用向量方法证明平行与垂直随堂练习(含答案)
用向量方法证明平行与垂直
基础巩固强化
1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面CC 1D 1D 的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →
，则x ＋y ＋z 的值为( )
A ．1 B.32 C ．2 D.3
4 [答案] C
[解析] ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AA 1→＋12AB →
. ∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋1
2＝2.
2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( )
A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)
B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1)
C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)
D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3，－1) [答案] B
[解析] 欲使l ∥α，应有n ⊥a ，∴n ·a ＝0，故选B.
3．二面角α－l －β等于60°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长等于( )
A.3a
B.5a C ．2a D ．a
[答案] C
[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于60°，
∴AC →与BD →
夹角为60°
.
由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝a ，|BD →
|＝2a ， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2
＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝4a 2
，∴|CD →
|＝2a .
4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(4,5，x )，若a 、b 、c 三向量共面，则|c |＝( )
A ．5
B ．6 C.66 D.41
[答案] C
[解析] ∵a 、b 、c 三向量共面， ∴存在实数λ、μ，使c ＝λa ＋μb ，
∴(4，－5，x )＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)， ∴????
?
2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x .
∴x ＝5，
∴|c |＝42＋52＋52＝66.
5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、
F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →
的值为( )
A ．a 2
B.12a 2
C.1
4a 2 D.34a 2
[答案] C
[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →
＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)
＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.
6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →
|2的值为( )
A.32 B ．2 C.10－24 D.94
[答案] D
[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ， ∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2
＝|12BA →－12BC →＋BD →|2
＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°
－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝9
4. 7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →
＝0,2AB → 2＋BD →
2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．
[答案] 4
3π
[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A －BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4?AB →2＋BD →2＋CD →2
＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝4
3π.
8．(2011·金华模拟)已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB
上一点且|AC →||AB →|
＝1
3，则点C 的坐标为________．
[答案] (103，－1，7
3)
[解析] ∵C 为线段AB 上一点， ∴存在实数λ>0，使AC →＝λAB →
，
又AB →＝(－2，－6，－2)，∴AC →
＝(－2λ，－6λ，－2λ)， ∵|AC →
||AB →|＝13，∴λ＝13，∴AC →＝(－23，－2，－2
3)， ∴C (103，－1，73)．
9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
[答案] 1
[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，
设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，
∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →
＝(k －1,0,1)，
∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.
10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.
(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；
(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ， ∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°. ∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°， 易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD . 又∵P A ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，
∴CD ⊥平面P AC ，又CD ?平面PCD ， ∴平面P AC ⊥平面PCD .
(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，
设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →
＝(0,2，－1)． ∵PE →∥PD →
，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0① ∵AD →
＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →
＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB . ∴CE →⊥AD →.
∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1. 将y ＝1代入①，得z ＝1
2.∴E 是PD 的中点， ∴存在E 点使CE ∥平面P AB ，此时E 为PD 的中点.
能力拓展提升
11.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
[答案] C
[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →
＝0， CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.
∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2
＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62
＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉
＝116＋96cos 〈CA →，BD →
〉＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－1
2，
∴〈CA →，BD →
〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．
求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，
则B (1,0,0)，O 1(12，1
2，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．
(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0， ∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，
∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →
⊥平面ACD 1， ∴B 1D ⊥平面ACD 1.
(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→， ∴BO 1→
∥平面ACD 1.
又BO 1?平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.
[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→
(其中O 为AC 中点)证明．
13．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正
方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．
(1)求证：EF ⊥CD ；
(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．
[解析]
(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴AD 、DC 、PD 两两垂直，如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a
2，0)、P (0,0，a )、F (a 2，a 2，a 2).EF →＝(－a 2，0，a
2)，DC →＝(0，a,0)．
∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)设G (x,0，z )，则FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)， 若使GF ⊥平面PCB ，则
由FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，得
z ＝0.
∴G 点坐标为(a
2，0,0)，即G 点为AD 的中点．
14．(2011·海口调研)在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．
(1)求证：BE ⊥平面P AD ； (2)求证：EF ∥平面P AB ；
(3)求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值． [解析] 解法一：(1)∵E 是AD 中点，连接PE ， ∴AB ＝2，AE ＝1.
BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAD ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.
∴AE 2＋BE 2＝1＋3＝4＝AB 2，∴BE ⊥AE . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∴BE ⊥平面P AD .
(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ， ∵AE 綊1
2BC ，又∵HF 是△PBC 的中位线， ∴HF 綊1
2BC ，∴AE 綊HF ，
∴四边形AHFE 是平行四边形，∴EF ∥AH ， 又EF ?平面P AB ，AH ?平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .
