印刷体汉字识别及其MATLAB实现
印刷体汉字的识别及其MATLAB实现
0.汉字识别研究的意义
汉字已有数千年的历史，是中华民族文化的重要结晶，闪烁着中国人民智慧的光芒。同时也是世界上使用人数最多和数量最多的文字之一。现如今，汉字印刷材料的数量大大增加，一些专业单位所接触的印刷材料更是浩如烟海，信息量均是爆炸性增长。然而，汉字是非字母化、非拼音化的文字，因此，如何将汉字快速高效地输入计算机，是信息处理的一个关键问题，也是关系到计算机技术能否在我国真正普及的关键问题，更是传播与弘扬中华民族悠久历史文化的关键问题。而且随着劳动力价格的升高，利用人工方法进行汉字输入也将面临经济效益的挑战。因此，对于大量已有的文档资料，汉字自动识别输入就成为了最佳的选择。因此，汉字识别技术也越来越受到人们的重视。汉字识别是一门多学科综合的研究课题，它不仅与人工智能的研究有关，而且与数字信号处理、图像处理、信息论、计算机科学、几何学、统计学、语言学、生物学、模糊数学、决策论等都有着千丝万缕的联系。一方面各学科的发展给它的研究提供了工具；另一方面，它的研究与发展也必将促进各学科的发展。因而有着重要的实用价值和理论意义。
1.印刷体汉字识别的研究
1.1印刷体汉字识别技术的发展历程
计算机技术的快速发展和普及，为文字识别技术应运而生提供了必备条件。加上人们对信息社会发展的要求越来越高，文字识别技术的快速发展可想而知。印刷体文字的识别可以说很早就成为人们的梦想。印刷体汉字的识别最早可以追溯到60年代，但都是西方国家进行的研究。我国对印刷体汉字识别的研究始于70年代末80年代初。同国外相比，我国的印刷体汉字识别研究起步较晚。从80年代开始，汉字ORC的研究开发一直受到国家重视，经过科研人员十多年的辛勤努力，印刷体汉字识别技术的发展和应用，有了长足进步。
1.2印刷体汉字识别的原理分析及算法研究
汉字识别实质是解决文字的分类问题,一般通过特征辨别及特征匹配的方法来实现。目前汉字识别技术按照识别的汉字不同可以分为印刷体汉字识别和手写体汉字识别。印刷体汉字识别从识别字体上可分为单体印刷体汉字识别与多体印刷体汉字识别。
印刷体汉字识别的流程如图1-1所示：
图1-1汉字识别流程框图
印刷在纸张上的汉字,通过用扫描仪扫描或者数码相机拍摄等光学方式输入后得到灰度图像（Grayscale image）或者二值图像（Binary image）,然后利用各种模式识别算法对汉字图像进行分析,提取汉字的特征，与标准汉字进行匹配判别,从而达到识别汉字的目的。印刷体汉字识别技术主要包括预处理、特征提取、匹配识别和后处理等步骤。
1.2.1预处理
在对原始图像进行识别处理之前，尽可能将干扰因素影响降低，是非常有必要的，也就是要先对原始采样信号进行预处理。预处理通常包括去除噪声、版面分析、二值化、倾斜校正、行列切分、平滑、归一化、细化等。
（1）版面分析
它是指对印刷体文档图像进行分析，提取出文本、图像图形、表格等区域，并确定其逻辑关系，并将相应的文本块连接在一起。
（2）二值化
将一幅具有多种灰度值的图像变成白黑分布的二值图像的工作称为二值化处理，二值化的主要目的是将汉字从图像中分离出来。通常的方法为先确定像素的阈值，比较像素值和阈值的大小，从而确定为1或0，这个二值化阈值的选取较为关键。
（3）倾斜校正
通过输入设备获得的图像不可避免地会发生倾斜，这会给后面的行字分割、文字识别等图像处理与分析带来困难，因此，在汉字识别系统中，倾斜校正是图像预处理的重要部分。倾斜校正的核心在于如何检测出图像的倾斜角。
（4）汉字切分
汉字切分的目的是利用字与字之间、行与行之间的空隙，将单个汉字从整个图像中分离出来。汉字的切分分为行切分和字切分[9]。
（5）归一化
归一化也称规格化，它是把文字尺寸变换成统一大小，纠正文字位置（平移），文字笔画粗细变换等文字图像的规格化处理，并只对文字图像进行投影。
（6）平滑
对数字图像进行平滑，目的是去处孤立的噪声干扰，以平滑笔画边缘。平滑在图像处理中实质是一幅文字图像通过一个低通滤波器，去除高频分量，保留低频分量。
（7）细化
细化处理是将二值化文字点阵逐层剥去轮廓边缘上的点，变成笔画宽度只有一个比特的文字骨架图形。细化处理的目的是搜索图像的骨架，去除图像上多余的像素，从而在不改变图像主要特征的前提下，减少图像的信息量。
1.2.2汉字特征提取
预处理的最终目的是为了更加方便、准确地进行汉字的特征提取，从而提高汉字识别率。对于汉字，其特征大致分为两类，包括结构特征和统计特征，至今总数已经不下百种。
要做到有的放矢，就需要研究已有的获得良好效果的各种汉字特征，分析它们的优点、缺点和适用环境。如下列出常用的一些的汉字结构特征和汉字统计特征。
1.结构特征
(1)抽取笔画法
抽取笔画法是利用汉字由笔画所构成的特点进行识别，它利用汉字的结构信息来进行汉字的联机识别，在印刷体和脱机手写识别中，由于笔画提取的困难，结果不是很理想。
(2)松弛匹配法
松弛匹配法是一种基于全局特征的匹配方法，它对输入汉字作多边近似，抽取边界线段，将这些边界线段组成临近线段表，然后用松弛匹配操作，完成边与边的匹配。这种方法利用弹性吸收汉字的变形，一个字只用一个样本。
(3)非线性匹配法
非线性匹配法是由Tsukumo 等提出的，用以解决字形的位移、笔画的变形等现象。此方法试图克服从图形中正确抽取笔画的困难，以提高正确判别的能力。
2.统计特征
(1)笔画复杂性（Complexity Index ）
笔画复杂性指数是指文字笔画的线段密度，其定义如下：
x y x L C σ/= (1-1)
y x y L C σ/= (1-2)
式（1-1）和（1-2）中
x C 、y C 一横向和纵向的笔画复杂性指数；
x L 、y L 一横向和纵向的文字线段总长度；
x σ、y σ一横向和纵向质心二次矩的平方根；
x C 、y C 分别反应了横向和纵向的笔画复杂性，横多的x C 大，竖多的y C 大。笔画复杂性指数与汉字的位移无关，受字体和字号的影响较小，但易受笔画断裂和粘连的影响，且其分类能力较差，常与另一种粗分类方法“四边码”连用。
(2)四边码（Four-side Code ）
四边码是在汉字点阵图的四周各取一条带，计算其中的文字图像素点数，并将它分成四级，构成一个四元组。由于汉字边框不但含有丰富的结构信息，而且边框部分笔画一般较少，不易粘连，抗干扰能力强，但对汉字的位移和旋转比较敏感，与笔画复杂性指数正好形成互补。
