2021届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(理)试题Word版含解析

2020届广东省茂名市高三第一次综合测试

数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}

2

|230B x x x =--<，则A

B =（ ）

A ．()2,1-

B ．()1,3-

C ．{}1,0-

D ．{}0,1,2

【答案】D

【解析】根据题意可知{}1,0,1,2,3A =-，解不等式2230x x --<，得13x ，

即{}|13B x x =-<<，再与集合A 取交集，即可. 【详解】

{}|24A x Z x =∈-<<

∴{}1,0,1,2,3A =-

又

{}

{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<

{}0,1,2A B ∴?=

故选：D 【点睛】

本题考查集合的运算，属于容易题. 2．i 为虚数单位，复数21

i

z i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限 B ．第一象限

C ．第四象限

D ．第三象限

【答案】C 【解析】【详解】

()()2

i 12i i 11i 1

i 1

z i --=

==--=---，复数21i z i =

-在复平面内对应坐标为()1,1-，所以复数21

i z i =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C.

3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知5316S a =+，11a =，则26a a +=（ ） A ．10 B ．11

C ．12

D ．13

【答案】B

【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知511510216S a d a d =+=++，解得3

2

d =

，根据26126a a a d +=+，求解即可.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

112

n n n S na d -=+

，()11n a a n d +-=. 则513151051016216172S a d d a a d d =+=+=+=++=+. 即510172d d +=+，解得32

d =

. 261113

526216112

a a a d a d a d +=+++=+=?+?

=. 故选：B 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于较易题.

4．剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】根据对称性可知“双喜”字是轴对称图形.即可. 【详解】

由题意可知，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁出，如下图：

故选：D

【点睛】

本题考查对称性，属于容易题.

5．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，37S =，则35a a ?=（ ） A ．64 B ．729 C ．64或729 D ．64或243

【答案】C

【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，2

312317S a a a q q =++=++=，解得2q 或3q =-，

根据6

35a a q ?=，求解即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，则11

1n n n a a q q --==.

∴2312317S a a a q q =++=++=.

即2

60q q +-=，解得2q

或3q =-.

∴24635a a q q q ?=?=

当2q

时，635264a a ?==.

当3q =-时，()6

353729a a ?=-=. 故选：C 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，属于较易题.

6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )（精确到0.01）.（参考数据sin150.2588?≈） A ．3.14 B ．3.11

C ．3.10

D ．3.05

【答案】B

【解析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r =，顶角为360

1524

=，根据圆面积2S r π=，利用三角形面积公式in 12s S ab C =，计算正二十四边形的面积21

24sin152

S r ?'=??，求解即可. 【详解】

由题意可知，单位圆面积2S r ππ==，正二十四边形的面积2

1

241sin152

S =???'. 则2

2124sin152

r r π?

??=. 即12sin15120.2588 3.1056 3.11π=≈?=≈. 故选：B 【点睛】

本题考查三角形面积公式，属于较易题.

7．已知1F 、2F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1

PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为（ ）

A B C D ．2

【答案】C

【解析】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF ，则21

//

2

OM PF ，即222PF OM b ==，根据双曲线的定义可知，122PF a b =+，在

12Rt F F P ?中，2

2

2

1212||||PF PF F F =+，即2b a =，根据

c e a ==.

【详解】

设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF . 线段1PF 的中点M 坐标为()0,b

∴点P 在双曲线C 的右支上.

如图所示：

原点O 为线段12F F 的中点

∴21

//

2

OM PF ，即212PF F F ⊥，222PF OM b ==. 由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即122PF a b =+，

12||2F F c = 在12Rt F F P ?中，2

2

2

1212||||PF PF F F =+， 即()()()2

2

2

2222a b b c +=+，整理得2b a =.

2

221125c b e a a

==+=+=故选：C 【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.

8．前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法. A ．120 B ．96 C ．48 D ．60

【答案】B

【解析】分情况讨论，当张三不在派遣的4人中时，共有4

4A 种方法，当张三在派遣的4人中时，由于张三不能担任裁判工作，则张三有3种派遣方法，再从另外的4人中选出3人安排其他的3项工作，有3

4A 方法，

完成这件事的方法数一共有43

443A A +，求解计算，即可.

