2019年人教版九年级数学下册《特殊角的三角函数值》基础训练有答案

《特殊角的三角函数值》基础训练

知识点1特殊角的三角函数值

1.[2018天津中考]cos30°的值等于( )

A.

2 B. 2

C.1

D. 2.下列各式不正确的是( ) A.cos30°=sin60° B.tan45°=2sin30° C.sin30°＋cos30°=1 D.tan60o ·cos60o =sin60o

3.点(－cos60°，tan30°)关于x 轴对称的点的坐标是( )

A.(

12， －12

)

4.[2017江苏泰州靖江一模]若某三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则该三角形中最小内角的正切值为____.

5.计算：

(1)tan 230o ＋cos 230o －sin 245°tan45°；

(2) sin 30sin 60cos45-?

??

tan45°.

知识点2由特殊角的三角函数值求角

6.[2018山东青岛胶州期末]在Rt △ABC 中，∠C=90°，A 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

7.[2017山东聊城中考]在Rt △ABC 中，cosA=1

2

，那么sinA 的值是( )

A.

2 B. 2 C.

3 D. 12

8.[2018吉林实验中学一模]在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都是锐角，tanA=1，sinB=2

，你认为最确切的判断是( )

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形

9.在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，B 的度数是____.

知识点3特殊角的三角函数值的运用

10.已知菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，，则点B 的坐标是____.

11.如图，在△ABC 中，∠B=60o ，sinC=

4

5

，AC=10，求AB 的长.

12.[2017江西南昌实验中学期末改编]如图，△ABC 表示学校内的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮.已知某种草皮每平方米售价为200元，则购买这种草皮需花费多少元？

课时3特殊角的三角函数值1.B

2.C【解析】cos30°=

，tan60°

，所以A项正确；tan45°=l，2sin30°=1，所以B

项正确；sin30°=1

2

，cos30°=

2

，所以C项错误；tan60°=

cos60°=

1

2

，sin60°

=所以D项正确.故选C.

3.B【解析】因为cos60°=1

2

，tan30°

，所以点(－cos60°，tan30°)即(－

1

2

，

根据关于x轴对称的两点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可知选B.

4.【解析】由题意，得该三角形中最小内角的度数为180°×

1

123

++

=30°，而tan30°

=

3

，所以最小内角的正切值为

3

.

5.【解析】(l)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°

=(

3)2＋

(

2

)2－(

2

)2×l

=1

3

＋

3

4

－

1

2

=

7

12

.

(2)

sin30

tan45 sin60-cos45

?

???

=

1

1

-

=

2

3

+.

6.C

7.B【解析】在Rt△ABC中，∵cosA=1

2

，∠A=60°，∴sinA=sin60°=

2

，故选B.

8.B【解析】∵∠A，∠B都是锐角，tanA=l，sinB=

2

，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°

－∠A －∠B=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形.故选B.

9.45°【解析】由题意可得，在Rt △ABC 中，sinB=

AC AB =2

，∴∠B=45°.

10.1,1)+【解析】过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵四边形0ABC 是菱形，∴OA=AB=OC=，

AB ∥0C ，∴∠BAD=∠AOC=45°，∴BD=ABsin ∠BAD=×2=l ，AD=ABcos ∠×2

=1，

∴OD=OA ＋AD=＋1，∴点B 的坐标是＋1，1).

11.【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ACD 中，sinC= AD AC = 4

5

， ∵AC=10，∴AD=8.

在Rt △ABD 中，∠B=60°，sinB=

AD AB ，∴ sin60°= 8

AB

=AB=.

12.【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC 交CA 的延长线于点D ，因为∠BAC=150°，所以∠BAD=30°. 在Rt △ABD 中，BD=ABsin ∠BAD=20×sin30°=10(m)， 所以S △ABC =

12AC ·BD=1

2

×30×10=150(m 2)，150×200=30000(元). 所以购买这种草皮需花费30000元.

