初三数学三角函数应用
初三数学三角函数应用
1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图8中的P 点处），在他家前有一道路指示牌MN 正好挡住公路上的AB 段（即点
A M P 、、和点
B N P 、、分别在一直线上）
，已知MN ∥AB ， ?=∠30MNP ，?=∠45NMP ，小楠看见一辆卡车通过A 处，7秒后他在B 处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由． (参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
2.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD 与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B 到点C 向前移动了2米．
（1）求点A 与地面的高度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米，那么请判断距离D 点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．
(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75
取1.73)
A B P
M
N
（图8） 第4题图
3.如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度
OG 为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素）
，细绳相应所成的角为?90.
（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；
（2）联结EG ，求OGE ∠的余切值.
4.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can ，如图（1）在△ABC 中，AB =AC ，底角B 的邻对记作can B ，这时can B BC AB ==底边腰，容易知
道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°= ；
（2）如图（2），已知在△ABC 中，AB =AC ，can B 5
8
=
，24=?ABC S ，求△ABC 的周长．
E 图10 B
第10题（2）
B
第10题（1）B
5.如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
1.73，sin760.97°≈，
cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）
6.冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°. (参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)
(1) 中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)
米？
（结果保留整数）
北
东
C D B
E
A
l （第12题图）
7.如图，要在宽为28米的公路AB 路边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为3米，且与灯柱BC 成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DE 能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）
8.2010年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15o
．
（参考数据：sin150.259≈o
，966.015cos =ο，tan150.268≈o ，cot15 3.732≈o
） （1）求车库的高度CD ；
（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（结果精确到0.1米）． 、
第18题图
公 E
9.林场工作人员王护林要在一个坡度为5∶12的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距.他决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为α，已知
5
3
sin=
α.（如图1）
（1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）；
（2）如图2，他以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日阳光照射时前排的树影不遮挡到后排的树为基本要求，那么他在该山坡上种植水杉树的间距（指MN的长）至少多少米？(精确到1.0米)
（图1）（图2）
10.小明是世博志愿者，前不久到世博园区参观。园区的核心区域“一轴四馆”（如左图所示）引起了他的关注。小明发现，世博轴大致上为南北走向，演艺中心在中国馆的正北方向，世博中心在中国馆的北偏西45°方向，且演艺中心、世博中心到中国馆的距离相等.从中国馆出发向西走大约200米，到达世博轴上的点E处，这时测得世博中心在北偏西26.6°方向。小明把该核心区域抽象成右侧的示意图（图中只显示了部分信息）.
（1）把题中的数据在示意图上标出，有关信息用几何语言加以描述（如AB∥MN等）；（2）试求出中国馆与演艺中心的距离（精确到1米）．
（备用数据：5.06.26tan ,9.06.26cos ,45.06.26sin =?=?=?，2 1.414=）．
11.高速公路BC (公路视为直线)的最高限速为120千米／时(即
100
3
米／秒)．在该公路正上方离地面20米的点A 处设置了一个测速仪（如图九所示）．已知点A 到点B 的距离与点A 离地面的距离之比为13: 5，点A 测得点C 的俯角为30°．
(1)求点B 与点C 的距离；
(2) 测速仪监测到一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是2.5秒，试通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)
N
M
E . . A
中国馆
世博
轴
.B 演艺中心
世博中心
C .
主题馆 D . 东
北
（世博核心区域的示意图）
B
C
。
。
（图九）
Ａ
?
C
12.. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时 sad A =
BC
AB
=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60?的值为（ ▼ ） A.
1
2
B. 1
C.
2
D. 2 （2）对于0180A ?<
（3）已知3
sin 5
α=，其中α为锐角，试求sad α的值.