【详解】

由题意可知，当张三不在派遣的4人中时，有4

4432124A =???=种方法

当张三在派遣的4人中时，有3

43343272A =???=种方法

则共有43

443247296A A +=+=种派遣方法.

故选：B 【点睛】

本题考查排列组合，先分类再分步，是解决本题的关键.属于较易题.

9．设函数()()()sin cos f x x x ω?ω?=+++（0>ω，||2

π

?≤）的最小正周期为π，且过点(，

则下列正确的为（ ） ①()f x 在0,

2π??

??

?

单调递减. ②()f x 的一条对称轴为2

x π=.

③()f

x 的周期为2

π.

④把函数()f x 的图像向左平移6

π

个长度单位得到函数()g x 的解析式为()26g x x π?

?=+ ??

?

A ．①②

B ．①③

C ．①②③

D ．①②④

【答案】A

【解析】根据辅助角公式得()()()sin cos 4f x x x x πω?ω?ω???=+++=

++ ???

，则22T π

ω==，

即()24f x x π???=

++ ??

?，再根据过点(，可知()04f π??

?=+= ???，则4π?=，

即()()2f x x =.根据余弦型三角函数的图象和性质，分别判断①②③④，是否正确，即可. 【详解】

根据辅助角公式得()()()sin cos 4f x x x x πω?ω?ω??

?=+++=++ ??

?.

最小正周期为π，0>ω

∴222T ππωπ=

==，即()24f x x π??

?=++ ??

?.

函数()f x 过点(，||2

π

?≤

∴()04f π??

?=+= ??

?2,42k k Z ππ?π+=+∈.

当0k =时4

π

?=

.即()()2sin 22cos 22f x x x π?

?=

+= ??

?.

令()22,2,x k k k Z πππ∈+∈，则,

,2x k k k Z π

ππ??

∈+∈ ??

?

， 当0k =时，()f x 在0,

2π?

?

??

?

单调递减，①正确. 令2,π=∈x k k Z ，则,2

k x k Z π

=

∈， 当1k =时，()f x 的一条对称轴为2

x π=

，②正确.

()()()2cos 22cos 2f x x x ==的周期为,k k Z π∈且0k ≠，③错误.

函数()f x 的图像向左平移

6

π

个长度单位得到函数()g x 的解析式为()2cos 22cos 263g x x x ππ?????

?=+=+ ? ????

?????，④错误.

故选：A 【点睛】

本题考查求正弦型三角函数的解析式以及图象和性质，属于中档题. 10．下列函数图象中，函数()()||

x f x x e

Z αα=∈的图象不可能的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确.

【详解】

当2α=时，()2

x

f x x e =，定义域为R 关于原点对称.

()()()2

2x

x

f x x e

x e f x --=-==，则()f x 为偶函数.

当0x >时，()2x

f x x e =.

则()()()

()

22222(2)0x

x x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '

'

'

==+=+=+>'

即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减. 此时函数()f x 的图象可能为A 选项.

当2α=-时，()2x

e

f x x

=，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称.

()()

()2

2x

x

e

e

f x f x x

x --=

==-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2x

e f x x

=.

则()()()()

2

222

24

3

22(2)x

x

x

x x x e x x e

e x e xe e x

f x x x x x ''

'

-??

--==== ?

??

' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减 当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项. 当1α

=时，()x

f x xe =，定义为R 关于原点对称.

()()()x

x

f x x e

xe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.

当0x >时，()x

f x xe =.

则()()

()()

(1)0x x x x x x f x xe x e e x e xe e x '

'

'

==+=+=+>'

令()()1x

g x e x =+，则()()()()()()111(2)0x x

x

x

g x e x e x e x e x '

'

'

??=+=+++=+'>??

即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增. 根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项. 故选：C

【点睛】

本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.

11．已知()

A ，)

B

及抛物线方程为()281x y =-，点P 在抛物线上，则使得ABP ?为直角

三角形的点P 个数为（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

【解析】分情况讨论，当角A 为直角时，此时点P 坐标为()

1y ，即154y =

，即点P 坐标为54?

? ??

?，

当角B 为直角时，此时点P 坐标为

)

2y ，即254y =

，即点P 坐标为54???，当角P 为直角时，此

时点P 的轨迹为以AB 为直径的圆除去与x 轴的交点，与抛物线()2

81x y =-的交点，联立()

222

812

x y x y ?=-?+=?，

求解34y =-44y =-舍)

即点P 坐标为(4±-，即可. 【详解】

当角A 为直角时，PA AB ⊥.

