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第9章热力学

知识一：理想气体状态方程（克拉伯龙方程）

描述气体状态的参考量有：压强P(KPa)、体积V(L)、温度T(K)

气体状态方程：PV=νRT=mRT/M（m是气体质量，M是气体摩尔质量，ν是气体摩尔数）（R=8.314J/(mol*k)------摩尔气体常量）

——气体状态所遵循的规律

“理想气体”：在任何条件下都严格遵循克拉伯龙方程的气体。

知识二：功热量内能热学第一定律

A Q E

内能：在热力学系统中，存在一种仅由其热运动状态单值决定的能量，它的改变可以用绝热过程中外界对系统所做的功来量度，这种能量称为内能。

热学第一定律：Q=(E2-E1)+A（规定：Q>0；系统从外界吸收能量

A>0；系统对外界做正功）

定律表明：系统从外界吸收的热量，一部分使其内能增加；一部分则用以对外界做功。知识三：焦耳定律自由膨胀

自由膨胀：气体向真空中不受阻碍地自由膨胀，该过程中气体体积增大，但不对外做功，内能也不改变，因为温度不变。

焦耳定律：气体的内能仅与温度有关，与体积无关。E=E(T)

知识四：准静态过程中功和热量的计算

功不仅与系统始末状态相关，且与过程密切相关

知识五：摩尔定体热容v C ，摩尔定压热容ρ

C 等体，ννν)d d ()d d T

T Q C ==（

等压：R

C C P +=ν知识六：准静态过程——等体过程，等压过程，等温过程，绝热过程

（C 为常数）过程

特征

过程方程

吸收热量Q

对外做功A

内能增量E

?等体V=C P/T=C

)

(112T T C v -ν0

)

(112T T C v -ν等压P=C V/T=C

)

(12T T C P -ν)

()

(1212T T R V V p --ν)

(112T T C v -ν等温T=C PV=C )

/ln 12V V RT （ν)

/ln 12V V RT （νA=Q 0

绝热

Q=0

C PV =γ3

121C T P C T V ==---γγγ0

)(1

)

(221112v p v p T T C ----γνν)

(112T T C v -ν等体过程——系统对外不做功，从外界吸收热量，全部用来增加自己的内能

过程遵循：

常量）(p C V

T ==ν

0),()(121212=-=

=-=A P P C R

T T C E E Q V v νν等压过程——系统在压强保持不变的情况下，从外界吸收热量，一部分用来增加内能，另一部分用来对外做功

过程遵循：

常量）(C P

T V ==ν)

()()()()

(12121212

1212T T C A E E Q T T P T T R A T T C E E P P V -=+-=-=-=-=-ννν等温过程——系统内能不变，从外界吸收的热能，全部用来对外做功

1ln 12ln 12120p p RT V V RT V dV RT V V PdV V V A Q E T ννν====

==??

?过程遵循：PV=νRT=C(常量）

绝热过程——系统与外界无热量交换，减小的内能全部用于对外做功

2)12(12)

12(-E E T T C E E E T T C A A

E ---=-=?-==?ννν

ν知识七：多方过程

-(-==n R

C C C PV v n n 常量）

知识八：卡诺循环卡诺定理

2-1T T =η知识九：热机效率A

Q Q Q 2121=-

=?η制冷效率正循环

逆循环

习题

1、一热机用5.83-10?kg 的空气作为工质，从初状态Ⅰ（K T 300Pa 10013.1p 151=?=，)等体加热到状态Ⅱ(K T 9002=)，再经绝热膨胀达到状态Ⅲ()13p p =，最后经等压过程又回到状

态

Ⅰ

，

如

图

。

假

定

空

气

可

视

为

理

想

气

体

，

且

)/(09.29),/(8.204.1p K mol J C K mol J C v ?=?==，γ，摩尔质量mol kg M ??=3-1029。试求各

过程中气体所做的功及从外界吸收的热量。

解：以作为工质的空气为研究对象

欲求空气在各过程中所做的功和从外界吸收的热量，有必要先求出与其相关的一些状态参量。设状态Ⅰ的体积为V1，状态Ⅱ的压强和体积分别为p2和v2，状态Ⅲ的体积和温度分别为V3和T3.