三角函数的应用复习题
1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图8中的P 点处），在他家前有一道路指示牌MN 正好挡住公路上的AB 段（即点
A M P 、、和点
B N P 、、分别在一直线上）
，已知MN ∥AB ， ?=∠30MNP ，?=∠45NMP ，小楠看见一辆卡车通过A 处，7秒后他在B 处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由． (参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
解：同意小楠的结论．
过点P 作AB PQ ⊥，垂足为Q ．
∵MN ∥AB ，
∴?=∠=∠45PMN PAQ ，?=∠=∠30PNM PBQ 在Rt △PQA 中，?=∠90PQA
∵PQ
AQ
PAQ =
∠cot ，∴5015045cot =?=??=PQ AQ 在Rt △PQB 中，?=∠90PQB
∵PQ
BQ
PBQ =∠cot ，∴35030cot =??=PQ BQ
∴)31(50+=+=BQ AQ AB ≈5.13673.250=?， ∵2.701000
73600
5.13675.136=??==
秒米实际v 千米/小时＞60千米/小时．（1分）
∴小楠的结论是正确的
2.已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．
求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．
∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴
12
5
=PH AH ． 设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2． ∴AH =10．
A B P M
N
（图8）
（第2题图）
答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米． （2）延长BC 交PQ 于点D ．
∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．∵
∠BPD =45°，∴PD =BD ．设BC =x ，则x +10=24+DH ．
∴AC =DH =x -14．
在Rt △ABC 中，AC BC =
?76tan ，即0.414≈-x x ．解得3
56
=x ，即19≈x ．答：古塔BC 的高度约为19米．
3.小明在电视塔上高度为450米的A 处，测得大楼CD 楼顶D 的俯角为0
32。小杰在大
楼楼底C 处测得A 处的仰角为0
45.
（1）求大楼与电视塔之间的距离BC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）．
（参考数据：62.032tan ,85.032cos ,53.032sin 0
≈≈≈
解：(1)由题意可知：m 450AB =，?=∠45ACB ，?=∠90B 在ABC RT △中, BC AB ACB tan =
∠∴BC
45045tan =?，解得m 450BC =∴大楼与电视塔之间的距离BC 的长为m 450。 (2)过点D 点作DF ⊥AB ，垂足为F ．由题意可知：
m 450BC DF ==，?=∠=∠32FDA DAE ， ?=∠90AFD ，CD BF =
在ADF RT △中, DF
AD
ADF tan =
∠ ∴m 27962.045032tan DF AD ≈?≈??= ∴m AD AB BF CD 171279450≈-≈-== ∴大楼的高度CD 约为m 171。
4．.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD 与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B 到点C 向前移动了2米．
（1）求点A 与地面的高度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米，那么请判断距离D 点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．
(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75
取1.73)
A
C
D B
第3题图
第4题图
解：（1）作AE ⊥BC 于点E ，
设AE x =,
在Rt △ACE 中，4cot 3
CE AE ACE x =?∠=， 在Rt △ABE 中， cot BE AE ABE x =?∠=，
∵BC=CE-BE ，
4
23
x x -= 解得6x =． 答：点A 与地面的高度为6米． （2）结论：货物Ⅱ不用挪走．
在Rt △ADE
中，cot 63
ED AE ADE =?∠=?= cot 8CE AE
=?∠
∴CD=CE+ED =811.46+≈ 1411.46 2.542-=> ∴货物Ⅱ不用挪走．
5，一艘轮船自南向北航行，在A 处测得北偏东21.3?方向有一座小岛C ，继续向北航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的北偏东63.5°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距离小岛C 最近？
（参考数据：925sin 21.3?≈，2
5
tan 21.3?≈， 9sin63.510?≈，tan63.52?≈）
解：过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ．
设BD x =，在Rt BCD ?中，tan tan63.5CD
CBD BD
∠=?=， ∴tan63.5CD x =??．
在Rt ACD ?中， tan tan 21.3CD
A AD
=?=， ∵60AD AB BD x =+=+， ∴()60tan 21.3CD x =+??．
∴()tan 63.560tan 21.3x x ??=+??，∵25
tan 21.3?≈，tan63.52?≈，
解，得 15x ≈．
答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C 最近.