设点P 坐标为()

1y 点P 在抛物线上

∴(()2

181y =-，即154

y =

则点P 坐标为54?? ??

?

.

同理，当角B 为直角时，此时点P 坐标为54???. 当角P 为直角时，此时点P 的轨迹为以AB 为直径的圆除去与x 轴的交点，

以AB 为直径的圆的圆心()0,0，半径为r =

22

2x y +=.

则点P 的轨迹为22

2x y +=（0y ≠）与抛物线()2

81x y =-的交点.

联立()222

812(0)

x y x y y ?=-?+=≠?，即2

8100y y +-=

，解得34y =-

44y =-舍)

将34y =-()2

81x y =-

，解得x =±此时点P

坐标为(4±-+. 即使得ABP ?为直角三角形的点P 个数为4个 故选：D 【点睛】

本题考查圆的方程，以及求两个曲线的交点.属于中档题.

12．已知函数()21,1

ln ,1ax ax x f x x a x x ?-+≤=?->?

()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是（ ）

A ．(),0-∞

B ．(),e +∞

C ．()4,+∞

D ．(

)2

4,e

【答案】C

【解析】由题意易知，0a ≤时不满足题意.当0a >且1x ≤时()2

1f x ax ax =-+，为开口向上，对称轴为

12

x =

的二次函数，最多两个零点，当0a >且1x >时()ln f x x a x =-，()1a x a f x x x '

-=-=，当x a

>时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，最多两个零点，若使得函数()f x 有四个零点，则需

()1

1020a f f a ?>?

???

，求解即可. 【详解】

当0a =时，()1,1

,1x f x x x ≤?=?>?

，函数()f x 无零点，舍去.

当0a <且1x ≤时，()2

1f x ax ax =-+

为开口向下，对称轴为1

2

x =

的二次函数， 2

11111102224f a a a ????

=?-?+=-+> ? ?????

，()1110f a a =-+=>.

则1x ≤时，函数()f x 与x 轴只有一个交点.

当0a <且1x >时，()ln f x x a x =-.

()()()ln 10a x a f x x a x x x

''

-=-=-

=>' 函数()f x 在()1,+∞上单调递增，()()11f x f >=. 则1x >时，函数()f x 与x 轴无交点.

则当0a <时，函数()f x 有一个零点.与题意不符，舍去. 当0a >且1x ≤时()2

1f x ax ax =-+.

为开口向上，对称轴为1

2

x =

的二次函数. 2

1111112224f a a a ????

=?-?+=-+ ? ?????

，()1110f a a =-+=>.

函数()f x 在(],1-∞最多有两个零点 当0a >且1x >时()ln f x x a x =-.

()()()ln 1a x a

f x x a x x x

''

=-

='-=-. 当x a >时()f x 单调递增，当x a ≤时()f x 单调递减，()ln f a a a a =- 函数()f x 在()1,+∞最多有两个零点

若使得函数()f x 有四个零点，则需()1

1020a f f a ?>?

???

即11104ln 0

a a a a a >???

-+. 故选：C 【点睛】

本题考查根据函数零点个数，求参数的取值范围.属于较难的题.

二、填空题

13．已知实数x ，y 满足5210220x y x y x y -≤??

+-≥??+-≤?

，则3z x y =+的最小值为______.

【答案】1

【解析】根据约束条件画出可行域，利用简单线性规划求解.即可. 【详解】

画出约束条件5210220x y x y x y -≤??

+-≥??+-≤?

的可行域，如图所示，

由图可知，当目标函数过点()0,1C 时，min 1z = 故答案为：1 【点睛】

本题考查简单线性规划，属于较易题.

14．在ABC ?中，60B C ==∠∠，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则AM BC =______. 【答案】6

【解析】由题意可知，ABC ?是边长为2的等边三角形，()

22BM AM AB CM AM AC =-==-，则

2AM AC AB =-，BC AC AB =-，即

()()·2?AM BC AC AB AC AB =--()

()

2

2

23?AC

AC AB AB =-+，求解即可.

