最新高三教案-函数的单调性 精品
课 题： 3．6函数的单调性
教学目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析： . 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=
法则3 '
2
''
(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )
在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u )
?′(x )
4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5.对数函数的导数： x x )'(ln =
x
x a a l o g 1)'(log = 6.指数函数的导数：x
x
e e =)'( a a a x
x ln )'(=
二、讲解新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数
2y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内
/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，
那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数
f ′(x ).
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.
∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(
x )＜0，f (x )是减函数. 例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
例3证明函数f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)=
2
11
22111x x x x x x -=
- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴
2
11
2x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵f ′(x )=(
x 1)′=(－1)·x －
2=－21x ，x ＞0， ∴x 2＞0，∴－
21
x
＜0. ∴f ′(x )＜0， ∴f (x )=
21
x
在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.
解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )
令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜
52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，5
2
) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞5
2
且x ≠1. ∵1x =为拐点，