（第
5题图）
A
B
C
东
（图六）
6．如图7，小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东?15方向，求小岛B 离开深水港口A 的距离.（精确到1.0千米）
参考数据：41.12≈，45.26≈，26.015sin ≈?，97.015cos ≈?，27.015tan ≈?.
【方法一】过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ．
在ADC Rt ?中，?=∠90ADC ，?=∠45CAD
∴21045cos =?=AC AD ，21045sin =?=AC CD 在BDC Rt ?中，?=∠90BDC ，?=?-?-?=∠30154590B ∴61030cot =?=CD BD
∴)62(10+=+=BD AD AB ≈6.38)45.241.1(10=+?．
【方法二】过点B 作AC BD ⊥，交AC 延长线于D ．
在BDC Rt ?中，?=∠90BDC ，?=∠15CBD 设x BD =，∴x BD CD 27.015tan ≈?=．
∵DAB DAB ABD ∠=?=?-?=∠-?=∠45459090∴BD AD =，
∴x x =+27.020，得73.020
=
x ∴6.3873
.020
41.173.02022≈?≈?==BD AB
答：小岛B 离开深水港口A 的距离是6.38千米．
7．已知：如图六，九年级某班同学要测量校园内旗杆 CH 的高度，在地面的点E 处用测角器测得旗杆顶点C 的仰角∠CAD ＝45°，再沿直线EF 向着旗杆方向行走 10米到点F 处，在点F 又用测角器测得旗杆顶点C 的 仰角∠CBA ＝60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗 杆CH 的高度（结果保留根号）．
解：根据题意，设DB=x 米在Rt △CBD 中，∠CBD=60° ∴CD=DB ·tan60°
米在Rt △ACD 中，∠CAD=45°
∴
+x =10
解得5)x =米
5)(15=-米∴
CH=1553 1.6
(16.653)-+=-米答：旗杆CH 的高度是(16.653)-米．
8．将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的边DF 的长度
（2）重叠部分四边形DBCF 的面积
解8。.? 12-4√3； 48√3-60
9。如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度
OG 为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素）
，细绳相应所成的角为?90.
（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；
（2）联结EG ，求OGE ∠的余切值.
.解：（1）过点E 作OG EH ⊥，垂足为点H . 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长.
根据题意，可知?=∠=∠452
1
EOF EOH 在EOH △Rt 中，∵OE
OH
EOH =∠cos ，
∴
2
2545cos 50cos =??=∠?=EOH OE OH .
∴
22550-=-=OH OG GH . （2）联结EG .
在EOH △Rt 中，22545sin =??=OE EH ∴122
252
2550cot -=-==
∠EH GH OGE . O
E 图10 O E
图10 H
10．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can ，如图（1）在△ABC 中，AB =AC ，底角B 的邻对记作can B ，这时can B BC AB ==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上
述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°= ；
（2）如图（2），已知在△ABC 中，AB =AC ，can B 5
8
=
，24=?ABC S ，求△ABC 的周长．
解： （1）can30°=3- （2）∵在△ABC 中， can B 58=
，∴5
8
=AB BC - 设k AB k BC 5,8== 过点A 作AH BC ⊥垂足为点H ，
∵AB =AC ∴k BH 4=
∵24=?ABC S ∴
24482
1
=??k k 2=k ∴28,25===BC AC AB ∴△ABC 的周长=218．-
B
第10题（2）
B
第10题（1）B
11。
21.3,0 63.5929
sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)
25510
A C
B
C C ???≈?≈?≈?≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。之后，轮船继续向东航 行多少海里，距离小岛最近？
（参考数据：
解：过点C 作CD ⊥AE ，垂足为点D ，
此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．由题意可知：
∠A =21.3°，AB =80海里，∠CBE =63.5°．在Rt △ACD 中，tan ∠A =
CD AD =2
5
， 2(80)5CD BD =+；
同理：2CD BD =； ∴2
2(80)5BD BD =+， 解得： 20BD =．
C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近.