【详解】

在ABC ?中，60B C ∠=∠=?，2AB =

∴ABC ?是边长为2的等边三角形

()

22BM AM AB CM AM AC =-==-

∴2AM AC AB =-

又

BC AC AB =-

∴()()2?AM BC AC AB AC AB ?=--()

()

2

2

23?AC

AC AB AB =-+

2

2

2223?cos 22322cos 6026AC AC AB A AB =-+=?-???+=

故答案为：6 【点睛】

本题考查平面向量的运算，属于较易题. 15．点P 为曲线()2

2ln 41y x x =++14x ??

>-

???

图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为______. 【答案】

14

【解析】设切点00(,)P x y ，014x ??>-

??

?，4

441

y x x =++'，则000044tan 441134141x x x x α=+

=++-≥++，根据均值定理，当且仅当004

4141

x x +=+时，等号成立，

求解0x ，即可. 【详解】

设切点00(,)P x y ，014x ?

?>-

???

. 4

441y x x =+

+' 014

x >-

∴0410x +>

则000044

tan 441114134141

x x x x α=+

=++-≥=-=++.

当且仅当0044141x x +=

+，即01

4

x =时，等号成立.

即01

4

x =时，tan α最小，α取最小值. 故答案为：1

4

【点睛】

本题考查导数的几何意义，以及均值定理取等条件.属于中档题.

16．如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______.

【答案】

82

3

【解析】根据三视图得到十二面体的直观图，该十二面体的外接球直径为2222222R =+=，根据球

的体积公式，求解即可. 【详解】

由题意可知，该几何体的直观图，如图所示.

该几何体为十二面体，其外接球直径为222222R =+=2R =3448222333

V R ππ==?=

82

【点睛】

本题考查三视图，以及几何体外接球体积.属于较难的题.

三、解答题

17．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin b B a A B c C +-=. （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围.

【答案】（Ⅰ）3C π

=,（Ⅱ）? 【解析】（Ⅰ）由正弦定理，将()sin sin sin sin b B a A B c C +-=变形整理为222a b c ab +-=，再根据

余弦定理，222

cos 2a b c C ab

+-=，求解即可.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3

C π

=

，则2sin sin sin sin 3A B A A π??+=+-

???6A π?

?=+ ??

?，根据正弦型三

角函数的图象和性质，求解即可. 【详解】

（Ⅰ）由正弦定理得：sin 2a A R =

，sin 2b B R =，sin 2c

C R

=， 又()sin sin sin sin b B a A B c C +-=，

所以()2

2

b a a b

c +-=，所以222a b c ab +-=，

222cos 1

22

a b c C ab +-==，

又因为0C π<<， 所以3

C π

=

.

（Ⅱ）2sin sin sin sin 3A B A A π??

+=+-

???

22sin sin

cos cos sin 33

A A A ππ

=+-

3

sin 26A A A π?

?=+=+ ??

? ∵3

C π

=

∴20,

3A π??∈ ???

∴5,666

A π

ππ??+

∈ ???

∴1sin ,162A π????+∈ ? ?????，即33sin ,362A π???

?+∈ ? ? ???

所以sin sin A B +的取值范围是3,3??

? ?. 【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，以及正弦型三角函数的图象和性质.属于中档题.

18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，222AB DC ==，14AA =.

（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；

（Ⅱ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析,（Ⅱ）

2

3

【解析】（Ⅰ）连结1AC 交1A C 于点E ，连结DE ，可知1//DE BC ，根据线面平行的判定定理，证明即可. （Ⅱ）法一: 由BC AC =，222AB DC ==，可知2AC BC ==，即AC BC ⊥，根据1AA ⊥平面ABC ，可知1CC ⊥平面ABC ，即1CC AC ⊥，1CC BC ⊥，以C 为原点，BC ，1CC ，CA 所在直线分别为x ，

y ， z 轴，建立空间直角坐标系，求各点坐标，计算平面11BCC B 的法向量为()0,0,1m =，平面1A CD 的

法向量为()2,1,2n =-，根据cos m n

m n

θ?=

，求解即可. 法二：延长1A D 、1B B 交于Q ，连接QC ，过D 作DH BC ⊥于H ，过H 作HJ QC ⊥于J ，连接DJ ，则DH ⊥平面11BCC B ，DH CQ ⊥，又

HJ

DH H =，所以CQ ⊥平面DHJ ，DJH θ=∠为平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角.

