2021年高三第三次联考数学试题 含答案
2021年高三第三次联考数学试题含答案
本卷共四大题，分试题卷和答题卷，考生一律在试题卷上作答。考试时间120分钟，满分150分。
答题时，考生先将自己的姓名,准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。
选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水笔的签字笔书写，不得使用铅笔或圆珠笔。作答时，字体工整，字迹清楚。
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸,试题卷上答题无效。
选考题的作答：先把所选题目对应题号的方框在答题卡上指定位置用2B铅笔涂黑。
一：选择题。在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分。
1.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2.若在区间（4，+）上是增函数，那么实数的取值范围是( ) A． B． C． D．
3.命题“?x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）
A．?x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．?x?R，x2﹣2x+4≤0
C．?x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．?x?R，x2﹣2x+4＞0
4.下列三个数：，大小顺序正确的是（）
5..某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2 B． C．3
D．
6.圆x2+y2=4上与直线l：4x﹣3y+12=0距离最小的点的坐标是（）A．（，） B．（，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
7.己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区
间（，）上递减，则ω=（）
A．3 B．2 C．6 D．5
8.已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为（）
A. B．C．
D．
9.观察下图：
1
2 3 4 则第( )行的各数之和等于20112.( )
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…………
A．xx B．xx C．1006 D．1005 10.已知等比数列的公比为正数，且，则等于（）
A． B． C．
D．2
11.已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率
等于，则该双曲线的方程为（）
A．x2﹣=1 B．x2﹣y2=15 C．﹣y2=1 D．﹣=1
12.已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上
的动点，则的最小值是（）
A． B． C．D．
二．填空题。每小题5分，共25分。
13.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有
一名志愿甲者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
14.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC
的中点，点G在线段MN上，且则x，y，z的值分别为________________．
15.已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=， AC=，则该四面体的外
接球的表面积为．8π
16.已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_______．
17.已知函数y=4b2﹣3b2sin2θ﹣3bsinθ+的最大值为7，实数b的值
为 .
三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释。
18.(12分)在中，角的对边分别为，且，。
（1）求角B的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，且=1，且成等比数列，求的前项和
19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，
F分别是AC，PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求证：面PBD⊥面PAC；
（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．
（1）如图连接BD，通过证明EF∥PD，证明EF∥平面PCD；
（2）证明BD⊥AC，PA⊥BD，证明BD⊥平面PAC，然后证明面PBD⊥面PAC；（3）连接PE，说明∠EPD是PD与平面PAC所成的角．通过Rt△PAD≌Rt△BAD．在Rt△PED中，求出sin∠EPD的值，推出PD与平面PAC所成角的大小．
20.(12分)为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备
招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为。（Ⅰ）求该小组中女生的人数；
（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。
21.（12分）已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦
点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其
中O为坐标原点），求直线l的方程．
（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．
22.（8分）已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x) 四：选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则每学科按所做的第一题给分。 23.（9分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与 圆O相切于点N，连结MC，MB，OT． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，试求的大小． 23.（9分）已知函数. （I）解不等式； （II）若，求证：. 江西省新余市七校xx届高三第三次联考数学试题参考答案 1~5：A B A C D 6~10：C B B C B 11：C 12：C 13. 14.，， 15.8π16.m<4 17.b=+1 18.(1)由所以，又由，，，则为钝角。， 则解得。…6分 (2)设的公差为，由已知得，且.∴． 又, ∴. ∴. ……9分∴. ∴ …………12分 19.解：（1）证明：如图连接BD，则E是BD的中点． 又F是PB的中点，所以EF∥PD， 因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD； （2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC， 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD， 因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内， 故面PBD⊥面PAC； （3）连接PE，由（2）可知BD⊥平面PAC， 故∠EPD是PD与平面PAC所成的角． 因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°， 所以Rt△PAD≌Rt△BAD． 因此PD=BD，在Rt△PED中sin∠EPD==，∠PAD=30°， 所以PD与平面PAC所成角的大小是30°． 20. 21.解：（1）∵椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0）， F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2， ∴， 解得a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， △=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0， 由根与系数关系得x1+x2=，x1?x2=， ∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2， ∴y1y2=k2x1?x2﹣2k（x1+x2）+4． ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0， ∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0， ∴﹣+4=0， 解得k=±2， ∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2． 22.(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝. ∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)∵f(x) 令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2， h′(x)＝－6x＝ ∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0， ∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x) g(x) 那a的取值范围是[－1，＋∞)． 23.（Ⅰ）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定 理，，得，设半径OB=， 因BD=OB，且BC=OC=，则，， 所以 (4分) （Ⅱ）由（1）可知，， 且， 故∽，所以； 根据圆周角定理得，，则（10分） 24.（I）∵. 因此只须解不等式. 当时，原不式等价于，即. 当时，原不式等价于，即. 当时，原不式等价于，即. 综上，原不等式的解集为. （II）∵ 又0时， ∴0时，. 33804 840C 萌pR23534 5BEE 寮^35867 8C1B 谛23981 5DAD 嶭28361 6EC9 滉30232 7618 瘘!733188 81A4 膤==