12．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
1.73，sin760.97°≈，
cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）
12．解：（1）作BH ⊥l ，垂足为点H ，则线段BH 的长度就是点B 到航线l 的距离．
根据题意，得∠ADE =90°，∠A =60°，∴∠AED =30°．又∵AD =2，∴AE =4，32=DE ．∵AB =10，∴BE =6．∵∠BEH =∠AED =30°，∴BH =3，33=EH ．
（2）在Rt △BCH 中，
北
东
C D B
E
A
l （第12题图）
B D
C F
浦西 浦东 A （图11）
∵∠CBH =76°，∴BH
CH
=
?76tan ． ∴03.1201.4376tan 3=?≈?=CH ． 又∵35=DH ，∴CD =CH -DH =3.38． ∴6.4056.4012
138
.3≈===
t
CD v ． 答：该轮船航行的速度约为每小时40.6千米．
13．如图11，世博园段的浦江两岸互相平行，C 、D 是浦西江边间隔200m 的两个场馆．海宝在浦东江边的宝钢大舞台A 处，测得30DAB ∠=o
，然后沿江边走了500m 到达世博文化中心B 处，测得60CBF ∠=o
，求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号)．
13，解：过点C 作CE ∥DA 交AB 于点E ,
∵DC ∥AE ，∴四边形AECD 是平行四边形∴200AE DC m ==，300EB AB AE m =-=，∵30CEB DAB ∠=∠=?,又60CBF ∠=?，
∴30ECB ∠=?，∴300CB EB m ==在Rt CBF
?中，sin CF CB CBF =?∠=300sin 60??
=
答：世博园段黄浦江的宽度为．
14．．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°. (参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)
(1) 中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)
米？
（结果保留整数）
14 解：（1）沿着光线作射线AE 交CD 于点F, 过点F 作FG ⊥AB 于点G
由题意, 在Rt △AFG 中，GF=BC=12, ο
29=∠AFG
∴
25.855.01529tan =?=?=οGF AG ，
∴
75.1125.820=-==FC GB ∵675.11>，∴ 居民住房会受影响
（2）沿着光线作射线AE 交直线BC 于点E.
由题意, 在Rt △ABE 中，AB=20, ο
29=∠AEB
∴374.3655.020
29
tan ≈≈==
ο
AB BE ， ∴ 至少要相距37米
15．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米.现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长均为l 米的不锈钢架杆AD 和BC （杆子的底端分别为D ，C ），且66DAB ∠=o
（1）求点D 与点C 的高度差DH 的长度；
（2）求所用不锈钢材料的总长度l （即AD ＋AB ＋BC ，结果精确到0.1米）.
（参考数据：sin 660.91≈o
，cos660.41≈o
，
tan 66 2.25≈o ，cot 660.45≈o ）
15．解：（1）DH ＝0.43?＝1.2（米）.
（2）过点
B 作BM ⊥AH ，垂足为M .
由题意得：MH ＝BC ＝AD= 1，66A ∠=o
. ∴AM ＝AH －MH ＝1 1.21+-＝1.2. 在Rt △AMB 中，
∵cos AM A AB =
，∴AB ＝ 1.2
2.92cos660.41
AM ≈=?（米）.∴l ＝AD ＋AB ＋BC 1 2.921 4.9≈++≈（米）.
答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为4.9米.
G
F
（第15题图）
G
F
C
B
C
D
H
16. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时 sad A =
BC
AB
=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60?的值为（ ▼ ） A.
1
2
B. 1
C.
2
D. 2 （2）对于0180A ?<
（3）已知3
sin 5
α=，其中α为锐角，试求sad α的值.