由BC AC =，222AB DC =

=，14AA =，计算

5HJ =，222155DJ ??=+= ???

，利用cos HJ DJ θ=，求解，即可. 【详解】

（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点E ，连结DE . 则E 为1AC 中点，DE 为1ABC ?中位线. 所以1//DE BC .

又DE ?平面1A CD ，1BC ?平面1A CD . 所以1//BC 平面1A CD .

（Ⅱ）法一：因为BC AC =，D 是AB 的中点，所以AB DC ⊥. 又因为222AB DC ==2AC BC ==，则222AC BC AB += 即AC BC ⊥，所以90ACB ∠=?.

又因为1AA ⊥平面ABC ，所以建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()1,0,1D -，

()10,4,2A ，()1,0,1CD =-，()10,4,2CA =.

平面11BCC B 的法向量为()0,0,1m =.

设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则由n CD ⊥，1n CA ⊥，得10420

n CD x z n CA y z ??=-+=?

??=+=??

令1y =-，则2x z ==，()2,1,2n =-.

所以平面1A CD 与平面11BCC B 所成的锐二面角θ的余弦值为2

cos 3

1414m n m n θ?=

==?++.

法二：延长1A D 、1B B 交于Q ，连接QC ，过D 作DH BC ⊥于H ， 过H 作HJ QC ⊥于J ，连接DJ ， 则DH ⊥平面11BCC B ，DH CQ ⊥，又HJ

DH H =，所以CQ ⊥平面DHJ ，

DJH θ=∠为平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角.

Rt BDC ?中，BD DC =，所以高DH 为中线，1DH =，1BH HC ==，

∵11BD

A B ，∴

1111

2

QB BD QB A B ==，∴

14QB BB ==， Rt CBQ ?中，224225QC =+=， sin 25HJ BQ BCQ CH CQ ∠=

==，∴5

HJ = Rt DHJ ?中，2

22155DJ ??

=+= ???

，2cos 3HJ DJ θ==， 所以平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为

2

3

.

【点睛】

本题考查线面平行，以及求二面角的余弦值，解决本题可以空间向量法也可以用几何法，属于较难的题. 19．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体

育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳 绳个数 [)165,175 [)175,185 [)185,195 [)195,205 [)205,215

得分 16

17

18

19

20

（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率； （Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布(

)2

,N μσ

，用样本数据的平均值和方差估计

总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差277.8S ≈（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：

（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望. 附：若随机变量X 服从正态分布(

)2

,N μσ

，77.89σ=

≈，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=

【答案】（Ⅰ）

190

,（Ⅱ）（ⅰ）841,（ⅱ）分布列见解析 ,()3

2E ξ=

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图计算，每分钟跳绳个数[)165,175的人数为1000.005105??=（人）每分钟跳绳个数[)175,185的人数为1000.009109??=（人），由题意可知，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，根据互斥事件概率加法公式，计算即可. （Ⅱ）根据频率分布直方图计算样本的均值X ，可知正式测试时期望的估计值202μ=，方差9σ≈，计算193μσ-=，211μσ+=，（ⅰ）根据正态分布的对称性，计算()10.6826

19310.84132

P ξ->=-

=，求解人数即可. （ⅱ）由正态分布模型，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，则ξ服从二项分布，即1~3,2B ξ??

???

，计算分布列和期望，即可. 【详解】

（Ⅰ）由题意可知，得16分的人数为5人，得17分的人数为9人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分.

所以，两人得分之和不大于33分的概率为：211

5592

1001

90

C C C P C +==. （Ⅱ）1700.051800.091900.52000.32100.06192.3192X =?+?+?+?+?=≈（个） 又277.8σ≈，9σ≈，所以正式测试时，202μ=，9σ=. ∴193μσ-=，211μσ+=. （ⅰ）∴()10.6826

19310.84132

P ξ->=-

=，∴0.84131000841.3841?=≈（人）. （ⅱ）由正态分布模型，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12

，即1~3,

2B ξ?? ???

. ∴()0

303

11101228P C ξ????==-= ? ?????，()2

1311311228

P C ξ??==-= ???，

()2

23

11321228P C ξ??

??==-= ?

???

??，()3

3311131228

P C ξ????==-= ? ?????，

∴ξ的分布列为