北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案

课程编号：H0172103北京理工大学2017-2018学年第一学期

工科数学分析（上）期末试题(A 卷)

座号_______班级_____________学号_____________姓名_____________

(试卷共6页,十个大题.解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)

1．若e

x x kx x 1

)2(

lim =-∞

→ ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+=

则=dx

dy . 3.=-+?dx xe x e x x 1

02

)

1()

1(. 4.=?

xdx x sin 2

.

5.设x y y cos =+'，则=y .

二、计算题（每小题5分，共20分）

1.求极限).2

sin 211(sin lim 3n

n n n -∞→

2.设x x y x 2sin sin +=，求dy .

3.计算dx x

x x x ?

-++1

1

2

211cos 2-.

4.求)cos(y x dx

dy

+=的通解.

三、（8分）已知0)-1(lim 2

=-+-+∞

→b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值.

四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+=

>>+n b b

b b b b n

n n 证明:数列{}n b 极限存在；并求此极限.

五、（8分）求函数2)

1(42

-+=

x

x y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.

六、（8分）设曲线2x y =，x y =围成一平面图形D .

(1) 求平面图形D 的面积；

(2) 求平面图形D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.

七、（8分）设一长为l 的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为m

的质点，质点与该端的距离为a . （1）求细杆与质点间的引力； （2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所做的

功.

八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f

证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf .

九、（8分）设?-+

=x

x

dt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式.

十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且

，5)1(=f ，1)5(=f .12)6(=f

证明：存在)6,1(∈ξ，使22)()(=-+'ξξξf f 成立.

北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷)

标准答案及评分标准2018年1月12日

一、填空（每小题4分，共20分）

1．21

2．42

1x

x - 3.)(，不收敛+∞∞

4.C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 2

5.x ce x x y -++=

)cos (sin 2

1

二、计算题（每小题5分，共20分）

1.解：)2

sin 211(sin lim 3x

x x x -∞→

3

12sin 211sin lim x x x x -=∞→x

t 1=令 30)

2sin(21

sin lim t

t t t -=→…………. 2分 20cos 1sin lim t t t t t -?=→21=………….4分

21

)2sin 211(sin

lim 3=-∴∞→n n n n ………….5分

注：此题也可以用泰勒公式。 2.解：x x e dx

dy x x cos sin 2)('

ln sin +=…………. 2分 x x x e x x 2sin )ln (sin 'ln sin +?=

x x x x x

x

x 2sin )ln (cos sin sin ++?=………….4分 因此，dx x x x x dy x

x

x )2sin )ln (cos (sin sin ++?=. ………….5分 3.解： 原式?

?

---++-+=

1

1

2

1

1

2

211cos 112dx x

x x dx x

x dx x

x ?

-+=1

2

2

114………….2分

dx x x x ?----=1

0222)

1(1)114（ dx x ?--=1

2144

π

-=4………….5分

4.解: 令y x u +=，则

1-=dx du dx dy ………….2分 代入原方程，得：2

cos 2cos 12u u dx du =+= 分离变量法得：c x u

+=2

tan ………….4分

将y x u +=代入上式，

得通解为：c x y

x +=+2

tan

.………….5分 三、解: 由条件知：01lim 2=--+-∞→x

b

ax x x x 得 11

1-1lim 1lim

22=+=+-=+∞→+∞

→x

x x x x a x x …………. 4分 )1(lim 2x x x b x -+-=∞→…………. 6分

)11(

lim 2

x

x x x x ++-+-=∞

→

21)1

1

111

1-(lim 2-=++-+

=∞→x

x x x …………. 8分

四、解:,)(211111b b b

b b b b b n n n n n =?≥+=----…………. 2分

.1)1(21)1(2121=+≤+=+b

b

b b b b n n n 所以数列{}n b 单调递减有下界，n n

b ∞

→lim 存在.…………. 4分 设,lim a b n n =∞→则有),(21a

b

a a +=得,

b a =.b a -=（舍去） 所以，.lim b b n

n =∞

→…………. 6分

五、解:定义域0≠x

3)24x x y +-='（，2 01-=='x y 得；4

38x

x y ）

（+='' ，3 02-==''x y 得. …………. 2分

极小值

间断点

)