16、解：（1）B ；
（2）02sadA <<；
(3) 如图，在△ABC 中，∠ACB =90?，sin ∠A 35
=. 在AB 上取点D ，使AD =AC ，
作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ， 则AD = AC
k ，
又在△ADH 中，∠AHD =90?，sin ∠A 35
=. ∴12sin 5DH AD A
k =?∠=
，165
AH k ==. 则在△CDH 中，4
5CH AC AH
k =-=
，CD ==. 于是在△ACD 中，AD =
AC =4k ，CD =
.
由正对定义可得：sadA =
CD AD
=sad α=.
17如图9，小杰在高层楼A 点处，测得多层楼CD 最高点D 的俯角为?30，小杰从高
层楼A 处乘电梯往下到达B 处，又测得多层楼CD 最低点C 的俯角为?10，高层楼与多层楼CD 之间的距离为CE ．已知30==CE AB 米，求多层楼CD 的高度．（结果精确到1米）
参考数据：73.13≈，17.010sin ≈?，98.010cos ≈?，18.010tan ≈?，29.8410cot ≈?．
17. 解：过点D 作AB DH ⊥，垂足为H 由题意，得：DC EH =，30==EC HD ……1分
?=∠10BCE ，?=∠30ADH 在Rt △BEC 中，CE
BE
BCE =
∠tan ∴30
10tan BE
=
? ∴??=10tan 30BE ∴4.5≈BE
∵30=AB ∴4.35=AE
在Rt △AHD 中，HD
AH
ADH =
∠tan ∴30
30tan AH
=
? ∴3.17=AH
∴181.183.174.35≈=-≈=DC EH （米）
答：多层楼CD 的高度约18米.
18．如图，要在宽为28米的公路AB 路边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为3米，且与灯柱
C
E A B D ?10 ?30 图9
BC 成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DE 能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）
18解：过点C 作CF //AB ，交DE 于点F ，过点F 作FG ⊥
AB 于点G
∵DE 与CD 垂直，0
150=∠DCB
∴在直角三角形DFC 中，0
30=∠DFC ∵CD =3米，∴CF =6米 根据题意四边形FCBG 为矩形 ∴CF =BG =6米，BC =FG
∵AB=28米，E 为AB 的中点，∴EG =14-6=8米在直角三角形EFG 中，0
30=∠FEG ∴EG
FG
=
30tan ∴FG =338米
∴BC =
3
3
8米 答：当灯柱高为3
3
8米时能取得最理想的照明效果。
19．如图是一座大楼前的六级台阶的截面图，每级台阶的高为0.15米，宽为0.30米，
第18题图
公 E
第18题图
公 E
现要将它改为无障碍通道（图中EF 所示的斜坡），如果斜坡EF 的坡角为8o ，求斜坡底部点F 与台阶底部点A 的距离AF ．（精确到0.01米） （备用数据：tan8o=0.140，sin8o=0.139，cos8o=0.990）
19．解：作EH ⊥AB ，垂足为点H ．
由题意，得EH =0.9，AH =1.5．在Rt △EFH 中，FH EH =
?8tan ，∴FH
9
.014.0=． ∴FH ≈6.429．∴AF =FH -AH =6.429-1.5=4.929≈4.93（米）．
20．2010年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为
米，其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15o
．
（参考数据：sin150.259≈o
，966.015cos =ο，tan150.268≈o ，cot15 3.732≈o
） （1）求车库的高度CD ；
（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（结果精确到0.1米）．
20． (1) i=
=BD CD 2
1
， 设CD=t ，BD=2t- 则在Rt BCD ?中，=52t=, 得 t=5 ∴CD=5米 （2）BD=2t=10米
在Rt △ADC 中，
?=15cos CD
AD
∵CD=5， ∴AD=5≈?732.318.66米- ∴AB=AD-BD=18.66-10=8.667.8≈米
21、林场工作人员王护林要在一个坡度为5∶12的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高
B A
D
E
F
（第19题图）
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
初三数学三角函数知识点
三角函数知识点及同步练习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ， 则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? :i h l =h l α
九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图
中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0， 23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60o． (1)点B的坐标是，∠CAO＝ o，当点Q与点A重合时，点P的坐标 为； (2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围． 【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2） () () () () 2 43 x430x3 31333 x x3x5 S{ 23 x1235x9 543 x9 x +≤≤ -+-<≤ = -+<≤ > 【解析】 解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时， 如图1， OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得 EF PE DC31 == OQ PO DO3 33 ==，∴EF= 1 3 （3+x）， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 14343 S S EF OQ OC3x x43 233 ==+?=+=+梯形 （）（） 当3＜x≤5时，如图2， () HAQ EFQO EFQO 22 1 S S S S AH AQ 2 43331333 x43x3=x x 32232 ? =-=-?? =+---+- 梯形梯形 。 当5＜x≤9时，如图3， 12 S BE OA OC312x 23 23 =x123 =+?=- -+ （）（） 。 当x＞9时，如图4， 11183543 S OA AH6 22 =?=?．
初中数学总复习三角函数
初中三角函数 〖考试要求〗 通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角. 度数sinαcosαtanα 30° 2 1 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 1．1 正弦和余弦 例1已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin2α+cos2α=1； （2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立； （3）已知sinα+cosα=1，求sin2α+cos2α的值． 证明（1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下 A B C A B C
当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有 sin2α+cos2α=1． （2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下 当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有 sinα+cosα≥1， 当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立． （3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有 sin2α+cos2α=1． 例2 求证：对于0°≤α≤90°， 1．2 正切和余切 证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，
