(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）??????=??
?
???-=01,0101B A （2）????
?
?????-=??????????---=111001,342100010B A （3）????
??????-=??????????---=020011,100030013B A （4）?????
???????=?????
?
???
???=1110,0
000
00
001
11
1
1
B A λλλλ
【解】： (1)
[]2,1011==??
????-==n rankU AB B
U c c ，所以系统完全能控。 (2)
[
]
????
?
?????---==7
111111010
012Λ
B A AB
B
U c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。 （3）
A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的
B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。 （4）
A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。 可以求一下能控判别阵。
[
]
2,1113210312
11
31211312
11211
3
2
=???
?
??
?
????
?
??==c c rankU B A B
A A
B B
U λλλλλλ
λλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ???
?
???????????-=??????????-+??????????---=x
y u x x 011101020011100030013&(2) []??
?
??
??=??????????+??????????---=x y u x x 0011006116100010
&
【解】： （1）
已知??
??
?
?????-=????
??????---=020011,10003001
3B A ，??????-=011101C ，??????=0000D []
??
?
?
??--=Λ
Λ
111300002B CA CAB
CB D
前两列已经使[]
22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
（2）
系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C 满秩，且输出维数m 小于状态维数n ，所以状态能控则输出必然能控。
2-3-3 判断下列系统的能观性。
(1) ???
?
???????????-=??????????---=x
y x x 121110342100010&；(2) []?????=??
????=x y x x 110111&； (3) []??
???
??=???????
???-=x y x x 1103000
2
001
2&；（4）[]??
?????=???????
???--=x y x x 411100040004& 【解】： （1）
已知??????-=??
??
??????---=121110,342100010
C A
????
??
???
?
???
????
???-=??????????=M 442121
11020CA CA C V 前三行已使30==n rankV ，
所以系统完全能观（后续元素不必计算）。
（2）
[]11,01
11=???
?
??=C A 2,12
1100==??
?
?
??=??????=n rankV CA C V 所以系统完全能观。
（3）
状态空间表达式为约旦标准型，且C 阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。 （4）
状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。
也可求
2,0,
41616444411
0020==????
??????--=??????????=rankV V CA CA C V
所以系统不完全能观。
3-3-4 设系统状态方程为Bu Ax x +=&，若1x 、2x 是系统的能控状态，试证状态21x x βα+也是能控的（其中α、β为任意常数）。
【解】： 设：
[]x Cx y βα==
因为，状态1x 和2x 能控，所以至少有
[
]
21=-B A AB B
rank n Λ
。
而由系统输出能控的判别阵得：
[
][
]
1)(12==-B A AB B
C rank B CA CAB
CB
rank n Λ
，（C 阵又满秩）。
所以[]x Cx y βα==一定是能控的。
3-3-5 设系统∑1和∑2的状态空间表达式为
[]???=+-=?????=??????+??????--=∑
∑
22
2
222
11
11112:12104310:x y u x x x
y u x x && （1）试分析系统∑1和∑2的能控性和能观性，并写出传递函数；
（2）试分析由∑1和∑2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数； （3）试分析由∑1和∑2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。 【解】： （1）
2,2312
;2,4110:1=??
????--==??????-=∑
o o c c rankV V rankU U
???=+-=∑
2
22222
2:x y u x x
& 两个子系统既能控又能观。
（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO 系统，传递函数相同）： 系统有下关系成立：
u u =1，12y u =，2y y =
??
????=21x x x [][]x
x C y u x u b x A C b A x
1000010212043010
002121
21==????
??????+??????????---=??
?
???+??????=& [
]
;2,41013414102=??
??
?
?????---==c c rankU b A Ab b
U
3,4472121002=?
????
????
?---=??????????=o o rankV CA CA C V
串联后的系统不能控但能观。
传递函数为：
1111212212)()()()()(b A sI C b A sI C s G s G s G ----==
[])
34(1
)2)(34(21043112]1)2(1[22
1
1++=++++=???????