(

2)2(

lim 2-=-∞→x

x , 有水平渐近线：.2 -=y +∞=-+→)2)1(4(lim 20x x x , 有垂直渐近线：.0 =x …………. 8分 六、解：（1）画草图，解交点),0,0()1,1( ?-=1

2)(dx x x A ………….2分

3

1

=

………….4分 （2）??

-=1

41

2)(dy y dy y V ππ

………….6分

π10

3

=

………….8分 七、解: 建立坐标系, 使细杆位于区间[0,]l 上, 质点位于l a +处.

(1)2

()m dx

dF G a l x μ=+-………….2分

2011().()()

l Gm Gm l F dx Gm a l x a a l a a l μμμ==-=+-++?………….4分

(2) 当质点向右移至距杆端()x x a ≥处时，细杆与质点间的引力为

().()

Gm l

F x x x l μ=+

将质点由a 处移到b 处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作b W 和W ∞.

(),()Gm ldx

dW F x dx dx x x l μ==+………….6分

积分得11()

()()ln ,()()

b b b b a a a Gm l b a l W F x dx dx Gm dx Gm x x l x x l a b l μμμ+===-=+++??? ()lim lim ln ln .()b b b b a l a l

W W Gm Gmu a b l a μ∞→+∞→+∞++===+………….8分

八、解：由麦克劳林公式, ,!

3)(!2)0()0()0()(3

)3(2'''

x f x f x f f x f η+++=…………….2分 其中η在0与x 之间，从而,01,!

3)(!2)0()0()1(011)3(''<<--+=-=ξξf f f f

,10,!

3)

(!2)0()0()1(122)3(''<<++==ξξf f f f

两式相减，得.6)()(2)3(1)3(=+ξξf f …………….5分 )(3x f ）（在)1,1(],[21-?ξξ上连续，所以)()3(x f 在],[21ξξ上必有最小值m 和最大值,M 从而,2

)

()(2)3(1)3(M f f m ≤+≤

ξξ…………….7分 由介值定理，至少存在一点，)1,1(],[21-?∈ξξξ使得 .32

)

()()(2)3(1)3()

3(=+=ξξξf f f

…………….8分

九、解：???-+=-+

=x x

x

x

x

dt t tf dt t f x xe

dt t f t x xe x f 0

0)()()()()(

上式两端对x 求导，得：?++='x

x

dt t f e x x f 0

)()1()(…………….2分

再对x 求导得：)()2()(x f e x x f x

++=''，

则)(x f 满足初值问题：???='=+=-''1

)0(,0)0()2()()(f f e x x f x f x

…………….4分

对应齐次方程的通解为：x x e C e C x Y -+=21)(

设非齐次方程的特解为：x e b ax x y )(*+=,代入原方程，得：2224+=++x b a ax

解得：.)3(4

1

,43,412*x e x x y b a +===…………….6分

通解为：x x

x

e x x e

C e C x y )3(4

1)(2

21+++=- 由初始条件，得：.8

1,8121-==C C

所以.)3(418181)(2x x x e x x e e x f ++-=-…………….8分

十、证明: 构造辅助函数)2)(()(x x f e

x F x

-=……………. 2分

有,03)2)1(()1(>=-=e f e F .09)10)5(()5(5

5

<-=-=e f e F )(x F 在[]5,1上连续,由零点定理可知,至少存在一点),5,1(∈η 使得.0)( =ηF …………….4分

又因为)(x F 在[]6,η上连续,在），（6η内可导,且

),(0)126(()6( 6ηF f e F ==-=）

由罗尔定理可知,存在，)6,1()6,(?∈ηξ使0)(='ξF ，即

22)()(=-+'ξξξf f …………….6分