高三上学期期末考试(数学)(附答案)
上海市卢湾区高三上学期期末考试
数学试卷 .1
(本卷完成时间为120分钟,满分为150分 审核:刘瑞兰)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数()sin(f x x =π+1)的最小正周期T =_______.
2
.函数()f x =的定义域为 .
3.若12i
i a ++为实数(i 为虚数单位),则实数a =_________. 4.计算:2(1)(13)
lim
(2)(1)
n n n n n n →∞+-=
-++________.
5.某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 .
6.在二项式
12n
x x ??- ?
??的展开式中,若第5项是常数项,则n =
7.在△ABC 中,E 为AC 上一点,BC a =,BA b =,12AE EC
=若用向量a 、b 表示BE ,则BE =_________.
8.右图中,程序框图的功能是交换两个变量的值并输出,图中①处
应填入 .
9.若实数a 、b 、c 、d 满足矩阵等式11240202a b c d ??????= ??? ???????,则
行列式a
b c
d
的值为_________.
10.若关于x 、y 的二元一次方程组1,2mx y m x my m +=+??
+=?无解,则m =_____.
11.已知数列{}n a 共有6项,若其中三项是1,两项是2,一项是3,则满足上述条 件的数列共有 个.
12.若集合
0,1,2A π?
?=??
??,{|cos ,}B y y x x A ==∈,则A B =_______.
13.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比为q ,集合2lim ,1,
n n n S M x x q S →∞??
==≠-??? q ?
∈?
?R ,则用列举法表示M = .
14.方程2
cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2
y x =的图像交点的
横坐标.方程
210sin
102x
x x π-+=实数解的个数为 .
二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在
答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分.
15
.若复数
12ω=
+(i 为虚数单位),则1ω-等于( ).
A. 2
ω B. 2ω- C.ω- D.1ω-
16
.设函数()f x 的反函数为
1
()f x -,对于[0,1]内的所有x 的值,下列关系式 中一定成立的是( ).
A .1()()f x f x -=
B .1()()f x f x -≠
C .1()()f x f x -≤
D .
1
()()f x f x -≥ 17.对于函数1(1)()2n
f n +-=(*
n ∈N ),我们可以发现()f n 有许多性质,如:
(2)1f k =(*k ∈N )等,下列关于()f n 的性质中一定成立的是( ).
A .(1)()1f n f n +-=
B .()()f n k f n +=(*
k ∈N );
C .()(1)()f n f n f n αα=++(0α≠)
D .(1)
(1)()f n f n ααα+=-+(0α≠);
18.若a ,b 是实数,则||||||a b b a ->-成立的充要条件是( ).
A .1b a <
B .1a b <
C .a b <
D .a b >
三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分14分) 在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,
3B π=
,4
cos 5A =
,b
求sin C 的值及△ABC 的面积S .
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ,其中2
()24f x x ax =-+(1a ≥),
2()1x g x x =
+.
(1)求函数()y f x =的最小值()m a ;
(2)若对任意1x 、2[0,2]x ∈,21()()f x g x >恒成立,求a 的取值范围.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 袋中有大小相同的红球和白球若干个,其中红、白球个数的比为4:3.假设从袋中任取2个
球,取到的都是红球的概率为413.
(1)试问:袋中的红、白球各有多少个?
(2)(理)现从袋中逐次取球,每次从袋中任取1个球,若取到白球,则停止取球,若取到红球,则继续下一次取球.试求:取球不超过3次便停止的概率.
(文)从袋中任取3个球,若取到一个红球,则记2分,若取到一个白球,则记1分.试求:所取出球的总分不超过5分的概率.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
将奇函数的图像关于原点(即(0,0))对称这一性质进行拓广,有下面的结论:
① 函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称.
② 函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点
(,())a f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域时,则()f a 不存在).
利用上述结论完成下列各题:
(1)写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标,并加以证明.
(2)已知m (1m ≠-)为实数,试问函数
()1x m
f x x +=
-的图像是否关于某一点成中心对称?
若是,求出对称中心的坐标并说明理由;若不是,请说明理由.
(3)若函数()2()|||3|43f x x x t x ?
?=-++-- ???的图像关于点22,33f
???? ?
????
?成中心对称,求t 的
值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3
小题满分6分.
在等差数列{}n a 中,公差为d ,前n 项和为n S .在等比数列{}n b 中,公比为q ,前n 项和为
n S '(*n ∈N ).
(1)在等差数列{}n a 中,已知1030S =,20100S =,求30S .
(2)在等差数列{}n a 中,根据要求完成下列表格,并对①、②式加以证明(其中m 、1m 、
2m 、*n ∈N ).
用m S 表示2m S 222m m S S m d =+
用
1
m S 、
2
m S 表示
12
m m S +
12m m S +=
①
用m S 表示nm S nm S = ②
(3)在下列各题中,任选一题进行解答,不必证明,解答正确得到相应的分数(若选做二题或更多题,则只批阅其中分值最高的一题,其余各题的解答,不管正确与否,一律视为无效,不予批阅): (ⅰ) (解答本题,最多得4分)类比(2)中①式,在等比数列{}n b 中,写出相应的结论. (ⅱ) (解答本题,最多得5分)类比(2)中②式,在等比数列{}n b 中,写出相应的结论. (ⅲ) (解答本题,最多得6分)在等差数列{}n a 中,将(2)中的①推广到一般情况. (ⅳ) (解答本题,最多得6分)在等比数列{}n b 中,将(2)中的①推广到一般情况.