?
?
???+-??+?=--s s s s s s s s s （3）并联后的系统数学模型为： 系统有下关系成立：
u u u ==21，21y y y +=
并联后的状态空间表达式为：
[][]x
x C C y u x u b b x A A x
112110200043010
0021
2121==????
??????+??????????---=??
????+??????=& [
]
;3,42113414102
=??
??
?
?????---==c c rankU b A Ab b
U 3,4562231122=?????
???
?
?---=??????????=o o rankV CA CA C V
并联后系统既能控又能观。
传递函数为：
2122111121)()()()()(b A sI C b A sI C s G s G s G ---+-=+=
[]611678221)34(2]1)2(1[10431122322
1
1
+++++=+++++=?+?+??
?????
?
?
???+-=--s s s s s s s s s s s s
【解】：
系统的传递函数可以写成：
)
6)(1)(3(18
2710)(23++++=
++++=
s s s a
s s s s a
s s G
(1)
当=a 1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。 (2)
在上述a 的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式； 能控标准型为：
[]??
?
????=??????????+??????????---=x a y u x x 01100102718100010& (3)
在上述a 的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 能观标准型为：
[]??
?
??
??=?????
?????+??????????---=x
y u a x x 10001101027011800&
3-3-7 已知系统的状态空间表达式为 []??
?
??
??=??????????+??????????=x c b a y u c b a x x λλλ000001&
试问能否选择常数a 、b 、c 使系统具有能控性和能观性。 【解】：
??
??
?
?????++=2222λλλλλλλc c c b b b b a b a a U c
在上述行列式中，无论a 、b 、c 如何取值，都有两行元素线性相关，则0=c U ，2=c rankU 。
????
?
?????++=22
202λλλλ
λλλ
c b a a c b a a c b a V
在上述行列式中，无论a 、b 、c 如何取值，都有两列元素线性相关，则00=V ，20=rankV 。
所以，无论常数a 、b 、c 取何值，系统都不能控和不能观。
3-3-8 系统的结构如题3-3-8图所示，图中a 、b 、c 、d 均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a 、b 、c 、d 应满足的条件。
题3-3-8图
【解】：
系统状态空间表达式为：
[]??
???=??????+??????---=??????=+--=++-=x
y u x b d c a x x y u bx dx x u cx ax x 01111212211&&&
系统能控的条件为：
[]011≠-+--=?
?
????--+-==c a b d U b d c a Ab b
U c c 。
系统能观的条件为：
0,010≠=??
????-=??????=c V c a cA c V o 。
3-3-9 设系统
∑),(C A 的系数矩阵为
[]
00,01
001
1321
c C a a a A =????
?
?????---=
其中1321,,,c a a a 为实数。试问系统∑),(C A 能观的充要条件是什么？要求用A 、C 中的参
数具体表示。 【解】：
.
0,0000
1
00
3123310313
212
21321
311311
3121121
21131
21
11
20≠≠?≠-=????
??????-----=????????
??-----=??????????=a c a c V a a a a a a a a a a c c a a c a c a a c
a c a c a c a c a c CA CA C V
3-3-10 已知系统的状态空间表达式为 []??
???=??????+??????--=x
c c y u b b x x 21213210&
欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数2121,,,c c b b 应满足的关系。 【解】：
2,1,023)(212-=-==++=-=λλλλλλA I f
A 为友矩阵，且特征值互异，所以
[]??
?
???--=??
?
???--=????
??==-1112,211111
121
21
P P P P λλ x P x =
[]??
???
--=??????--++??????--=x
c c c c y u b b b b x x 21212121222001& 显然，当状态2x 既能控又能观，而状态1x 既不能控又不能观的条件是：
??
?≠--=+≠-=-0,0202,012212121b b b b c c c c ???≠-=≠=?02012
21b b c c 当状态1x 既能控又能观，而状态2x 既不能控又不能观的条件是：
???≠+=--≠-=-02,00,022*******b b b b c c c c ??