根据理想气体状态方程和有关过程方程。对状态Ⅰ，有111m

RT M

V P =(1)对等体过程，有

122T P T P =(2)

对绝热过程，有γγ3322V P V P =(3)

对等压过程，有

11T V T V =(4)

解以上方程并注意到P3=P1，V2=V1，由（1）式得

331211092.410

103.11029300

31.8108.5m p RT M m V V ---?=??????===由（2）式得Pa T T p p 55121

21004.3300

90010103.1?=??==由（3）式得

3334.11

1221

323m 1078.101092.43--?=??=???? ??=?

? ??=V p p V p p V γ

γ由（4）式得

V V T T 13.6571092.41078.103003

1313=???==--从状态Ⅰ到状态Ⅱ的等体过程中，空气不做功，故012=A 从状态Ⅱ到状态Ⅲ的绝热过程中，空气所做的功为J V p V p A 1008)1078.1010103.11092.41004.3(4

.111

)(113535332223=???-???-=--=

--γ从状态Ⅲ到状态Ⅰ的等压过程中，空气所做的功为

J V V p A 594-1078.10-1092.410103.13-3-5

31131=???=-=）（）

（“-”表示在该过程中空气对外做负功。在过程Ⅰ到Ⅱ中，空气吸收的热量为

T T C M m Q V 2493)300900(8.201029108.5)(3

1212=-????=-=--在过程Ⅱ到Ⅲ中,023=Q ,在过程Ⅲ到Ⅰ中，气体吸收的热量为J T T C M m Q 2079-)31.657-300(09.2910

29108.5)(3

31p 31=????=-=--“-”表示在该过程中空气向外界放出的热量。

2、一定量的理想气体经历某一过程，其过程方程式为恒量=2PV ，那么该气体在这一过程中的摩尔热容量为（）

C A 2.v

.C B C.R C V +2 D.R

C V -解析：(D)知识点：多方过程，其中n=2,所以摩尔热容R C n R

C C V V -=--

解析：运用知识点六(1)p 不变(2)v 不变(3)pv=γRT 不变

等温，求导T VdP V ,0pd =+??→?4、将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(）A.增大D2倍 B.增大2D 倍C.增大D 倍

D.不变

解析：(B)知识点九、三画出p —v 图

所以图如左所示

压强必增大三：等温，体积减小，增大二：等体升温，压强必大，压强必减小一：绝热膨胀，体积增RT

PV ν=

逆循环过程，气体对外做功为负值

温度不变，内能不变（焦耳定律）

解析：知识四、二

()()0

,22.405)1010103.12312

113

-5=?∴=∴===????+?=E T T V P V P RT PV J

kpa A ac A c a C C a a （）（下的面积，为()J

E A Q 2.4053=?+=第11章

机械振动基础

知识一：简谐振动

自由振动

定义：物体振动时，若决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化，这样的振动被称作简谐振动。

物体只在弹性回复力作用下所做的振动称为自由振动。

设物体位置坐标为x ，所受弹性回复力为x F ，则自由振动条件下：

-=x F （k 为弹簧的劲度系数）

运动微分方程为kx x

m -= （m 是物体质量）运动学方程：

T k m T t A x a A t A x

v m

t A x ∏

==∏

=∏

+-==+-===

+=21

122)cos()(cos(),cos(22νω

?ωω?ω?ωω??频率周期加速度是初相）是角速度，是振幅，速度知识二：谐振动的能量

弹簧振子在谐振动过程中，动能和势能均随时间作周期性变化，但振动过程中机械能守恒。

2222k 2

(cos 2

(sin k 2

1A E E E t kA E t A E P K p k =+=+=+=?ω?ω知识三：谐振动的合成

同方向、同频率谐振动的合成运动仍为谐运动，合成谐振动的振幅和初相与原来两个谐振动的振幅和初相有关：

2112

211212

221cos cos sin sin arctan

)

cos(2??????ωA A A A t A A A A A ++=+++=

同方向不同频率的合成运动不再是简谐运动，当两个简谐运动频率相差很小时，将会呈现“拍”的现象。

习题1

解析：外力F 做功转化为弹簧与重物组成的系统的能量由于重物无位移，故只有弹性势能2

1kl E p =，又伸长为l 时由胡克定律知kl=mg k

g m k mg k E W p f 2212

??? ??==∴2、

解析：此类问题用能量守恒定律解决，选定两个状态的总能量列方程。

系统初始能量为20)k 21x x -（，弹簧恢复原长0x 时，系统只有动能2

22112121v m v m +∴

20)k 21x x -（=2

22112

121v m v m +（1），又由动量守恒知2211v m v m =（2）由（1）（2）知)

(02

212

1x x m m m km v -+=3、

解析：简谐振动合成

++=-++=221

221112212221cos cos sin sin arctan

)

cos(2???????A A A A A A A A A ，由题知

,20,3.1711∏

-==??cm A cm A 4

解析：简谐振动运动方程：)

cos(Φ+=t A x ω由t=2时，x=0,A=4;t=0时，x=-2可列方程??