《特殊角的三角函数》提升训练

1.[2018河南郑州外国语中学课时作业]已知α2α－(1)tan α＋1=0，则α的度数为( )

A.30°

B.45°

C.30°或45°

D.45°或60° 2.[2018天津一中课时作业]已知∠A 为锐角，且cosA ≤

1

2

，那么( ). A.0°＜∠A ≤60° B.60°≤∠A ＜90° C.0°＜∠A ≤30° D.30°≤∠A ＜90°

3.[2018山西太原市外国语学课时作业]如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E 交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值为

( )

A.

1

2

B.2

C.

3 D.

4.[2018福建厦门双十中学课时作业]对于三个数a ，b ，c ，用min{a ，b ，c}表示这三个数中

最小的数.例如：min{1，2，3}=－1；min{－1，2，a }=a(a 1)

1(a 1)-??--?≤＞，则min{sin30°，cos45°，

tan30°}=____.

5.[2018河北张家口五中课时作业]已知a 为锐角，当2

1tan a

-无意义时，tan(a ＋15°)－tan(a

－15°)的值是____.

6.[2018江西高安中学课时作业]要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt △ABC ，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=

，∠ABC=30°，tan30°=

AC

BC

=

=

3.在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线

的方法，并求出tan15°的值

.

7.[2018江苏南京外国语学校课时作业]阅读理解

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a ，我们把1

sina

的值叫做这个平行四边形的变形度.

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是；____； 猜想证明

设矩形的面积为S 1，其变形后的平行四边形的面积为S 2，试猜想S 1，S 2，1

sina

之间的数量关系，

并说明理由； 拓展探究

如图2，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上的一点，且AB 2=AE ·AD ，这个矩形发生变形后为平行

四边形A 1B 1C 1D 1，点E 1为点E 的对应点，连接B 1E 1，B 1D 1，若矩形ABCD 的面积为＞0)，

平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＞0)，试求∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1的度数.

参考答案

1.C tan 2α－(1α＋1=0，得tan α－1)(tan α－1)=1，所以tan α或tan α=1，所以α=30°或45°.故选C.

2.B 【解析】∵∠A 为锐角，∴0＜cosA ＜1，且随着角的变大，余弦值变小，∴当0＜cosA ≤12

时，60°≤∠A ＜90°.故选B.

3.D 【解析】连接AC ，由题意知CE 垂直平分AB ，所以BC=AC ，又四边形ABCD 是菱形，所以AB=BC ，

所以△ABC 是等边三角形，所以∠ABC=60°，所以∠ABD=1

2

∠ABC=30°，所以∠BFE=60°，所

以tan ∠故选D.

4.sin30°【解析】sin30°=12，cos45°=2，tan30°=3，因为1

2

＜3＜2所以sin30°

＜tan30°＜cos45°，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}= sin30°. 名师点睛：解答本题的关键是弄清新定义，再选择最小的一个数.

5.

3【解析】当-2

1tan a

无意义时，tana=l ，又a 为锐角，所以a=45°，∴tan(a ＋45°)

－tan(a －15°)=tan60°－tan30° 6.【解析】如图。延长CB 到D ，使BD=AB ，连接AD ，则∠D=15°，因为BD=AB=2，所以DC=BD

＋BC=2＋

7.【解析】(1)

3

∵矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，∴这个平行四边形相邻两个内角中较小

的一个内角是60°，这个平行四边形的变形度是

1sin a =?1

sin 60. (2)1

sin a =2

1S S .理由如下：

设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，则S 1=ab ，S 2=ah ，sina=

h b

，∴21S S =ab b =ah h ，

1sin a =b h ∴1sin a =21S S (3)由AB 2=AE ·AD ，可得A 1B 12=AE ·AD ，即

11111111

A B A E

A D A

B . 又∠B 1A 1E 1=∠D 1A 1B 1，∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，∴∠A 1B 1E 1=∠A 1D 1B 1. ∵A 1D 1∥B 1

C 1.∴∠A L E L B L =∠C 1B 1E 1.

∴∠A L E L B 1＋∠A L D L B {=∠C 1B 1E 1＋∠A L B L E L =∠A 1B L C L .

由(2)可知，1sin a =21S S ，∴sin ∠A 1B l C l =1

2，∴∠A 1B l C l =30°.

∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1=30°.