?≠-=≠=?00
212
21b b c c
3-3-11 设n 阶系统的状态空间表达式为??
?=+=Cx
y bu Ax x
&，试证：
（1）若Cb=0，CAb=0，CA 2
b=0，……CA n-1
b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。
（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA 2b=0，……CA n-2b=0，CA n-1
b ≠0则系统总是又能控又能观的。 【解】：
（1）以三阶系统为例：
[
]
?
????????
?=???
???????=????
?
??????=?b CA b CA b CA b CA b CA b CA b CA b CA CAb b CA CAb Cb b A Ab b
CA CA C U V c 433432322220000000
0,000=?=?c c U V U V
所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。
（2）以三阶系统为例：
[
]
?
??????
??
?=??????????=????
?
??????=?b CA b CA k b CA k k b CA b CA b CA b CA b CA CAb b CA CAb Cb b A Ab b
CA CA C U V c 433432322220000 ,0,00)(03230≠≠?≠==?c c U V b CA k U V
所以该系统既能控又能观。
3-3-12 已知系统的微分方程为u y y y y 66116=+++&&&&&&，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
【解】：
因为)(])([)()(11s G b A sI C C A sI b s G T T T T T 原系统对偶=-=-=--
又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。
61166
)(23
+++=s s s s G 系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。 能控标准型为：
[]??
?
??
??=?????
?????+??????????---=x
y u x x 006100611610001
0&
能观标准型为：
[]??
?
??
??=????
?
?????+??????????---=x
y u x x 1000066101101600&
3-3-13 已知系统的状态方程为u x x
??
?
???+??????--=112101&，试求出它的能控标准型。 【解】：
[]21,1111=<=??
?
???--==n rankU Ab b
U c c 。 所以系统不能控，不存在能控标准型。
3-3-14 已知系统的状态空间表达式为 []??
???-=???
???-=x y x x
114201&试求出它的能观标准型。
【解】：
判系统的能观性：
2,431100=??
????--=??????=rankV CA C V
所以系统能观。 方法之一： ①求变换阵
[][]?
?
?
???--=??????==?
?
?
???=??????==--1112,21111110,1011
0101110T AT T T V T AT T T
②设x T x 0=对原状态空间表达式做线性变换得：
[]??
???=??????-=x y x x 105140& 方法之二：
依据特征多项式45)(2+-=-=s s A sI s f 直接可以写出能观标准型的A ，C 阵。
??
????-=5140A ，[]10=C 。
【解】：
系统的传递函数可以写成：
13
4523
486)(222++++=
++++=
s s s s s s s s G
传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。 能控标准型为：
[]??
???+=??????+??????--=u x y u x x 25104310& 能观标准型为：
[]??
???+=??????+??????--=u x y u x x 10254130&
3-3-16 已知完全能控系统的状态方程为u x x
??
?
???+?
?????-=100110&，试问与它相应的离散化方程)(sin cos 1)(cos sin sin cos )1(k u T T k x T T T T
k x ???
???-+??????-=+是否一定能控。 【解】：
已知)(sin cos 1)(cos sin sin cos )1(k u T T k x T T
T T
k x ??
?
???-+????
??-=+， 离散系统完全能控的条件为c M 矩阵满秩。
而[]?
???
??
??+--+--==T T T T T T T T T GH H
M c sin cos )cos 1(sin sin sin )cos 1(cos cos 12，所以系统是否能控，取决
于采样周期T 的取值使能控判别阵满秩。
[]???
?
??
??+-+--==T T T T
T T T T GH H
M c sin cos 2sin sin sin )cos 1(cos cos 12
)1(cos sin 2-=T T M c
当),2,1(n k k T Λ=≠π时，2)(=c M rank 离散化方程也是能控的。
3-3-17 试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。
（1）[]111,100,340010121-=??
???