(3)特征点
特征点提取算法的主要思想是利用字符点阵中一些有代表性的黑点（笔画）、白点（背景）作为特征来区分不同的字符。特征点包括笔画骨架线的端点、折点、歧点和交点，汉字的背景也含有一定的区别于其它汉字的信息，选择若干背景点作为特征点，有利于提高系统的抗干扰能力。其特点是能够大大压缩特征库的容量，对于内部笔画粘连字符，其识别的适应性较强、直观性好，但不易表示为矢量形式，匹配难度大，不适合作为粗分类的特征。
(4)笔段特征
汉字是由笔画组成的，而笔画又由笔段组成，笔段可近似为一定方向、长度和宽度的矩形段。利用笔段与笔段之间的关系组成特征对汉字进行识别，受字体和字号的影响小，对于多体汉字的识别获得了良好效果。其缺点是笔段的提取会较为困难，匹配的难度大，抗内部笔画断裂或者粘连能力差。
1.2.3汉字识别分类
1.相关匹配
这是一种统计识别方法，它通过在特征空间中计算输入特征向量与各模板向量之间的距离进行分类判决。
（2）文法分析
文法分析的基本思想是将输入的汉字看作是一个语句或符号串，将识别问题转化为判断输入的语句是否属于某种语言，即句子是否符合某种语言的语法约束条件。
（3）松弛匹配
无论是相关匹配还是文法分析，都要求输入特征向量和模板特征向量的各分量之间具有确切的对应关系，然而在结构分析中，往往事先难以确定两者各分量
间的对应关系，此时可以采用松弛匹配法。
松
（4）人工神经网络
汉字识别是一个非常活跃的分支，不断有新的方法涌现出来，为汉字识别的研究注入新的活力，其中基于人工神经网络的识别方法是非常引人注目的方向。目前神经网络理论的应用己经渗透到各个领域，并在模式识别、智能控制、计算机视觉、自适应滤波和信号处理、非线性优化、自动目标识别，连续语音识别、声纳信号的处理、知识处理、传感技术与机器人、生物等领域都有广泛地应用。
1.2.4 后处理
后处理就是利用相关算法对识别后的汉字文本或者初级识别结果做进一步的处理，纠正误识的汉字，给出拒识的汉字，确定模棱两可的汉字。汉字识别的后处理方法[12，13]从用户的参与程度来说，可分为三类：手工处理，交互式处理和计算机自动处理。以下对各种常用的后处理方法做简单的介绍。
（1）简单的词匹配
简单的词匹配就是利用文本中字的上下文匹配关系和词的使用频度，给识别后文本中的拒识字提供一个“最佳”的候选字，其关键是建立汉语词条数据库。（2）综合词匹配
综合词匹配方法，就是综合利用初级识别结果和字的上下文关系及词的使用频度，来决定最后的识别结果。这种方法实际上己把识别过程和后处理过程融为一体了。
（3）词法分析
语言是语音和意义的结合体。语素是最小的语言单位。无论是词还是短语，都有其构成规则，利用这些规则，将它们分类。另外，不同的应用背景，也有不同的分类结果。
（4）句法、语义分析
语句无论是从结构上，还是从意思上都有一种人类共同理解、共同接受和共同遵守的语言组合法则。所以利用语义句法的方法，在初级识别结果的基础上，在利用词法分析进行匹配之后或匹配的同时，再进行句法分析和语义分析，从而确定要识别的汉字。
（5）人工神经元网络
利用人工神经元网络的汉字识别后处理可以采取两种方式。一种是把识别过程和后处理过程分开，网络的输入是初级识别结果的短语或者句子，其中包含不确定的汉字（或拒识的汉字），通过网络的运行，最终确定这些字。另一种方法是把识别过程和后处理过程综合在一起，初级识别给出的结果是每一个待识汉字的前几个候选字和每一候选字与待识字之间的相似度。然后，把这些候选字以及
与之相连的相似度输入网络，通过网络的并行作用，找到最符合汉语语法和语义组合关系的词或句子，从而确定出要识别的汉字。
1.3 印刷体汉字识别技术分析
1.3.1结构模式识别方法
汉字的数量巨大，结构复杂，但其特殊的组成结构中蕴藏着相当严的规律[14]。从笔画上讲，汉字有包括横、竖、撇、捺、点、折、勾等七种基本笔画，还有提挑、撇点、横捺等七种变形笔画。从部件上讲，部件是有特殊的笔画组合而成，故部件也是一定的。换而言之，汉字图形具有丰富的有规律可循的结构信息，可以设法提取含有这些信息的结构特征和组字规律，将它们作为汉字识别的依据。这就是结构模式识别。
结构模式识别理论在20 世纪70 年代初形成,是早期汉字识别研究的主要方法。其思想是直接从字符的轮廓或骨架上提取的字符像素分布特征，如笔画、圈、端点、节点、弧、突起、凹陷等多个基元组合，再用结构方法描述基元组合所代表的结构和关系。通常抽取笔段或基本笔画作为基元,由这些基元组合及其相互关系完全可以精确地对汉字加以描述,最后利用形式语言及自动机理论进行文法推断,即识别。结构模式识别方法的主要优点在于对字体变化的适应性强,区分相似字能力强；缺点是抗干扰能力差,从汉字图像中精确的抽取基元、轮廓、特征点比较困难,匹配过程复杂。因此,有人采用汉字轮廓结构信息作为特征,但这一方案需要进行松弛迭代匹配,耗时太长,而且对于笔画较模糊的汉字图像,抽取轮廓会遇到极大困难。也有些学者采用抽取汉字图像中关键特征点来描述汉字,但是特征点的抽取易受噪声点、笔画的粘连与断裂等影响。总之单纯采用结构模式识别方法的脱机手写汉字识别系统,识别率较低。
1.3.2统计模式识别方法
统计模式识别方法是用概率统计模型提取待识别汉字的特征向量,然后根据决策函数进行分类,识别就是判别待识汉字的特征向量属于哪一类。常用的判别准则是距离准则和类似度准则,典型的统计模式识别方法有最小距离分类、最邻近分类等。
1.最小距离分类
最小距离分类器（Minimum - Distance Classifier ） 是以汉字与特征空间模型点之间的距离作为分类准则，它有着图3-2所描述的结构。其中，x 是输入特征向量，他将被分配到C 个类别中的某一个类k ω（C k ,,2,1Λ=） ,这些类有各自的典型模式mk 表示。
图1-2 最小距离分类器系统图
2. 最邻近分类
最邻近法的思想是对于C 个类别i ω （C i ,,2,1Λ=） ,每类有标明类别的样本i N 个（C i ,,2,1Λ=）。规定i ω 的判别函数如式（1-1） 所示。其中k
i x 的角标i 表示i ω类，k 表示i ω类i N 个样本中的第k 个。
k i i i x x x g -=min )(, i n k ,,2,1Λ= (1-3) )(min )(i g x g i i
j =, C i ,,2,1Λ=, (1-4) 若式（1-2） 成立,则决策j x ω∈ 。即对未知样本x ，比较x 与N 个已知类别的样本之间的欧式距离并决策x 与离它最近的样本同类。