?=Φ=Φ+2

-cos 40

)2cos(4ω图1与图2中A 、B 相对应，图2与图1可平移缩放得到∏=Φ∴∏=Φ+∏=Φ+∏∴=?=∏∏∏3

425670

cos(4724

4-252S

T T

第12章机械波

知识一：波长(λ)，周期(T)，频率(ν)，波速(u)

关系为：

为其质量线密度

为绳中张力，中，横波波速为注：拉紧的绳子或弦线μμ

λν

T T

u T

u ,=

知识二：平面简谐波

简谐波定义：如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒介质中各质点均作同频率，同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。

平面简谐波定义：如果简谐波的波面为平面，则为平面简谐波。平面简谐波波函数：y(x,t)=Acos(ω(t-0)?+u

x )

(正向传

播

)

——表示坐标x 处，t 时刻质点的位移。

y(x,t)=Acos(ω(t+0)?+u

x )（负向传播）

知识三：波的能量密度平均能量密度

t 时刻，x 处单位体积内波的能量称为波的能量密度，记为ω。一个周期内能量密度的平均值为平均能量密度，记为ω。

为媒介密度）

ρωρω?ωωρω(2

1])x ([sin 220222A u

t A =+-=知识四：驻波

两列振幅，振动方向和频率都相同，而传播方向相反的同类波相干叠加的结果形成驻波。两相邻波节或波腹之间的距离是2

，所以形成驻波的条件是：弦线AB 间长度L 必须

满足

?±±==?∏=∏

??±±=+=?∏+=∏∏∏=?

?==,2,1,0,2

2,2,1,0,4

)122)

1222cos *2cos 23,2,1n 2k k

x k x

k k x k x

A y n L λλ

λνλ

波腹：（（波节：驻波波函数：，，知识五：多普勒效应

由于观察者与波源有相对运动时，故而观察者接收到的频率发生变化的现象，称为多普勒效应。

波源静止，观察者沿二者连线运动时：

波以0v u +的速度到达观察者，所以接收到的频率为

为波源的振动频率）00000

()

1(ννν

νu

uT v u v u +=+=

观察着静止，波源眼二者连线运动时：

对观察者来说波长缩短为：

s 'u

-ννλννλλs

u u

∴=注：结合实际情况，从波速的改变或波长的改变分析。

习题：

解析：声源运动、应计算波长的变化

（1）直接由声源S 传播过来的波波长为vT +=λλ')(5.2038204025

.0340340

Hz v u u vT u u

≈?+=+=+=

∴νλλν

（2）反射波传播方向与波源运动方向相反，故vT

-'λλ=)(5.2041204025

.0340340

-0'

Hz v u u vT u u

≈?-==-=

∴νλλν2、金属的光电效应的红限频率依赖于

（）

A.入射光的频率

B.入射光的强度

C.金属的逸出功

D.入射光的频率和金属的逸出功

解析：（D）由图知

）

，故选（表达式振幅D t t b u

a t t A

b u T u b u T b ]2)(cos[])(cos[y 2

,2,2,2'0'0∏--∏=+-=∏

=∏=∏==

=?ω?ωλ

λ第13章波动光学基础

知识一：杨氏双缝干涉实验

d 2

1k 2,2,1,0,212)122

k 2,2,1,0,222x 22sin 12λ

δλ?λ

λδ?θδD x k d D k x k k d D k

x k D d x D

d r r =

?+±=??=+±=?∏+±=?±=??=±=?∏±=?∏=∏

=?=≈-=间距：相邻明条纹或暗条纹的）

（或）（（干涉相消：或干涉加强：相位差：波程差：

知识二：光程与光程差

在折射率为n 的介质中，光的传播速度为n

c =

u 时间t 内，光在介质中传播的路程为r ，则相应在真空中传播的路程x 为：X=ct=cr/u=nr

上式表明在相同时间内光在介质中传播的路程r 可折合为光在真空中传播的路程nr ，称为光程。

122r n r n nr

-==δ光程差：光程知识三：劈尖干涉

劈尖上下表面的反射光相干增加形成干涉条纹，明暗相间。到达上表面，两束反射光的光程差为2

2λ

δ+

凸梗。

涉检验器件表面凹槽或纹的弯曲方向用劈尖干注：要学会通过观察条越小，条纹分布越疏。

故满足：相邻条纹间距应的空气层厚度差：两相邻明纹或暗纹及对，，）（暗纹：

，，明纹：θλ

θλλλδλλδ,2

sin 2

d d d ,2,10k 21k 2223,2,1k 2k 2221=

=-=????