(3)由(1)知，BC ⊥BE ，PE ⊥BC ， 又PE ，BE 是平面PBE 内两相交直线， ∴BC ⊥平面PBE ，
又由(2)知，HF ∥BC ，∴HF ⊥平面PBE ， ∴∠FEH 是直线EF 与平面PBE 所成的角， 易知BE ＝PE ＝3，在Rt △PEB 中，EH ＝6
2， ∴tan ∠FEH ＝
162
＝63，∴cos ∠FEH ＝155. 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为15
5.
解法二：容易证明EP ，EA ，EB 两两垂直，建立空间直角坐标系E －xyz 如图．
易求BE ＝PE ＝3，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，
B (0，3，0)，
C (－2，3，0)，
D (－1,0,0)，P (0,0，3)， 因为F 是PC 的中点，则F (－1，32，3
2)． (1)∵EB →·EA →＝0·1＋3·0＝0·0＝0， ∴EB →⊥EA →
，即EB ⊥EA ， ∵EB →·EP →＝0·0＋3·0＋0·3＝0， ∴EB →⊥EP →
，即EB ⊥EP ，
∵EA ，EP 是平面P AD 内的两相交直线， ∴EB ⊥平面P AD .
(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，则H (0，32，3
2)，
∵EF →＝(－1，32，32)，
AH →＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)， ∴EF →∥AH →，
∵又EF ?平面P AB ，AH ?平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .
(3)∵y 轴?平面PBE ，z 轴?平面PBE ， ∴平面PBE 的法向量为n ＝(1,0,0)， ∵EF →＝(－1，32，32)，
设直线EF 与平面PBE 所成角为θ， ∴sin θ＝|EF →·n ||EF →||n |＝105，∴cos θ＝15
5，
故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为15
5.
15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．
[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，
AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、
z轴建立直角坐标系O－xyz，如图所示．
设AA ′＝1，则AB ＝BC ＝λ，
于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，
所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ
2，1)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量， 由???
??
m ·A ′M →＝0，
m ·MN →＝0，
得?????
λ2x 1－12z 1＝0，
λ2y 1＋12z 1＝0，
可取m ＝(1，－1，λ)．
设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量． 由???
??
n ·NC →＝0，
n ·MN →＝0，
得?????
－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，
λ2y 2＋12z 2＝0，
可取n ＝(－3，－1，λ)．
因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0.
即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝
2.
1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4.
(1)求证CH ∥平面F A 1B . (2)求证平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .
(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1. [解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．
(1)∵HC →＝(0,23，0)，F A 1→＝(－2，－23，2)，BF →
＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－F A 1→
)，
∵BF →与F A 1→不共线，∴HC →
∥平面F A 1B ， ∵HC ?平面F A 1B ，∴HC ∥平面F A 1B .
(2)平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →
＝(0,23，0)， 设平面F A 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ?????
n ·BF →＝0，n ·F A 1→＝0，
∴????? －2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，
∴?????
z ＝x ，
y ＝0.
令x ＝1得n ＝(1,0,1)，
∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面F A 1B .
(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→
＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，
∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，
∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝1
4BB 1)．
2．如图，已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：
(1)直线AR ∥平面PMC ；
(2)直线MN ⊥直线AB .
[解析] 证法1：(1)连接CM ，∵四边形ABCD 为矩形，CR ＝RD ，BM ＝MA ，∴CM ∥AR ，
又∵AR ?平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .
(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥AB ，AB ⊥平面P AD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，
∴平面PDA ∥平面NRM ， ∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .
证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD 的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a
2，b,0)，∴AR →＝(a 2，b,0)，PM →＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a
2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，???
a 2λ＋a 2μ＝a 2
bμ＝b
－cλ＝0
，
∴?
????
λ＝0
μ＝1，∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ， ∵AR ?平面PMC ，∴AR ∥平面PMC . (2)MN →＝(0，b 2，c 2)，AB →
＝(a,0,0)， ∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .
3．(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.