常用的汉字统计模式识别方法包括：
（1）模板匹配
（2）利用变换特征的方法
（3）笔画方向特征
（4）外围特征
（5）特征点特征
随着汉字识别技术的发展，已经有越来越多的统计特征出现。但几乎每种特征都不是完美的，都要在特殊条件下施加一些特殊的处理。
2.系统的实现与仿真
2.1系统的实现
印刷品上的汉字输入，经过预处理后，对照标准汉字修补缺损部分，用修补后的汉字进行学习，形成初始的特征库后再进行大量样本的学习，建立实用的特征库。系统在识别过程中可进行自学习。取标准汉字，对每一个汉字计算面积。所有按面积由小到大排列，建立每一汉字与其国标码的指针。对神经网络设置其初始权值，选取大量标准汉字训练网络，反复修改权值，直至与面积序号对应的输出为有效，并建立每一输出与面积特征库之间的连接关系。以后随着学习过程的进行，将建立动态调整面积特征库及其与神经网络之间的对应关系。系统共包括5个子功能模块（见图2-1）。
图2-1 系统模块图
图2-2 系统流程框图
系统的工作流程如图2-2所示，文件首先由文件管理器加载。送人图像处理模块，经二值化转灰度，均值滤波，二值化，行字切分等图像预处理操作后。得到待识文字的点阵，汉字识别模块从点阵中提取识别特征，通过十三点特征提取，精确匹配得出识别结果。
2.2系统的仿真
此次采用MATLAB进行系统仿真（Matlab仿真程序见附录1），其中学习功能使用sim函数实现，特征提取用十三点特征提取法。
y = sim（net, P_test）；%用训练出来的神经网络计算数据的第P_test行；其中net是SIMULINK的模型名（神经网络的对象见附录2）；P_test是外部输入向量。
十三点特征提取法：
首先把字符平均分成8份，统计每一份内黑色像素点的个数作为8个特征，然后统计水平方向中间两列和竖直方向中间两列的黑色像素点的个数作为4个特征，最后统计所有黑色像素点的个数作为第13个特征。也就是说，画4道线，统计穿过的黑色像素的数目。可以得到4个特征。最后，将字符图像的全部黑色像素的数目的总和作为一个特征。十三点特征提取法有着极好的适应性，但是由于特征点的数目太少所以在样本训练的时候比较难收敛。
几个分形的matlab实现
几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
《应用计算方法教程》matlab作业二
6-1 试验目的计算特征值，实现算法 试验容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。 （1） 用MATLAB 函数“eig ”求矩阵全部特征值。 （2） 用幂法求A 的主特征值及对应的特征向量。 （3） 用基本QR 算法求全部特征值（可用MATLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。 原理 幂法：设矩阵A 的特征值为12n ||>||||λλλ≥???≥并设A 有完全的特征向量系12,,,n χχχ???(它们线性无关)，则对任意一个非零向量0n V R ∈所构造的向量序列1k k V AV -=有11()lim ()k j k k j V V λ→∞ -=， 其中()k j V 表示向量的第j 个分量。 为避免逐次迭代向量k V 不为零的分量变得很大（1||1λ>时）或很小（1||1λ<时），将每一步的k V 按其模最大的元素进行归一化。具体过程如下： 选择初始向量0V ，令1max(),,,1k k k k k k k V m V U V AU k m +===≥，当k 充分大时1111,max()max() k k U V χλχ+≈ ≈。 QR 法求全部特征值： 111 11222 111 ,1,2,3,k k k k k A A Q R R Q A Q R k R Q A Q R +++==????==??=???? ??????==?? 由于此题的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法——移位加速。迭 代格式如下： 1 k k k k k k k k A q I Q R A R Q q I +-=?? =+? 计算k A 右下角的二阶矩阵() () 1,1 1,() (),1 ,k k n n n n k k n n n n a a a a ----?? ? ??? 的特征值()()1,k k n n λλ-，当()()1,k k n n λλ-为实数时，选k q 为()()1,k k n n λλ-中最接近(),k n n a 的。 程序
Matlab实验报告：分形迭代
数学实验报告：分形迭代 练习1 1.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。 2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。 3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。 4.实验步骤： （1）Koch曲线 function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数 if (n==0) plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else a=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点a b=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点b c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);% koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合 end （2）Sierpinski三角形 function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数 if (n==0) fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc hold on; axis equal else a1=(b+c)/2; b1=(a+c)/2; c1=(a+b)/2; sierpinski(a,b1,c1,n-1); sierpinski(a1,b,c1,n-1); sierpinski(a1,b1,c,n-1); end （3）树木花草 function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数
