nd )(d )d (d )d .

n c b a n n n n

b d n a d n

n a d b d -+--=-=-+-++-+-+--≥

对任意正数M ，取正整数12112211max ,M b d a d d d m d d ?+-+--?

>??-?

?,

故当n m ≥时，

n

c M n

>. 【考点】新定义数列、等差数列的定义及通项公式、不等式 及