?????=??????????--=C b A （2）[]111,100,041020122-=????
?
?????=??????????----=C b A
【解】：
（1）
①按能控性进行结构分解
[
]
2,9310004102=????
??????--==c c rankU b A Ab
b
U
所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵c T 。
??????????-=031100010c T ，????
??????-=-010*******
c T
按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]?
?
?
???-=??????????+????????????????--=??????c c c c
c c x x y u x x x x 121001100241230&&
②按能观性进行结构分解
2,591231111020=????
?
?????---=??????????=rankV CA CA C V
所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵10-P 。
????
??????--=-0012311111
0P ，??????????----=21311210
00P 按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]?
?
?
???=?
????
?????+????????????????--=??????000000001021111043010x x y u x x x x &&
（2）
①按能控性进行结构分解
[
]
2,1010002102=????
??????--==c c rankU b A Ab
b
U
所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵c T 。
????
??????-=??????????-=-010001100,0011000101
c c T T
按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]?
?
?
???--=??????????+????????????????-----=??????c c c c
c c x x y u x x x x 111001*********&&
②按能观性进行结构分解
2,121101111020=????
?
?????---=??????????=rankV CA CA C V
所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵10-P 。
????
?
?????----=??????????---=-110011100,00110111101
0P P
按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]?
?
?
???=?
?????????-+????????????????-----=??????000000001011112032010x x y u x x x x &&
3-3-18 试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。 （1）[]0103,2100,42
14020100
32000
1=?????
?
??????=??
?????
??
???----=C b A ； （2）[]211,221,102322001=??
??
?
?????=??????????-=C b A 。 【解】：
（1）
系统的特征方程为：
0)1)(2)(3)(4()(=-++-=-=λλλλλλA I f
化为对角标准型，其变换阵为：
?????
?
?
??
???----=??
???????????
????
?-=-0001
010333.00015.01333
.01429.0127.1,1817317
1
1311
00210
1010
001
P P 化成对角标准型为：
[]x
y u x x 333.3100010667.1100
002000030000
4=?????
?
??????+???????
??
???--=& 可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。
其中3x 为能控能观的状态变量co x ；1x 为能控不能观的状态变量o c x ；4x 为不能控能观的状态变量o c x ；2x 为不能控不能观的状态变量o c x
将上述方程按co x ，o c x ，o c x ，o c x 的顺序排列，则有：
[]x
y u
x x x x x x
x x 0333.30100667.113000
010*******
022*******
=?
????
?
??????+????????????????????????--=??????????????&&&&
或写成
[]x
y u
x x x x x
x x x o c c c co o c c c co 0333
.30100667.1130000100004000020000=?
?????
??????+????????????????????????--=????????????&&&
&
（2）
[
]
3,2022612211
12=??
??
??????-==c c rankU b A Ab
b
U 3,1147521211020=????
??????--=??????????=rankV CA CA C V 系统既能控又能观，无需分解。
3-3-19 已知系统的微分方程为u u u y y y 8634++=++&&&&&&，试分别求出满足下列要求的状态空间表达式：
（1）系统为能控能观的对角标准型； （2）系统为能控不能观的； （3）系统为能观不能控；
（4）系统为不能控也不能观的。 【解】：
13
5
.015.113
4523
486)(222++++=
++++=
++++=
s s s s s s s s s s G 。 传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。
)()(3
5
.0)(15.1)(s U s U s s U s s Y ++++=
设：
u x x x x u x x
u
x x s U s s X s U s s X ??????+???????????
?--=???????
???+-=+-=????
???
?
+=+=1130013)(31)()(1
1)(2121221121&&&& []u x x u x x y +??
?
???=++=21215.05.15.05.1
人为增加一对偶极子，得：
134521)34()52()(2
3
22
++++=
++++=
s
s s s s s
s s s s s G
系统能控不能观的状态空间表达式为：
[]??
?
??