计算方法_全主元消去法_matlab程序
%求四阶线性方程组的MA TLAB程序 clear Ab=[0.001 2 1 5 1; 3 - 4 0.1 -2 2; 2 -1 2 0.01 3; 1.1 6 2.3 9 4];%增广矩阵 num=[1 2 3 4];%未知量x的对应序号 for i=1:3 A=abs(Ab(i:4,i:4));%系数矩阵取绝对值 [r,c]=find(A==max(A(:))); r=r+i-1;%最大值对应行号 c=c+i-1;%最大值对应列号 q=Ab(r,:),Ab(r,:)=Ab(i,:),Ab(i,:)=q;%行变换 w=Ab(:,c),Ab(:,c)=Ab(:,i),Ab(:,i)=w;%列变换 n=num(i),num(i)=num(c),num(c)=n;%列变换引起未知量x次序变化for j=i:3 Ab(j+1,:)=-Ab(j+1,i)*Ab(i,:)/Ab(i,i)+Ab(j+1,:);%消去过程 end end %最后得到系数矩阵为上三角矩阵 %回代算法求解上三角形方程组 x(4)=Ab(4,5)/Ab(4,4); x(3)=(Ab(3,5)-Ab(3,4)*x(4))/Ab(3,3); x(2)=(Ab(2,5)-Ab(2,3)*x(3)-Ab(2,4)*x(4))/Ab(2,2); x(1)=(Ab(1,5)-Ab(1,2)*x(2)-Ab(1,3)*x(3)-Ab(1,4)*x(4))/Ab(1,1); for s=1:4 fprintf('未知量x%g =%g\n',num(s),x(s)) end %验证如下 %A=[0.001 2 1 5 1; 3 -4 0.1 -2 2;2 -1 2 0.01 3; 1.1 6 2.3 9 4]; %b=[1 2 3 4]'; %x=A\b; %x1= 1.0308 %x2= 0.3144 %x3= 0.6267 %x4= -0.0513
matlab模拟
1.1.1模拟技术 在许多数学方法中，一般都要用到解析论证和数值计算的技巧。但是，许多现实的系统是很复杂的，其中的随机性因素往往难以用数学公式表示出来，也就很难使用数学推导或数值计算机的手段来分析系统、预测系统的性能。因此，产生了对系统进行模拟的技术。 在使用计算机对系统进行模拟之前，一般要清楚模拟的一般步骤和方法。后面将从较小的模拟实例，对模拟技术进行简要的介绍。 模拟过程的一般过程为： （1）分析问题，收集资料。需要搞清楚问题要达到的目标，根据问题的性质收集有关随机性因素的资料。这里用得较多的知识为概率统计方面。 在这个阶段，还应当估计一下待建立的模拟系统的规模和条件，说明 哪些是可以控制的变量，哪些是不可控制的变量。 （2）建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部 考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如 果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有 必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单， 与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些 原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序 之前，要现画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语 言，编写模拟程序。模拟实现的工具较多，如数学软件类：Matlab、 Mathematica、Maple、MathCAD等，还有其它的高级语言工具，如： Visual C++、C++ Builder、Delphi、Borland C++3.1等。 （3）运行模拟程序，计算结果。为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序，还有就是增加模拟模型的时段次数。 （4）分析模拟结果，并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验。以便提出 合理的对策、方案。 以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。 1.1.2模拟时间 利用计算机进行模拟时，有两种控制模拟时间的方法。一种是固定时间增量法，另一种是可变时间增量法，又叫面向事件法。 固定时间增量法，是选用一段合适的时间作单位，然后每隔一个单位时间就计算一次有关参数的值，到达预定的模拟时间后，模拟程序结束。在编写这种程序时，一般可以建立一个“模拟时钟”变量。程序的主体框架一般时个大的循环，循环变量，则为模拟时间；在每个循环体内，就是对每个时段作处理。例如，有些排队论模型，可能就是以每隔一段时间（一天或者一个月）进行处理。 采用可变时间增量法编写的模拟程序也有一个“模拟时钟”变量，但它是在一个事件发生时，“模拟时钟”才向前推进。需要注意的是，该模拟方法每一步
MATLAB编程用两种方法模拟光学实验