当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα= （2）α必须满足不等式： 0°＜α＜90°． 如图6-2， 所以tgα·ctgα=1． 例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求 解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、特殊角的三角函数值 5、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。 2、应用举例： ①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。 对边 邻边 b
③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示， 即 h i l = 。坡度一般写成1:m的形式，如1:5 i=等。把坡面与水平面 的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α== 。 ④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。 如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 ⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫 做方向角。 如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60° （西北方向）。 锐角三角函数练习 一、选择题 1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA的值是（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（） A． B ． C． D． 1 3 4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COSα的值是（） Ａ．1 2 Ｂ．2Ｃ．1 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AC= AB=则tan∠ACD的值为（） : i h l = h l α D C B A
初三数学三角函数复习
锐角三角函数： 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边 )( sin =A ②斜边 )(cos =A ③的邻边 A A ∠=)( tan ． 例2．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．35 D ．4 5 3.（2009·中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知 8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．3 4 Ｂ．4 3 Ｃ．35 Ｄ． 45 A D E C B F 5. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一 D C B A O y x 第8题图
点，若1 tan 5 DBA ∠=，则AD的长为( ) A．2 B．2 C．1D．22 类型三. 化斜三角形为直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值． 2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B． 特殊角的三角函数值 锐角30° 45° 60° sin
最新初中数学三角函数综合练习题(1)
三角函数综合练习题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABCの正切值是（） A．2 B．C．D． 2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙Aの一条弦，则sin∠OBD=（） A．B．C．D． 3．如图，在Rt△ABC中，斜边ABの长为m，∠A=35°，则直角边BCの长是（） A．msin35° B．mcos35° C．D． 4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosAの值为（）
A．B．C．D． 5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架の跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D 为底边中点）の长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米 6．一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CAの夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯の面积至少需要（） A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2 7．如图，热气球の探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处の仰角为30°，看这栋楼底部C处の俯角为60°，热气球A处与楼の水平距离为120m，则这栋楼の高度为（） A．160m B．120m C．300m D．160m 8．如图，为了测量某建筑物MNの高度，在平地上A处测得建筑物顶端Mの仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端Mの仰角为45°，则建筑物MNの高度等于（）
A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度の综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为36°，然后沿在同一剖面の斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面ABの坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CDの高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（） A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米 10．如图是一个3×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍，△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ABCの值是（） A．B．C．D． 二．解答题（共13小题） 11．计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣| 12．计算：．
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
初中数学三角函数难题(含答案)
