2021新高考版数学一轮习题：专题3+阶段滚动检测(二)Word版含解析

专题3 阶段滚动检测（二）

一、单项选择题

1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．[－2,3] B ．[－2,0] C ．[0,3]

D ．[－3,3]

2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≥－1 D ．a ≤－3

3．(2020·重庆模拟)命题p ：?x 0>0，x 0＋1

x 0＝2，则綈p 为( )

A ．?x >0，x ＋1

x ＝2

B ．?x >0，x ＋1

x ≠2

C ．?x ≤0，x ＋1

x

＝2

D ．?x ≤0，x ＋1

x

≠2

4．已知函数f (x )＝?????

log 3

(x ＋m )－1，x ≥0，12 019，x <0的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于( )

A ．2 019 B.1

2 019

C ．2

D ．1

5．若函数f (x )＝1

3x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．6

D ．－6

6．三个数a ＝0.312，b ＝log 20.31，c ＝20.31之间的大小关系为( ) A ．a

D ．b

7．(2019·湖南师大附中博才实验中学月考)函数f (x )＝e x ＋1

x (1－e x )

(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )

8．函数f (x )＝2e x －a (x －1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.????e 4，1 B ．(1,2e] C.????0，e 3

2 D.????－∞，e 3

2 二、多项选择题

9．已知a >b >0，c >1，则下列各式不成立的是( ) A ．sin a >sin b B ．c a >c b C ．a c

D.c －1b

10．下列命题为假命题的是( ) A ．“A ∩B ＝A ”的充要条件是“A ?B ”

B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分不必要条件

C ．若椭圆x 216＋y 2

25

＝1的两个焦点为F 1，F 2，且弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为16

D ．“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x

1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充要条件

11．在下列函数中，其中最小值为2的函数的是( ) A ．y ＝????x ＋1x B ．y ＝

x 2＋2x 2＋1

C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)

D ．y ＝tan x ＋1tan x ，0

2

12．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2<0”成立的是( )

A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1

B ．f (x )＝x －1

x

C ．f (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝12

log (2)x ＋1

三、填空题

13．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，5]上为减函数，则实数a 的取值范围为________；当a ＝2时，函数f (x )在[－3,2]上的值域为________．

14．在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈????－π2，π

2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________． 15．设函数f (x )＝e x －1

e

x －2x ，若f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围为________．

16．对一定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对任意正实数ξ，?x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立，则称函数y ＝f (x )为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝????12x

＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝

x －1

x

.其中为“敛1函数”的有________．(填序号) 四、解答题

17．设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x >1}． (1)求A ∪B ；

(2)若集合{x |a

18．计算：

(1)(3－1)0＋(3－π)2＋

1

3

1

8

-

??

?

??

；

(2)2lg 5＋lg 2

5＋2

log3

2.

19．(2019·天津调研)设函数f (x)＝lg

a

x＋1

(a∈R)，且f (1)＝0.

(1)求a的值；

(2)求f (x)的定义域；

(3)判断f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．

20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x %，则用户人数会增加x

8万人．

(1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x 的取值范围；

(2)为了布局“5G 网络”，该公司拟定投入资金进行5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x 的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)

21．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－4

3.

(1)求函数f (x )的单调递增区间；

(2)若13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋10

3对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．

22．(2019·北京四中期中)已知函数f (x )＝ln x ＋1

x .

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)设函数g (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，证明：当x >0且x ≠1时，x －1与g (x )同号．

答案精析

1．A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8．C 9.ACD 10.CD

11．ABD [对于A ，y ＝????x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1

|x |

＝2，当且仅当x ＝±1时取等号，正确； 对于B ，y ＝

x 2＋2

x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1

≥2，当且仅当x ＝0时取等号，正确；

对于C ，当x ∈(0,1)时，log x 2<0，log 2x <0，得y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)的最小值不可能为2，错误； 对于D ，x ∈????0，π2，所以tan x ∈(0，＋∞)，令tan x ＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，所以y ＝t ＋1

t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，正确．]

12．AD [根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2<0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减

函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x ，其导数f ′(x )＝1＋1

x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递

增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝12

log (2)x ＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．]

13．(－∞，－4] [1,10] 14.x －y －1＝0 15.???

?－3

2，1 解析 根据题意，函数f (x )＝e x －1

e x －2x ，

其导数f ′(x )＝e x ＋1

e x －2，

f ′(x )＝e x ＋1

e x －2≥0恒成立，

则函数f (x )在R 上为增函数， 又因为f (－x )＝e －

x －e x ＋2x ＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数，原式等价于f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f (－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤0， (2a ＋3)(a －1)≤0，－3

2≤a ≤1.

16．②③④

解析 由新定义知，对任意正实数ξ，?x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立，

即0<|f (x )－c |<ξ有解．对于函数①解得，

1－ξ－log 2ξ且x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－

ξ

ξ，且x ≠2，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，|x |>1

ξ

，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④.

17．解 (1)由?

????

6＋x ≥0，

2－x >0得，－6≤x <2，

由2x >1得，x >0，∴A ＝[－6,2)， B ＝(0，＋∞)， ∴A ∪B ＝[－6，＋∞)． (2)A ∩B ＝(0,2)，

∵集合{x |a

∴?

???

?

a ≥0，a ＋1≤2，解得0≤a ≤1， ∴a 的取值范围是[0,1]．

18．解 (1)原式＝1＋|3－π|＋2＝1＋π－3＋2＝π. (2)原式＝lg 25＋lg 25＋3

＝lg ????25×25＋3＝4.

19．解 (1)根据题意，函数f (x )＝lg

a

x ＋1

(a ∈R )，且f (1)＝0， 则f (1)＝lg a 2＝0，则a

2＝1，解得a ＝2.

(2)根据题意，f (x )＝lg

2

x ＋1

， 必有2x ＋1

>0，解得x >－1，

即函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． (3)根据题意，f (x )＝lg 2

x ＋1

在(0，＋∞)上的单调递减， 证明：设0

＝lg

x 2＋1

x 1＋1

＝lg(x 2＋1)－lg(x 1＋1)， 又由0lg(x 1＋1)，

即f (x 1)－f (x 2)>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．

20．解 (1)根据题意，设该公司的总收入为W 万元， 则W ＝50????10＋x 8????1－x

100，0

100≥10×50， 解得0

(2)设该公司盈利为y 万元，

则y ＝50????10＋x 8????1－x 100－2????10＋x 8＝－x

2

16

＋x ＋480,0

由f (2)＝－43得b ＝4，则f (x )＝1

3x 3－4x ＋4，

令f ′(x )＝x 2－4>0得x >2或x <－2，

∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)由f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－4

3，f (3)＝1，

所以f (x )在[－4,3]上的最大值为28

3

，

要使13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋10

3对x ∈[－4,3]恒成立，

只要f (x )max ≤m 2＋m ＋10

3就可以了，

即

283≤m 2＋m ＋103

， 解得m ≥2或m ≤－3，

所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 22．(1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，

令f ′(x )＝0，得x ＝1，

当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表，

所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)证明 函数g (x )的定义域是(0，＋∞)， 又g ′(x )＝ln x ＋x ＋1x －1＝ln x ＋1

x ＝f (x )，

由(1)可知，f (x )min ＝f (1)＝1， 所以当x >0时，g ′(x )>0，

所以g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 因为g (1)＝0，所以当x >1时， g (x )>g (1)＝0且x －1>0； 当0

所以当x >0且x ≠1时，x －1与g (x )同号．