MATLAB编程用两种方法模拟光学实验 摘要： 利用MATLAB软件编程实现了用衍射积分的方法对单缝衍射、杨氏双缝干涉、黑白 光栅衍射的计算机模拟；以及用傅立叶变换方法对简单孔径衍射、黑白光栅及正弦光栅夫 琅和费衍射的模拟。 关键词： MATLAB；衍射积分；傅立叶变换；计算机模拟 引言： 美国Mathworks公司推出的MA TLAB，是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、 仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件。本文介绍了通过MA TLAB软件编 程实现用衍射积分和傅立叶变换实现夫琅和费衍射计算机模拟的方法。 计算机模拟为衍射实验的验证提供一条简捷、直观的途径。从而加深了对物理原理、 概念和图像的理解。 正文： 大学教学课程中引入计算机模拟技术正日益受到重视，与Basic、C和Fortran相比，用MA TLAB软件做光学试验的模拟，只需要用数学方式表达和描述，省去了大量繁琐的编 程过程。下面来介绍利用MATLAB进行光学模拟的两种方法。 （一）衍射积分方法： 该方法首先是由衍射积分算出接收屏上的光强分布，然后根据该分布调制色彩作图，从而得到衍射图案。 1．单缝衍射。 把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果 的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD 编写程序如下，得到图1 lam=500e-9; a=1e-3;D=1; ym=3*lam*D/a; ny=51; ys=linspace(-ym,ym,ny); np=51; yp=linspace(0,a,np); for i=1:ny sinphi=ys(i)/D; alpha=2*pi*yp*sinphi/lam; 图1 单缝衍射的光强分布 sumcos=sum(cos(alpha)); sumsin=sum(sin(alpha)); B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2; end N=255; Br=(B/max(B))*N; subplot(1,2,1)
分形树__Matlab
%这是一个生成树的主函数，它的输入分别为每叉树枝的缩短比、树枝的偏角、生长次数. %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %%小提示：若用做函数，请将虚线框内语句删去。 function f=tree(w,dtheata,NN) %%%--------------------虚线框--------------------%%% clear;clc;clf;w=0.8;dtheata=pi/6;NN=8;%建议生长次数NN不要超过10 %%%--------------------虚线框--------------------%%% n=2^NN;%从主枝算起，共需生成2^NN个树枝 for NNK=1:n x1=0; y1=0; r1=1; theata1=pi/2; dataway=ten2twoN(NNK,NN); %把每一个树枝的编号转化为一个NN位的二进制数 for NNL=1:NN if dataway(NNL)==0 [x2,y2,r2,theata2]=antmoveleft(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%若路径数组上对应的数字为0，则向左生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) else [x2,y2,r2,theata2]=antmoveright(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%否则，数字为1，向右生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) end end end hold off %--------------------------------------------------------------------------
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟 ―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告 物电05级1A 班 张丹伟 20050003101 摘要：本文利用数学软件MATLAB 对Lorenz 系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同 时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。 关键词：混沌； 微分方程； MA TLAB ； 引言． 混沌探秘 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。 一． 混沌的基本概念 1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。 2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。 3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。 4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点0x , 若满足当 t →∞时, 轨迹0()x t x →, 则称0x 为不动点。
王能超 计算方法——算法设计及MATLAB实现课后代码
第一章插值方法 1.1Lagrange插值 1.2逐步插值 1.3分段三次Hermite插值 1.4分段三次样条插值 第二章数值积分 2.1 Simpson公式 2.2 变步长梯形法 2.3 Romberg加速算法 2.4 三点Gauss公式 第三章常微分方程德差分方法 3.1 改进的Euler方法 3.2 四阶Runge-Kutta方法 3.3 二阶Adams预报校正系统 3.4 改进的四阶Adams预报校正系统 第四章方程求根 4.1 二分法 4.2 开方法 4.3 Newton下山法 4.4 快速弦截法 第五章线性方程组的迭代法 5.1 Jacobi迭代 5.2 Gauss-Seidel迭代 5.3 超松弛迭代 5.4 对称超松弛迭代 第六章线性方程组的直接法 6.1 追赶法 6.2 Cholesky方法 6.3 矩阵分解方法 6.4 Gauss列主元消去法