卢湾区第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准 .1
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,每个空格填对得4分.
1.2 2.(1,1)- 3.1
2 4.0 5.150 6.8 7.123
3a b
+ 8.x y ← 9.8 10.1- 11.60 12.{0,1} 13.10,,12????
?? 14.12
二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,选对得4分,否则一律得零分.
15.A 16.D 17.C 18.A
三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.(本题满分14分) 因为,,A B C 为△ABC 的内角,且
3B π=
,4cos 5A =,所以23C A π=-,
3
sin 5A =
,得2sin sin 3C A π??=-=
???
. …6分 在△ABC 中,由正弦定理,得
sin 6
sin 5b A a B =
=
, …10分
故△ABC
的面积116336sin 2251050S ab C ++==?=
. …14分
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1)由222
()24()4f x x ax x a a =-+=-+-,得
2412,
()84 2.a a m a a a ?-<=?-?≤≥ …6分 (2)
1
()(1)21g x x x =++
-+,当[0,2]x ∈时,1[1,3]x +∈,
又()g x 在区间[0,2]上单调递增(证明略),故
4()0,3g x ??
∈??
??. …9分 由题设,得2min
1max ()()f x g x >,故2
12,443a a ??->??
≤或2,
484,3a a ??
?->??≥ …12分
解得
1a <
≤为所求的范围. …14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1)设袋中有红球4k 个,白球3k 个,由题设2
427413
k
k C C =,解得2k =, …4分
因此,袋中有红球8个,白球6个. …6分 (2)(理)记A 为“取球不超过3次便停止”;i B (1,2,3i =)为“第i 次取到红球”, 则i B 为“第i 次取到白球”.
由题设112123A B B B B B B =++,且1B 、12B B 、123B B B 为互不相容事件,1B 、1B 、2B 、2B 、
3B 为互相独立事件, …10分
故
11212368687611
()()()()()()()14141314131213P A P B P B P B P B P B P B =++=
+?+??=
.
…14分 (文)从袋中14个球中取出3个球,其可能出现的取法有3
14C 种,即所有的基本事
件有314C 个. …8分 若把“取出球的总分不超过5分”的事件记作E ,则E 所包含的基本事件有
32112
66868C C C C C ++个, …12分
因此,E 出现的概率
32112
668683
1411
()13
C C C C C P E C ++==. …14分
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
(1)函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标为,02k π?? ???(*k ∈N ). …2分
当2k n =(*
n ∈N )时,
tan tan tan tan 022k k x x x x ππ????
++-=-= ? ?????;
当21k n =+(*
n ∈N )时,
tan tan cot cot 022k k x x x x ππ????++-=-+= ? ?????,得证. …6分
(2)由
1
()111x m m f x x x ++=
=+--,得()f x 的图像的对称中心的坐标为(1,1).…9分
1111(1)(1)2
1111x m x m x m x m
f x f x x x x x ++-+++-++++-=
+=+=+----,由结论①得,对实数m (1m ≠-),函数
()1x m
f x x +=
-的图像关于点(1,1)成中心对称. …12分
(3)由结论②
2227()3333F x f x f x x t x ??
?
???
=+-
=+++-
?
? ??????
?为奇函数,…14分
其中()g x x =为奇函数,故
27
()33h x x t x =+
++-为偶函数(证明略),
于是,由()()h x h x =-可得
27273333x t x x t x ??
+
++-=-+++ ???, …16分
因此,273
3t +=,解得5
3t =
为所求. …18分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.
(1)由1030S =,20100S =,得1104530a d +=,120190100a d +=,
解得
165a =
,2
5d =, …2分
故30210S =. …4分 (2)①121212m m m m S S S m m d
+=++. …6分
可知
1221m m m a a m d
+=+,
1211112
12m m m m m m m S S a a a ++++=++++
1211211()()()m m S a m d a m d a m d =+++++++1212m m S S m m d
=++. …8分
②
2
(1)2nm m n n S nS m d -=+
(或写成22
nm m n S nS C m d =+,2n ≥). …10分 可知
1(1)
2m m m S ma d -=+
,
1(1)(1)(1)
222nm m nm nm nm m nm nm S nma d nS d d ---=+=-+
(11)()22m m nm nm nS d nm m nS d nm m =+
--+=+-2
(1)2m n n nS m d -=+. …12分
(3)(ⅰ)
11212m m
m m m S S q S +'''=+. …16分
(ⅱ)
1,1,1, 1.nm
m m
nm
m q S q S q nS q ?-'≠?'=-??'=? …17分
(ⅲ)
12121213123[()(n
n m m m m m m n S S S S m m m m m m m m ++
+=++++++
+++
21)]n n n m m m m d -++
+,(2n ≥).
(或写成1
1
1()n i i i n
m i j m i i j n S S m m d
==<=+∑∑∑≤≤,(2n ≥)). …18分
(ⅳ)121
11212123n n
n m m m m m m m
m m m m m m
S S S q S q S q -+++++++'''''=++++,(2n ≥). …18分