???

?=+=+=??==+=+a a d d k k 知识四：牛顿环

??????==??==∴???

???

???=+=+??==+=,2,10,k ,3,2,121

-k 2r ,2,10,212222,3,2,1,22222:(2222，

暗纹半径：，）（明纹半径：，）（暗纹条件：明纹条件：

：环下空气层厚度）

：牛顿环曲率半径，环形条纹半径，k R r k R k k k r k k k r d R r k r d λλ

λλλ

知识五：单缝的夫琅禾费衍射

???

==?

?=±=??=+±==

?=（零级明纹），中央亮纹：暗纹条件：明纹条件：半波带数目为称为半波带。

，这样的个波长对应的光线光程差为半的一系列窄条，使相邻均为将平行入射光分为宽度为衍射角

光程差：0sin 0,3,2,1,22sin ,3,2,1,2)12(sin 2

sin 2

,sin ??λ?λ?λ

??δa k k a k k a a N s s s a 知识六：衍射光栅

b a k k k a b a b a k k b a b a m +=??=±=+≤

+=??=±=++=’

为光谱线的缺级。

，但仍是暗纹，此时则干涉后不可能是明纹足单衍射暗纹条件：若狭缝衍射的光同时满）

（）（最大级数（光栅光程）

）明纹条件：（发生干涉。光为干涉光，故它们将衍射，但各单缝发生的衍射规律对入射光进行光栅中每一缝都按单缝是光栅常数。

，，挡板宽度为光栅缝宽为衍射光栅。光发生色散的元件称为利用多缝衍射原理，使k k ,2,1,sin sin k ,2,1,0,sin b a d ''λ?λ

λ?λ?

知识七：线偏振光自然光马吕斯定律

光矢量只限于单一方向振动的光称为线偏振光自然光在各方向上的振动都不占优，无是线偏振光。

起偏器能从自然光得到线偏振光，检偏器对某一方向振动的线偏振光透射能力最强。马吕斯定律：入射线偏振光透过偏振器后透射光光强I 与入射光0I 关系为：0202

1(cos I I I I =

=强自然光通过检振器后光的夹角）检偏器偏振化方向之间是线偏振光振动方向与αα知识八：布儒斯特定律

2n tan 90n i i i B B =

起偏角。称为布儒斯特角，也称为全偏振光，此时入射角方向与入射面垂直的完矢量振动相垂直时，反射光为光，即反射光与折射光互之和为与折射角当入射角 γ

习题：

解析：绕过部分A 的缝宽与下一条纹B 的缝宽相等，即A 处由一凸起的梗，且因为两相邻条纹对应光程差为2/λ，所以梗高为2/λ。

解析：知识点：衍射光栅（1）

)

(6000sin sin )sin (sin sin d 1

212nm d d k =-=

∴=-?±=θθλλθθλθ光栅常数（2）狭

缝宽度为a ，缺级

)

(15004

11,4,2,1(min '''''

nm d a k d k k d k a k a d k k =====??±±==时，）

,7,6,5,3,2,1,0,1-2-3-5-7-9-8

,410

600

6000

sin d

k sin d 3，，，，，呈现的全部级数为

，缺级）（∴±±==

=?=λ

θλ

λθk 3

解析：知识点：衍射光栅光程差nm cm

d k d 20005000

1,)sin (sin ==

±=+λ?θ（1）3k ,xx .3589

2000

sin 0m =∴≈=

?±==λ

λ?θd

k k d 时，垂直入射，（2）5

,xx .5589

2000

23121sin 30sin 30'=∴≈=+

解析：（1）光程差

cm nm n n e k

ne 410101032.233

.14650194192210(102

102222

2-?≈??==-

∴=?=∏=+

?λλ

λλλ

λ明纹条件）