1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（） A．1 B．C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．3．观察下列等式 ①sin30°=cos60°= ②sin45°=cos45°= ③sin60°=cos30°= … 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ． 4．有四个命题： ①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； ③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个． 其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）． 5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ． 7．如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=度． 8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣； 因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣； 猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于． 9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= ． 10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= ． 11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β； ②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分） 12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
初三数学锐角三角函数含答案
锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．
例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC． （1）求证：∠AEC=90°； （2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2． 【解析】 试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得 ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出 ∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由 DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长． 试题解析：（1）连接OC，
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题) 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3
则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC
初三数学三角函数复习(供参考)
锐角三角函数： 例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°． 第1题图 ① 斜边 ) ( sin= A ② 斜边 ) ( cos= A ③ 的邻边 A A ∠ = ) ( tan． 例2．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3． 求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR． 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点． DE∶AE＝1∶2． 求：sin B、cos B、tan B． 2．如图，直径为10的⊙A经过点(05) C，和点(00) O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 5 D． 4 5 D C B A O y x 第8题图
3.（2009·齐齐哈尔中考）如图， O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为3 2 ，2AC =，则 sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．3 5 Ｄ． 45 A D E C B F 5. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 类型三. 化斜三角形为直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ABC 的值． 2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
上海初三数学锐角三角函数
第五讲 锐角三角函数 【问题探索】 一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中： ?===2 2 2111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？ （2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？ 【新课引入】 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即： b a A A A =∠∠= 的邻边的对边tan 同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________. 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考： 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表： 【总结归纳】 1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键； 2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 C C 1 C 2
初中数学三角函数综合练习题
三角函数综合练习题 一.选择题(共10小题） 1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A,B，Ｃ都在格点上，则∠ＡBCの正切值是( ） A.2?Ｂ.?C.?D. ２.如图,点D（0,3），O(0，0),C(4，0)在⊙A上，BＤ是⊙Aの一条弦,则ｓin∠OＢD＝（） A.? B.? C.D． ３.如图，在Rt△AＢC中，斜边ABの长为m，∠A=3５°，则直角边ＢCの长是（） Ａ．msin35°?Ｂ.mcos３5°C．Ｄ． ４.如图，△ABＣ中AＢ=AC＝4，∠Ｃ=72°，D是AB中点,点E在AＣ上,ＤE⊥AB，则cｏsA の值为（ ) Ａ．Ｂ. C.?D.
５.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形）钢架の跨度ＢC＝1０米，∠Ｂ=3６°，则中柱AD(Ｄ为底边中点）の长是( ) A．５sin36°米?B.5cos36°米?C．5tａn36°米?Ｄ.1０ｔan3６°米 6.一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线,ＣA是水平线，BＡ与CAの夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=４米，楼梯宽度1米,则地毯の面积至少需要（) A.米2B．米2C．（4+）米2?Ｄ．(４+4tａnθ)米2 7．如图,热气球の探测器显示，从热气球Ａ处看一栋楼顶部B处の仰角为30°,看这栋楼底部C处の俯角为６0°，热气球Ａ处与楼の水平距离为120m,则这栋楼の高度为（） A.１6０m B.120m Ｃ.3０0m D．160m ８.如图,为了测量某建筑物ＭNの高度,在平地上A处测得建筑物顶端Ｍの仰角为30°，向N点方向前进１6m到达B处,在B处测得建筑物顶端Mの仰角为4５°，则建筑物MNの高度等于（） A．8（)ｍB．8（）m C．16（）m?Ｄ．1６（）m
广州市初中数学锐角三角函数的解析
广州市初中数学锐角三角函数的解析 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( ) A ．4 B ．83 C ．6 D ．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ， 由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ， ∴∠OAB =60°， 在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43， ∴光盘的直径为83． 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ） A 5 B ．35 C 2 D ．23 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）