第一章插值方法 1.1Lagrange插值 计算Lagrange插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：（文件名：Lagrange_eval.m）function [y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0) %X,Y是已知插值点坐标 %x0是插值点 %y0是Lagrange插值多项式在x0处的值 %N是Lagrange插值函数的权系数 m=length(X); N=zeros(m,1); y0=0; for i=1:m N(i)=1; for j=1:m if j~=i; N(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j)); end end y0=y0+Y(i)*N(i); end 用法》X=[…];Y=[…]; 》x0= ; 》[y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0) 1.2逐步插值 计算逐步插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：（文件名：Neville_eval.m）function y0=Neville_eval(X,Y,x0) %X,Y是已知插值点坐标 %x0是插值点 %y0是Neville逐步插值多项式在x0处的值 m=length(X); P=zeros(m,1); P1=zeros(m,1); P=Y; for i=1:m P1=P; k=1; for j=i+1:m k=k+1;
Newton分形的原理及Matlab实现
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/f712580451.html, Ｎｅｗｔｏｎ分形的原理及Ｍａｔｌａｂ实现 作者：张健徐聪全付勇智 来源：《电脑知识与技术》2009年第24期 摘要:详细推导了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,用MATLAB编制程序实现了Newton迭代算法,得到了一些奇异、绚丽的分形图形。对《数学实验》课程有一定的参考价值。 关键词:Newton迭代法;分形;Matlab;数学实验 中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)24-6997-03 The Principles of Newton Fractal and it's Realization Using MATLAB ZHANG Jian, XU Cong-quan, FU Yong-zhi (Department of Basic Courses, Southwest Forestry College, Kunming 650224, China) Abstract: The Principles and formulas of Newton fractal was explained,fractal graphics of Newton iteration was created using Matlab. Key words: newton iteration; fractal; Matlab; mathematical experimental 分形是非线性科学的一个重要分支,应用于自然科学和社会科学的众多领域。其中,分形图形以其奇异、绚丽多彩的特点,广泛应用于纺织印染、广告设计、装潢设计、计算机美术教学 等领域[1]。 很多分形图形都是用迭代的方式实现的,Newton迭代法就是其中的一种。由Newton迭代 法产生的分形图形称为Newton分形[2]。很多文献都对Newton分形进行了介绍,但都没有详细的计算公式和算法说明,读者很难编制相应程序。本文详细介绍了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,设计了相应的实现算法,并用Matlab编制程序实现了Newton分形的绘制,生成了一些奇异、瑰丽的分形图形。
(整理)matlab16常用计算方法.
常用计算方法 1．超越方程的求解 一超越方程为 x (2ln x – 3) -100 = 0 求超越方程的解。 [算法]方法一：用迭代算法。将方程改为 01002ln()3 x x =- 其中x 0是一个初始值，由此计算终值x 。取最大误差为e = 10-4，当| x - x 0| > e 时，就用x 的值换成x 0的值，重新进行计算；否则| x - x 0| < e 为止。 [程序]P1_1abs.m 如下。 %超越方程的迭代算法 clear %清除变量 x0=30; %初始值 xx=[]; %空向量 while 1 %无限循环 x=100/(2*log(x0)-3); %迭代运算 xx=[xx,x]; %连接结果 if length(xx)>1000,break ,end %如果项数太多则退出循环（暗示发散） if abs(x0-x)<1e-4,break ,end %当精度足够高时退出循环 x0=x; %替换初值 end %结束循环 figure %创建图形窗口 plot(xx,'.-','LineWidth',2,'MarkerSize',12)%画迭代线'.-'表示每个点用.来表示，再用线连接 grid on %加网格 fs=16; %字体大小 title('超越方程的迭代折线','fontsize',fs)%标题 xlabel('\itn','fontsize',fs) %x 标签 ylabel('\itx','fontsize',fs) %y 标签 text(length(xx),xx(end),num2str(xx(end)),'fontsize',fs)%显示结果 [图示]用下标作为自变量画迭代的折线。如P0_20_1图所示，当最大误差为10-4时，需要迭代19次才能达到精度，超越方程的解为27.539。 [算法]方法二：用求零函数和求解函数。将方程改为函数 100()2ln()3f x x x =-- MATLAB 求零函数为fzero ，fzero 函数的格式之一是 x = fzero(f,x0) 其中，f 表示求解的函数文件，x0是估计值。fzero 函数的格式之二是 x = fzero(f,[x1,x2])
基于MATLAB的数字模拟仿真..