??+=??????????+??????????--=u x y u x x 250100430100010& 系统能观不能控的状态空间表达式为：
[]??
?
??
??+=?????
?????+??????????--=u
x y u x x 10025041030100
0&
系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：
[]??
?
??
??+=?????
?????+??????????--=u
x y u x x 05.05.101100003000
1&
其中????
?
?????-=110100101T ，对系统进行结构分解。试回答以下问题：
(1)不能控但能观的状态变量以1x ，2x ，3x 的线性组合表示；
(2)能控且能观的状态变量以1x ，2x ，3x 的线性组合表示； (3)试求这个系统的传递函数。 【解】：
111
,,,
010110011---===????
?
?????-=CT C TB B TAT A T
线性变换后系统的状态空间表达式为：
[]x
y u x x x x x x 101022220032021321321=??????????-+????????????????????---=??????????&&& 系统的特征方程为：
0)2()1()(2=--=-=λλλλA I f
将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：
??????????-=2210105.010P ，????
??????--=-022*******P 约当标准型为：
[]5.211~,024~,100110002~11==????
?
?????-==??????????==--P C C B P B P A P A
A ~
为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态3~
x 不能控。 因为：
Tx x =，x P x ~
= Tx P x 1~-=
x x ??
??
?
?????--=002100314~ 所以不能控但能观的状态变量321334~x x x x ++-=
能控且能观的状态变量??????-=????
?
???????????-=????????1332121
2002100~~x x x x x x x && 线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传
递函数：
[]x
y u x x ~1124~1002~=??????-+??????=&
[]??
?
???-??
??
??--?=-=--24100211~)~
(~)(1
1s s b A sI C s G co co co )
2)(1(2---=
s s s
（1）求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；
（2）求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；
（3）用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。 【解】：
.3,2,1===n m r
)(34)
2)(1(3)()()()(21s U s s s s s s U s G s Y s Y ??
??????????+++++==?????? )(10)(29361161161
223s U s U s s s s s ??
?
???+???????????? ??+???? ??+???? ??+++=
能控标准型为：
u x x ????
?
?????+??????????---=1006116100010& u x y y ??????+??????=??????1013216921 系统状态图如题3-3-21图1所示。
u
题3-3-21图1
能观标准型为：
u x u B B B x I a I I a I I a x m m
m m m ??
??
?????
?
??????????+????????????????????------=????
?
?????+??????????---=1136296010
00
06010011000100
11000160000006000
000021022
1202
2
&
u x y y ???
???+?????
?=??????1010000001000021 系统状态图如图题3-3-21图2所示。
题3-3-21图2
对角标准型为：
)(10)(312112
)(34)2)(1(3)()(21s U s U s s s s U s s s s s s Y s Y ???
???+??????????++-+=?????
???????+++++=?????? )(21
)(12)(1s U s s U s s Y +-+=
)()(31
)(2s U s U s s Y ++=
设：
)(3
1
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1
)(),(1
1
)(321s U s s X s U s s X s U s s X +=
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u x x x x x x ????