(1)证明：PC ⊥AD ；
(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；
(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．
[分析] 因为AC ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故以A 为原点建立空间直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 、P 的坐标．(1)运用PC →·AD →＝0证明PC ⊥AD ；(2)先求两平面APC 与平面DPC 的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量BE →与CD →
的夹角，利用向量夹角公式列等式．
[解析] 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (－12，1
2，0)，P (0,0,2)．
《平行与垂直》练习课教学设计
平行与垂直》练习课教学设计 2、通过练习，加深对平行线、垂线性质的认识、培养学生的作图能 力；能够利用垂线的性质解决生活中的数学问题。 学习重点 夯实作图基本技能，并利用所学知识解决问题。 学习难点 运用所学知识解决实际问题。 学习过程 一、回顾旧知 师：同一平面内两条直线有什么位置关系？（出示图片） 生观察图片回答：相交（成锐角、钝角）、相交（成直角）、相 交（延长后） 不相交师：我们本学期主要研究的是：不相交（互相
平行）、相交成 直角（互相垂直） 重点复习平行与垂直的含义、记作、读作 在同一个平面内不相交的两条直线叫平行线, 也可以说这两条 直线互相平行。记作： a // b 读作：a平行于b 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直 线叫做另一条直线的垂线。两条直线的交点叫做垂足。记作：a丄b 读作： a 垂直于b 二、综合练习 1、帮图形找到各自的家。（出示课件） 平行（）相交（） 2、准确填一填。 1）同一平面上的两条直线如果不相交，就（
2）在（）（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。 (3）正方形的对边是互相（）的，相邻的两条边是（）的。 (4)（）点整和（）点整时，时针与分针所在直线互相垂直。 3、轻松判一判。 （1）两条直线永不相交，这两条直线就一定平行。（）（2）两条直线相交，交点是垂足。（） （3）如果两条直线垂直，它们一定是相交的。（） （4）a 直线 a 是平行线。（） （5）在同一平面内，两条直线不相交就一定平行
（6）两条直线相交，这两条直线就互相垂直。（） 4、细心找一找 下面图形中哪两条线段互相平行，哪两条线段互相垂直？ 在下面的字母中找出互相平行或互相垂直的线段 EF H KLNZ 5、认真选一选 （1）相交的两条直线（） A 、垂直 B 、一定不垂直 C 、可能垂直，但一定不平行 2）一条直线的平行线有（）条
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
平行与垂直专题练习
《平行与垂直》专题练习 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点P到直线AB的距离的是( ) A．PD B．PC C．PO D．PE 2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是( ) 3．下列说法中正确的个数是( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 4．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB 与EF的位置关系是( ) A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ) A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个 8．如图，P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm．则点P到直线a的距离( ) A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm
9．在如图所示的长方体中，和棱AB平行的棱共有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条 10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个数是______；两条直线重合，公共点有______个． 12．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有_______条，分别是_______． 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中线段______的长度表示点C到AB的距离，线段_______的长度表示点A到BC的距离，线段BC的长度表示______的距离． 14．如图，直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H请你用量角器量一量，然后判断∠1与∠2的关系是______，∠2与∠3的关系是_______． 15．如图，BA⊥AC，AD⊥BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条． 16．某人画AB⊥l，CB⊥l，B为垂足如图情况，判断A，B，C三点 不在同一条直线上，你认为有道理吗答：_______；请将你的理由 写出：_______． 17．已知直线a与b都经过P点，且直线a∥c，b∥c，那么a与b 必______，这是因为______________． 18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点 M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”，根据上
空间几何——平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》 空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。 （1）求证：EF⊥CD； （2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
立体几何平行与垂直经典证明题
N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?
空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
立体几何中平行与垂直的证明(整理好)
D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1； 【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ； 【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
高一数学必修2平行与垂直的判定练习题
高一数学（必修2）直线题组练习 高一数学必修2 (平行与垂直的判定) 一、选择题 1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ?? ?-≠=11n m D ?? ?≠-=???-≠=1 1 11n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是 A 平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定 4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是 A x+y=0 B x-y=0 C x+y-1=0 D x-y+1=0 5、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p= A 24 B 20 C 0 D -4 6、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是
A 锐角不为450的直角三角形 B 顶角不为900的等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctan B -2740arctan C +π27 40 arctan D -π27 40 arctan 8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)2 4 (π απ<<的角是 A 4 π α- B απ -4 C 43πα- D απ -4 5 二、填空题 1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿； 2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿； 3、直线过点A （1，)3 3且与直线x-y 3=0成600 的角，则直线的方程为＿＿ 三、解答题 1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。
北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案 北师大版选修2-1
【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1 课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行． 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________． (2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________． (3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________． 2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________． (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________． (3)面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________． 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
利用空间向量证明空间位置关系
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋
空间几何平行与垂直证明
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题
高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； (2)求证：平面1A AC ⊥平面BDE ； (3)求直线BE 与平面1A AC 所成角的正弦值. 2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F.求证：EF ∥平面ABCD. 3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点． （1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==三棱锥P ABD -的体积34 V =求A 到平面PBC 的距离．
A D B C P E 4．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥DC； 5．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，// AB DC，⊥ = ∠PA DAB, 90ο底面ABCD，且1 PA AD DC ===，2 AB=，M是PB的中点． （1）求证：CM PAD P面； （2）证明：面PAD⊥面PCD； （3）求AC与PB所成的角的余弦值； （4）求棱锥M PAC -的体积。 6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点 A B C D P N
（1）求证：AN∥平面MBD; （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值. 7．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC⊥平面BDE 8．在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD为矩形，ABCD PD底面 ⊥，1 = AB，2 = BC，3 = PD，F G、分别为CD AP、的中点． (1) 求证：// FG平面BCP； (2) 求证：PC AD⊥； F G P D C B A 9．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111 ABC A B C -中，3 AC=，5 AB=，4 BC=，P M D C B A N
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，