基于MATLAB的数字模拟仿真 摘要：本文阐述了计算机模拟仿真在解决实际问题时的重要性，并较为系统的介绍了使用计算机仿真的原理及方法。对于计算机模拟仿真的三大类方法：蒙特卡罗法、连续系统模拟和离散事件系统模拟，在本文中均给出了与之对应的实例及基于MATLAB模拟仿真的相关程序，并通过实例深入的分析了计算机模拟解决实际问题的优势及不足。 关键词：计算机模拟；仿真原理；数学模型；蒙特卡罗法；连续系统模拟；离散事件系统模拟 在实际问题中，我们通常会面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，这样进行处理过后的模型与我们面临的实际问题可能相差很远，以致求解得到答案根本无法应用，这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。本文通过对计算机模拟仿真进行系统地介绍，寻求利用模拟仿真来解决问题的一般方法，并深入探讨了这些方法的长处和不足。我们定义一些具有特定的功能、相互之间以一定的规律联系的对象所组成的总体为一个系统，模拟就是利用物理的、数学的模型以系统为问题解决对象，来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。模拟的基本思想是建立一个实验的模型，这个模型包含所研究系统的主要特点，这样做的目的就是通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息。另外，系统的运行离不开算法，仿真算法是将系统模型转换成仿真模型的一类算法，在数字仿真模型中起核心和关键作用。 1、所谓计算机仿真 计算机仿真是利用计算机对一个实际系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测该系统的行为效果。它是解决较复杂的实际问题的一条有效途径。针对一个确定的系统，根据运行的相似原理，利用计算机来逼真模仿研究对象（研究对象可以是真实的系统，也可以是设想中的系统），计算机仿真是将研究对象进行数学描述，建模编程，且在计算机中运行实现。 对比于物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难的诸多缺陷，计算机模拟不怕破坏、易修改、可重用，有更强的系统适应能力。但是计算机模拟也有缺陷，比如受限于系统建模技术，即系统数学模型不易建立、程序调试复杂等。 计算机仿真可以用于研制产品或设计系统的全过程中，包括方案论证、技术指标确定、设计分析、生产制造、试验测试、维护训练、故障处理等各个阶段。 2、计算机仿真的目的 对于一个系统，是否选择进行计算机模拟的问题，基于判断计算机模拟与非计算机模拟方法孰优孰劣的问题。归纳以下运用计算机模拟的情况： （1）在一个实际系统还没有建立起来之前，要对系统的行为或结果进行分析研究时，计算机仿真是一种行之有效的方法。 （2）在有些真实系统上做实验会影响系统的正常运行，这时进行计算机模拟就是为了避免给实际系统带来不必要的损失。如在生产中任意改变工艺参数可能会导致废品，在经济活动中随意将一个决策付诸行动可能会引起经济混乱。 （3）当人是系统的一部分时，他的行为往往会影响实验的效果，这时运用系统进行仿真研究，就是为了排除人的主观因素的影响。
matlab用于计算方法的源程序
1、Newdon迭代法求解非线性方程 function [x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解线性方程 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:原函数，定义为内联函数 ?:函数的倒数，定义为内联函数 %x0:初始值 %eps:误差限 % %应用举例： %f=inline('x^3+4*x^2-10'); ?=inline('3*x^2+8*x'); %x=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1) if nargin==3 eps="0".5e-6; end tic; k=0; while 1 x="x0-f"(x0)./df(x0); k="k"+1; if abs(x-x0) < eps || k >30 break; end x0=x; end t=toc; if k >= 30 disp('迭代次数太多。'); x="0"; t="0"; end
2、Newdon迭代法求解非线性方程组 function y="NewdonF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数 %定义是必须定义为列向量 y(1,1)=x(1).^2-10*x(1)+x(2).^2+8; y(2,1)=x(1).*x(2).^2+x(1)-10*x(2)+8; return; function y="NewdonDF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数的导数 y(1,1)=2*x(1)-10; y(1,2)=2*x(2); y(2,1)=x(2).^+1; y(2,2)=2*x(1).*x(2)-10; return; 以上两个函数仅供下面程序的测试 function [x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解非线性方程组 %[x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:方程组（事先定义） ?:方程组的导数（事先定义） %x0:初始值 %eps:误差限 % %说明：由于虚参f和df的类型都是函数，使用前需要事先在当前目录下采用函数M文件定义% 另外在使用此函数求解非线性方程组时，需要在函数名前加符号“@”，如下所示 % %应用举例： %x0=[0,0];eps=0.5e-6; %x=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
几个分形matlab实现
几个分形的matlab实现 摘要：给出几个分形的实例，并用matlab编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感 关键字：Koch曲线实验图像 一、问题描述： 从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch分形曲线。 二、算法分析： 考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设 1 P和 5 P分别为 原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点 2 P， 3 P， 4 P。显然 2 P位 于线段三分之一处， 4 P位于线段三分之二处， 3 P点的位置可看成是由 4 P点以 2 P点为轴心，逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 ?? ? ? ? ? ? ? - = ) 3 cos( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 cos( π π π π A 实现。 算法根据初始数据（ 1 P和 5 P点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个2 5?矩阵，矩阵的第一行为 1 P的坐标，第二行为 2 P的坐标……，第五行为 5 P的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标，第二列元素分别为5个结点的y坐标。 进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k次迭代产生的结点数为k n，第1 + k次迭代产生的结点数为 1+ k n，则 k n和 1+ k n中间的递推关系为3 4 1 - = +k k n n。
