(完整版)高中数学双曲线课后习题(带答案)
双曲线课后习题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．双曲线
D ．两条射线
2．方程11122=-++k
y
k x 表示双曲线，则k 的取值范围是
（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 3． 双曲线14122 2 22=--+m y m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关 4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可 （ ） A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ． 2 3 B ．3 C ． 3 4 D ． 3 6．焦点为()6,0，且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112 242 2=-y x 7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122 22=-b y a x 有 （ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ． 相同的焦点 8．过双曲线19 162 2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ?（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 9．已知双曲线方程为14 2 2=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 条数共有 （ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2 =3; ③1222=+y x ④12 22=-y x ，其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 11．双曲线17 92 2=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________． 12．与椭圆125 162 2=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为 ____________． 13．直线1+=x y 与双曲线13 22 2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________． 4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14 22 =-y x 的弦所在直线方程为 ． 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线 的离心率．（12分） 16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证： 2 1PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分） 17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2 的最小值为－1 3 . （1）求动点P 的轨迹方程； （2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分） 18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线122 2 =-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.（12分） 19．设双曲线C1的方程为)0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x ，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q. （1）求Q点的轨迹方程; （2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2 的离心率分别为e1、e2，当2 1 ≥ e时，e2的取值范围（14分） 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） ① ② 11．4 7 12．14522=-x y 13．64 14．0543=-+y x 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-2 2169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ 双曲线方程化为：254816169116 92 22=?=+?=-λλλλλy x ， ∴双曲线方程为：1251442525622 =-y x ∴455 164==e ． 16．（12分）[解析]：易知2,2,== =e a c a b ，准线方程：2 a x ±=，设()y x P ,， 则 ) 2(21a x PF + = ， ) 2 (22a x PF - = ， 2 2y x PO +=， 222 2 212)2 (2a x a x PF PF -=- =?∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+= 21PF PO PF 、、∴成等比数列. 17．（12分） [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4 |PF 1||PF 2| － 1 ∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2 )2 ＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2 －1＝－1 3 ，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b ∴P 点的轨迹方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由，?????+==+m kx y y x 13 22 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝ x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2 ，m 1＋3k 2 ) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上， ∴k l k AB ＝k ·m 1＋3k 2＋1－ 3km 1＋3k 2 ＝－1 ，解得m ＝1＋3k 2 2 …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0， 即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得 12[1＋3k 2 －(1＋3k 22 )2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). 18．（12分）[解析]：联立方程组 ???=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2－1)x 2+4kb x +（2b 2+1）=0, 当时，即22k ,0212±==-k 若b=0，则k φ∈；若b b x 22120b 2+±=?≠，不合题意. 当时，即2 2k ,0212± ≠≠-k 依题意有△=(4kb)2－4(2k 2－1)(2b 2+1)＞0，12222+ 222<<- k . 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y ) ?????? ?-=-?--=+?+∴⊥⊥-)2(1) 1(1,),0,(),0,(0000 K K K K Θa x y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A )3(1: )2()1(2 2 22 2 2 00K K =-? -?a x y a x y 得由 2 22222 22 20 000,1a b a x y b y a x = -∴ =- Θ 4222242222,)3(a y b x a a a x y b =--=即得代入 经检验点)0,(),0,(a a -不合,因此Q 点的轨迹方程为:a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）. 解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴ 100-=-?-a x y a x y ……（1）连接PQ ，取PQ 中点R, ) )0,(),0,((,:0,,.1) (,1)3)(2() 3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|2 1 |||,|21||,,4222242222222 22222222022022 0022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA -=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴∴=∴== ∴⊥⊥ΘK K K K Θ 1 1111 ,1)1(:)2(2222 22224 22 2 422 22-+ =-+=+=+ = =-e a c a b a a b a a e b a y a x C 的方程为 得由解 21 ,21 )2(11 ,22 2 21≤<∴=-+ ≤∴≥e e e Θ Q