??????+????????????????????---=??????????111300020001321321&&& )()(2)(2
1
)(12)(211s X s X s U s s U s s Y -=+-+=
)()()()(3
1
)(32s U s X s U s U s s Y +=++=
现代控制理论试题
现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案 《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得写成矢量矩阵形式为： 1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，
并画出相应的模拟结构图解： 1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解： 1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得： 当时，解得： 令得当时，解得： 令得当时，解得： 令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为解法1： 解法2： 求T,使得得所以所以，状态空间表达式为
现代控制理论基础试卷及答案
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）
现代控制理论第3版刘豹课后习题答案完整免费
《现代控制理论参考答案》第三版 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =?? ? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 1 u 2 u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 解：系统的状态空间表达式如下所示： []??? ? ? ???????=????? ???????+????????????????????????------=????????????432121432134 5 61 243 210101000000 100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x x x x &&&&
现代控制理论第3章答案
第三章习题 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： 图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： 3 43432112332 211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=???? 状态空间表达式为： []x y u x x x x d c b a x x x x 01 000001100 011000000 43214321=? ???????????+????????????????????????----=??????? ? ??????????? ? 由于? 2x 、?3x 、? 4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：
x d c y u b a x x x x x x ?? ????=??????????+????????????????? ???---=?????? ?????????? ?00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。 要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统 X y u X X ?? ????-=?? ? ???+??????--=? 111111113113 试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： []?? ?? ??==?? ????-=????? ?=??????--=2-2-1 12-2-1 1AB B M 1111,1111,3113C B A 系统不能控。 ,21<=rankM ??? ? ? ???????----= ??????=44221111CA C N 系统能观。,2=rankN 方法二：将系统化为约旦标准形。 ()4 20133113 A I 212 -=-==-+=+--+= -λλλλλλ，
(完整版)现代控制理论考试卷及答案
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
现代控制理论第三章
2.6 可控性与可观性 26 2.6.1 概述 经典控 制论中： 系统用传递函数描述。 只注重输入-输出间的直接关系！ 低阶系统，输出可控制亦可测量。 可控性与可观性不是问题。
现代控制论中： 系统描述：状态方程＋输出方程 由于状态?输入，输出?状态 所以要控制输出，首先要控制状态 并且使输出随状态发生变化输 （1）输入?状态间的问题： 输入是否使状态发生希望的变化？ ? 可控性问题 要使状态发生某种变化，输入？ 要使状态发生某种变化，输入＝？ ? 最优控制问题
（2）输出?状态间的问题： 状态可否从输出得到？ ? 可观测性问题 如何从输出得到？ ? 最优估计问题 &可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！ &如何处理可控性？可观测性？
可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力 可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力 问题： 状态可控？系统可控？ 状态不可控？系统不可控？ 状态可观测系统可测观 状态可观测？系统可测观？ 状态不可观测？系统不可观测？
个系统的可控性和可观测性 ?分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=???y x x 101/????+???????=u dt d x x 001/??+???=u dt d []x 01110=? ??y x 11110=?????????x x 0111/? ???+???=u dt d []y []x 0110=???????y
?x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=? ??y x ∫ ?1 u y 1 2 x ∫ 1?
现代控制理论试题
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。
现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =?? ? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 000001 0x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=?? ? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 1 u 2 u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 解：系统的状态空间表达式如下所示： []??? ? ? ???????=????? ???????+????????????????????????------=????????????432121432134 5 61 243 210101000000 100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x x x x &&&&
《现代控制理论基础》考试题B卷及答案
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
现代控制理论试题与答案
现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控
现代控制理论考试卷及答案
西北工业大学考试试题（卷） 2008 －2009 学年第2 学期 ? 2? 设系统的传递函数为
[y b =21x x kx =-- · @
} 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+-+-+- ++-+=??????-+++=-? ?? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 2 1221112112213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ *
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
《现代控制理论基础》第3章
第一和第二讲小结 一、状态空间表达式的标准形式 能控标准形 能观测标准形 对角线标准形 Jordan标准形 二、矩阵的特征值及对角线化 矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异 （2）重根 （3）一般情形 三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换 [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) [num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu] 四、时域分析的基本概念 状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理 最小多项式 五、矩阵指数计算 级数法，对角线标准形与Jordan标准形法 拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理
II、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。 例1．给定系统的描述为
u x x x x ??????+????????????-=??????2150042121 []?? ? ???-=2160 x x y 将其表为标量方程组的形式，有： u x x +=114 u x x 2522+-= 26x y -= 例3－2：判断下列电路的能控和能观测性 ) (t u + y C R ) (t u L y 2
现代控制理论试题(详细答案)
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
现代控制理论试卷答案与解析
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论 1.经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程. 2.实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的. 3.对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ
《现代控制理论(第三版)》答案刘豹-唐万生编
第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 0000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=??? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30