1.4 有理数的乘除法讲义 学生版

第1章有理数

1.4 有理数的乘除法

学习要求

1、会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算．

2、理解除法与乘法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算．

知识点一：有理数的乘法法则

例1．计算﹣1×2的结果是（）

A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣2

变式1．（﹣15）×7．

变式2．（﹣3）×|﹣2|

知识点二：倒数

例2．的倒数是（）

A．﹣3 B．C．3 D．

变式1．﹣2017的倒数是（）

A．2017 B．﹣2017 C．D．﹣

变式2．已知□×（﹣）=﹣1，则□等于（）

A．B．2016 C．2017 D．2018

变式3．填表：

原数﹣2.5

相反数 3 ﹣7 倒数

绝对值

变式4．写出下列各数的倒数：

（1）﹣15；

（2）；

（3）﹣0.25；

（4）0.13；

（5）4；

（6）﹣5．

知识点三：多个有理数的乘法

例3．算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（）A．B．C．D．

变式1．（2014秋?宝坻区校级期末）1.6×（﹣1）×（﹣2.5）×（﹣）

变式2．计算．

（1）；

（2）（﹣0.1）×1000×（﹣0.01）；

（3）2.3×4.1×0×（﹣7）；

（4）．

知识点四：有理数的乘法运算律

例4．计算

（1）（﹣2）×4×（﹣3）

（2）（+﹣）×12．

变式1．用简便方法计算：

①；②；

③；

④﹣989×（﹣9）+989×（﹣19）﹣（﹣989）×10．

变式2．计算：

（1）

（2）．

变式3．（1）；

（2）；

（3）；

（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）．

变式4．计算下列各式：

（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；

（2）×（﹣2.4）×；

（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；

（4）9×15；

（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；

（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．

知识点五：有理数的除法

例5．计算（﹣16）÷8的结果等于（）

A．B．﹣2 C．3 D．﹣1

变式1．（2014秋?山西校级月考）（1）两数的积是1，已知一数是﹣2，求另一数；（2）两数的商是﹣3，已知被除数4，求除数．

变式2．计算：

（1）（﹣36）÷9

（2）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3．

变式3．计算：

（1）﹣5÷（﹣1）；

（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．

知识点六：有理数乘除混合运算

例6．计算

（1）（﹣）×（﹣）×0×

（2）

（3）（﹣﹣）×（﹣24）（4）．

知识点七：有理数四则混合运算

例7．计算

（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）

（3）（﹣）×1÷（﹣1）（4）（1﹣+）×（﹣48）．

变式1．计算

（1）；（2）．（3）；（4）．

变式2．怎样算简便就怎样算（1）2÷+3×

（2）÷25%﹣÷0.75．

变式3．计算：

（1）（﹣）÷（﹣﹣）；（2）（﹣28+14）÷7．

变式4．计算

（1）5.02﹣1.37﹣2.63

（2）72×（﹣+﹣）

（3）×[÷（﹣）]

（4）[﹣（﹣）÷]÷．

变式5．计算

（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 （2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．

