误差测量实验报告

误差测量与处理课程实验

报告

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实验一 误差的基本性质与处理

一、实验目的

了解误差的基本性质以及处理方法。

二、实验原理

（1）正态分布

设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为

i δ=i L -0L （2-1）

式中i=1，2，…..n.

正态分布的分布密度 ()()2

2

2f δ

σδ

-=

（2-2）

正态分布的分布函数 ()()2

2

2F e

d δ

δ

σδδ

--∞

=

（2-3）

式中σ-标准差（或均方根误差）； 它的数学期望为

()0

E f d δδδ+∞

-∞

==?

（2-4）

它的方差为

()22f d σδδδ

+∞

-∞

=?

（2-5）

（2）算术平均值

对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义

在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。

设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n

i

n i l l l l x n n

=++=

=∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。

i v = i l -x

i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）

2、算术平均值的计算校核

算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为：

1

1

n n

i

i

i i v l nx ===-∑∑

当x 为未经凑整的准确数时，则有

1

n

i

i v

==∑0

1）残余误差代数和应符合：

当

1n i

i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1n

i

i v =∑为零；

当

1n

i

i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1n

i

i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。

当

1

n

i

i l =∑

n

i

i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。

2）残余误差代数和绝对值应符合：

当n 为偶数时，

1n

i i v =∑≤

2

n

A; 当n 为奇数时，

1

n

i

i v =∑≤0.52n A ??- ???

式中A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。（3）测量的标准差

测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。

1、测量列中单次测量的标准差

σ==

式中n—测量次数（应充分大）

i

δ—测得值与被测量值的真值之差

σ=

2、测量列算术平均值的标准差

x

σ=

3、标准差的其他计算法

别捷尔斯法：

n

i

v

σ=

∑

三、实验内容：

1．对某一轴径等精度测量9次，得到下表数据，求测量结果。

按下列步骤求测量结果。

1、算术平均值

2、求残余误差

3、校核算术平均值及其残余误差

4、判断系统误差

5、求测量列单次测量的标准差

6、判别粗大误差

7、求算术平均值的标准差

8、求算术平均值的极限误差

9、写出最后测量结果

四、实验总结

运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。

%计算算数平均值

L=[24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774 ];

format short

averageL=mean(L);

disp(['数据的平均值averageL=',num2str(averageL)]);

%计算残余误差

vi=L-averageL;

n=length(vi);

disp('各残余误差如下所示：');

%校核算术平均值和其残余误差

for k=1:n

disp(num2str(vi(k)));

end

sumvi=sum(vi(k));

if sum(L)==n*averageL

disp('平均值计算正确');

elseif sum(L)>n*averageL&sumvi>0&sumvi==sum(L)-n*averageL

disp('平均值计算正确');

elseif sum(L)

disp('平均值计算正确');

else disp('平均值计算错误');

end

%判断系统误差

if mod(n,2)~=0

h=(n+1)/2;

else

h=n/2;

end

vi1=vi([1:h]);vi2=vi([(h+1):end]);

sumvi1=sum(vi1);sumvi2=sum(vi2);

delta=sumvi1-sumvi2;

if delta<=1e-2

disp('此次测量无系统误差');

else

disp('此次测量有系统误差');

end

%求单次测量的标准差

xgm1=std(L);disp(['单次测量的标准差:',num2str(xgm1)]);

xgm11=1.253*sum(abs(vi))/sqrt(n*(n-1));

u=xgm11/xgm1-1;

if abs(u)<2/sqrt(n-1)

disp('再次确定测量列无系统误差');

else

disp('再次确定测量列有系统误差');

end

%判别粗大误差

for m=1:n

c=0;

if abs(vi(m))>=3*xgm1

disp(['第',num2str(m),'个数',num2str(L(m)),'含有粗大误差']); L(m)=[];

c=c+1;

else

end

end

if c==0

disp('无粗大误差');

end

%求算术平均值的标准差

xgm2=xgm1/sqrt(n);disp(['算术平均值的标准差:',num2str(xgm2)]);

%求算术平均值的极限误差

t=2.31;

Blimx=t*xgm2;

%写出最后测量结果

disp(['最后测量结果是:',num2str(averageL),'±',num2str(Blimx)]);

运行后的结果如下所示：

数据的平均值averageL=24.7749

各残余误差如下所示：

-0.00088889

0.0031111

-0.0038889

0.0051111

-0.0028889

0.0021111

-0.0018889

0.00011111

-0.00088889

平均值计算正确

此次测量无系统误差

单次测量的标准差:0.0029345

再次确定测量列无系统误差

无粗大误差

算术平均值的标准差:0.00097816

最后测量结果是:24.7749±0.0022595