三、实验程序及注释： p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录： 由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线： 图2 五、注记： １．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：
0计算方法及MATLAB实现简明讲义课件PPS8-1欧拉龙格法
第8章 常微分方程初值问题数值解法 8.1 引言 8.2 欧拉方法 8.3 龙格-库塔方法 8.4 单步法的收敛性与稳定性 8.5 线性多步法
8.1 引 言 考虑一阶常微分方程的初值问题 00(,),[,],(). y f x y x a b y x y '=∈=（1.1） （1.2） 如果存在实数 ，使得 121212(,)(,).,R f x y f x y L y y y y -≤-?∈（1.3） 则称 关于 满足李普希茨(Lipschitz ）条件， 称为 的李普希茨常数（简称Lips.常数）. 0>L f y L f (参阅教材386页)
计算方法及MATLAB 实现 所谓数值解法，就是寻求解 在一系列离散节点 )(x y <<<<<+121n n x x x x 上的近似值 . ,,,,,121+n n y y y y 相邻两个节点的间距 称为步长. n n n x x h -=+1 如不特别说明，总是假定 为定数， ),2,1( ==i h h i 这时节点为 . ) ,2,1,0(0 =+=i nh x x n 初值问题(1.1),(1.2)的数值解法的基本特点是采取 “步进式”. 即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 00(,),[,], (). y f x y x a b y x y '=∈=
描述这类算法，只要给出用已知信息 ,,,21--n n n y y y 计算 的递推公式. 1+n y 一类是计算 时只用到前一点的值 ，称为单步法. 1+n y n y 另一类是用到 前面 点的值 ， 1+n y k 11,,,+--k n n n y y y 称为 步法. k 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解 与 精确解 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算 稳定性等问题. n y )(n x y 首先对方程 离散化，建立求数值解的递推 公式. ),(y x f y ='
几个分形的matlab实现资料
几个分形的matlab 实现 摘要：给出几个分形的实例，并用matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的 数学美感 关键字：Koch 曲线 实验 图像 一、问题描述： 从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。 二、算法分析： 考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600 而得。旋转由正交矩阵 ?????? ? ?-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。 算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个25?矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。 进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。 三、实验程序及注释：
p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录： 由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线： 图2 五、注记： １．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线： 图3
用MATLAB实现结构可靠度计算.
用MATLAB实现结构可靠度计算 口徐华…朝泽刚‘u刘勇‘21 。 (【l】中国地质大学(武汉工程学院湖北?武汉430074; 12】河海大学土木工程学院江苏?南京210098 摘要:Matlab提供了各种矩阵的运算和操作,其中包含结构可靠度计算中常用的各种数值计算方法工具箱,本文从基本原理和相关算例分析两方面,阐述利用Matlab,编制了计算结构可靠度Matlab程.序,使得Matlab-语言在可靠度计算中得到应用。 关键词:结构可靠度Matlab软件最优化法 中图分类号:TP39文献标识码:A文章编号:1007-3973(200902-095-Ol 1结构可靠度的计算方法 当川概率描述结构的可靠性时,计算结构可靠度就是计算结构在规定时问内、规定条件F结构能够完成预定功能的概率。 从简单到复杂或精确稃度的不同,先后提出的可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法以及其他方法。一次■阶矩方法又分为。I-心点法和验算点法,其中验算点法足H前可靠度分析最常川的方法。 2最优化方法计算可靠度指标数学模型 由结构111n个任意分布的独立随机变量一,x:…以表示的结构极限状态方程为:Z=g(■.托…t=0,采用R-F将非正念变量当罱正态化,得到等效正态分布的均值o:和标准差虹及可靠度指标B,由可靠度指标B的几何意义知。o;辟
开始时验算点未知,把6看成极限状态曲面上点P(■,爿:---37,的函数,通过优化求解,找到B最小值。求解可靠皮指标aJ以归结为以下约束优化模型: rain睁喜t华,2 s.,.Z=g(工i,x2’,…,工:=0 如极限状态方栉巾某个变最(X。可用其他变量表示,则上述模型jfIJ‘转化为无约束优化模型: 。。B!:手f生丛r+阻:坚:坠:盐尘}二剐 t∞oY?’【叫,J 3用MATLAB实现结构可靠度计算 3.1Matlab简介 Matlab是++种功能强、效率高、便.丁.进行科学和工程计算的交互式软件包,汇集了人量数学、统计、科学和工程所需的函数,MATI.AB具有编程简甲直观、用户界mf友善、开放性强等特点。将MATLAB用于蒙特卡罗法的一个显著优点是它拥有功能强大的随机数发生器指令。 3.2算例 3.2.I例:已知非线形极限状态方程z=g(t r'H=567f r-0.5H2=0’f、r服从正态分布。IIf=0.6,o r=0.0786;la|_ 2.18,o r_0.0654;H服从对数正态分布。u H= 3218,O。 =0.984。f、r、H相互独立,求可靠度指标B及验算点(,,r’,H‘。 解:先将H当量正念化:h=ln H服从正态分布,且 ,‘-““了:等专虿’=,。49?口二-、『五ir面_。。3