变式6．计算下列各题

①（﹣7）+5﹣（﹣3）+（﹣4）；

②4×（﹣3）﹣|﹣|×（﹣2）+6；

③（﹣+）×（﹣42）；

④﹣1+5÷（﹣）×4．

拓展点一：概念、法则的理解问题

例8．若a+b＜0，ab＜0，则（）

A．a＞0，b＞0

B．a＜0，b＜0

C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值

D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值

变式1．若a+b＜0，ab＜0，则下列说法正确的是（）

A．a、b同号

B．a、b异号且负数的绝对值较大

C．a、b异号且正数的绝对值较大

D．以上均有可能

变式2．下列说法中错误的是（）

A．一个数同0相乘，仍得0

B．一个数同1相乘，仍是原数

C．一个数同﹣1相乘得原数的相反数

D．互为相反数的积是1

变式3．如果两个数的和是正数，这两个数的积是负数，那么这两个数（）A．都是正数

B．都是负数

C．异号的两个数，并且正数的绝对值较大

D．异号的两个数，并且负数的绝对值较大

变式4．若a、b为两个有理数，且ab＜0，a+b＜0，则（）

A．a、b都是正数B．a、b都是负数

C．a、b异号，且正数的绝对值大D．a、b异号，且负数的绝对值大

变式5．不计算，只判断下列结果的符号：

（1）（﹣6）+（﹣4）

（2）（+9）+（﹣4）

（3）（﹣7）﹣（﹣4）

（4）（﹣6）×（+3）×2×（﹣1）

拓展点二：学科内知识的综合

例9．写出符合下列条件的数：

（1）最小的正整数：；

（2）绝对值最小的有理数：；

（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数：；

（4）在数轴上，与表示﹣1的点距离为5的所有数：；

（5）倒数等于本身的数：；

（6）绝对值等于它的相反数的数：．

变式1．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题．

（1）请在数轴上标出点B和点C；

（2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积；

（3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数所表示的点重合．

变式2．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．

拓展点三：乘除运算中的一些技巧

例10．﹣99×36．

变式1．用简便方法计算：

（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34

（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）

变式2．简便计算

（1）（﹣48）×0.125+48×

（2）（）×（﹣36）

变式3．用简便算法计算下列各题．

（1）

（2）．

拓展点四：有理数乘除法在实际生活中的应用问题

例11．小刘、小张两位同学玩数学游戏，小刘说“任意选定一个数，然后按下列步骤进行计算：加上20，乘以2，减去4，除以2，再减去你所选定的数”，小张说“不用算了，无论我选什么数，结果总是18”，小张说得对吗？说明理由．

变式1．某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：

+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣3，﹣8，+1，0，+10．

（1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？

（2）10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？

（3）10名同学的平均成绩是多少？

变式2．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆．

（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；

（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？

变式3．已知海拔每升高1 000m，气温下降6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是﹣1℃．求热气球的高度．

变式4．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市．

（1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置．

（2）小陈家距小李家多远？

（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？

变式5．东东有5张卡片写着不同的数字的卡片：

他想从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大．你知道应该如何抽取吗？最大的乘积是多少吗？

变式6．李老师利用假期带领7名学生到市区社会实践，汽车票每张原价为30元，现在有两种优惠方案：第一种方案是所有成员全部打8折；第二种方案是学生打9折，教师免票．请问李老师他们应该采用哪种方案乘车比较合算？

变式7．某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：

与标准质量的偏差：

单位（千克）﹣0.7 ﹣0.5 ﹣0.2 0 +0.4 +0.5 +0.7

袋数 1 3 4 5 3 3 1

问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？

变式8．某日下午，出租车司机小王在南北走向的南海大道上运营．如果规定向南为正，向北为负，出租车的行车情况记录如下（单位：千米）：

+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣17．将最后一名乘客送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少千米？如果每百公里耗油10升，那么小王下午耗油多少升？

拓展点五：作商比较两个有理数的大小 例12．比较大小：43-______;87-)32

(+-______);4

3(-+

拓展点六：新型题

例13．设[x]表示不大于的所有整数中最大的整数，例如：[1.7]=1，[﹣1.7]=﹣2，根据此规定，完成下列运算：

（1）[2.3]﹣[6.3] （2）[4]﹣[﹣2.5] （3）[﹣3.8]×[6.1] （4）[0]×[﹣4.5]．

变式1．对于正整数a 、b ，规定一种新运算﹡，a ﹡b 等于由a 开始的连续b 个正整数的积，例如：2﹡3=2×3×4=24，5﹡2=5×6=30，那么7﹡（1﹡2）的值等于多少？

变式2．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab ，如2*3=4×2×3=24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值．

变式3．若“！”表示一种新运算，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，那么100！÷99！的商是多少？

变式4．阅读下题解答：

计算：．

分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．

解：×（﹣24）=﹣16+18﹣21=﹣19．

所以原式=﹣．

根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．

易错点一：“加”“乘”运算结果符号确定方法不同，二者莫混

例14．计算：

（1）﹣5﹣1

（2）（﹣20）÷5

（3）6﹣[﹣（﹣2）]

（4）2﹣|﹣0.4|

（5）﹣（+20）+（+45）﹣（+80）﹣（﹣35）

（6）（﹣24）÷2×（﹣3）÷（﹣6）

易错点二：运算顺序应注意

例15．计算：

（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；

（2）﹣；

（3）；

（4）．

易错点三：乘法分配律不适用于除法运算

例16．（﹣）÷（﹣+﹣）

变式1．计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．

变式2．计算：﹣÷（+﹣）．

变式3．计算：（﹣45）÷[（﹣）÷（﹣）]．变式4．计算：12÷（﹣3﹣+）．