必修三概率教案

§3 .1 第1课时随机事件的概率(1)

教学目标

1.通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意义;

2.根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键；

3.理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；

4．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识.

教学重点：根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象,理解频率和概率的区别和联系.

教学难点：理解随机事件的频率定义及概率的统计定义及计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系.

教学过程：

一、问题情景：

观察下列现象发生与否，各有什么特点？

（1）在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾；（2）导体通电，发热；

（3）同性电荷，互相吸引；（4）实心铁块丢入水中，铁块浮起；（5）买一张福利彩票，中奖；（6）掷一枚硬币，正面朝上。

引导学生分析：（1）（2）两种现象必然发生，（3）（4）两种现象不可能发生，（5）（6）两种现象可能发生，也可能不发生。

二、建构数学：

（1）几个概念

1．确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象；

2．随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象。

3．事件的定义：

对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。而试验的每一种可

能的结果，都是一个事件。

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

初中课本上把“随机事件”表述为“不确定事件”，“必然事件”与“不可能事件”统称“确定事件”。必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象。我们用A，B，C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。

说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化。例如，水加热到100℃时沸腾的大前提是在标准大气压下，太阳从东边升起的大前提

是从地球上看等。

例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件、还是不可能事件

(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；

a ；

(2)若a为实数，则0

(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；

(4)抛一石块，石块下落；

(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的

数字之和大于12。

解：由题意知，（2）（4）为必然事件；（5）是不可能事件；（1）（3）是随机事件。 （2）随机事件的概率：

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A ，用()A P 表示事件A 发生的概率.怎样确定一事件发生的概率呢？ 实验1

奥地利遗传学家（G.Mendel,18221884 ）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中1F 为第一子代，2F 为第二子代）：

性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律.

实际上，孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的. 实验2

在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验.图3-1-1是连续8次模拟试验的结果：

我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.再看表3-1-2和3-1-3. 实验3

表3-1-2 π

实验

从表0.1，并在其附近摆动。如果统计0至9这10个数字在π的各位小数数字中出现的频率值，可以发现它们都是接近常数0.1，并在其附近摆动.

从表3-1-3可以看出，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.

在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。 概率：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将发生的频率

m

n

作为事件A 发生的概率的近似值，即 ()m P A n

≈

所以，在表3-1-2所示的实例中，我们用0.1作为所考虑事件的概率，而在表3-1-3所示的实例中，我们用0.95作为相应事件的概率. 说明：

1．进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 2．概率的性质：

①随机事件的概率为0()1P A ≤≤，

②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用Ω和φ表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即()1=ΩP ，()0=φP ;

3. 频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，频率却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;

4.“频率”和“概率”这两个概念的区别是：

① 频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；

② 概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性. 四．数学运用

1．例题：例2 某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 表3-1-4

(1)(2)该市男婴出生的概率是多少？ 解：（1）1999年男婴出生的频率为

11453

0.52421840

≈

同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为0.521，0.512，0.512； (2) 各年男婴出生的频率在0.510.53 之间，故该市男婴出生的概率约为0.52.

例3．（1）某厂一批产品的次品率为

1

10

，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？（2）10件产品中次品率为1

10

，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正

确？为什么？ 解：（1）错误.（2）正确. 2．练习

（1） 课本第88页练习第1、3题； （2） 课本第91页练习第1、3题；

（3

（1（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？ 解：（1）进球的频率分别为

75.086=，8.0108=，8.01512=，85.02017=，83.030

25

=，8.04032=，76.050

38

= （2）由于进球频率都在8.0左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是8.0 五．回顾小结

1理解确定性现象、随机现象、事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念并会判断给定事件的类型。

2理解概率的定义和两个性质：①()10≤≤A P ；②()1=ΩP ，()0=φP ，理解频率和概率的区别和联系。 六．课外作业

课第88页练习第2题； 课本第91页习题3.1第3、4题。

§3 .1 第2课时 随机事件的概率（2）

教学目标：

1．能够根据几个事件的概念判断给定事件的类型；

2．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义； 3．能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象； 4．理解频率和概率的区别和联系。

教学重点：理解频率和概率的区别和联系，用概率来刻画实际生活中发生的随机现象。 教学难点：理解频率和概率的区别和联系。 教学过程

一．复习上节课的几个概念、概率与频率的定义、概率的两个性质，进一步弄清楚概率与 频率的关系。

说明：①随机事件的概率，一般都是要通过大量重复试验来求得其近似值．

②()m

P A n

=是计算这种概率的基本方法．计算时，关键在于求,m n ． 二．数学运用：

1例题

例1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

①某地明年1月1日刮西北风；

②当x R ∈时，2

0x ≥；

③手电筒的电池没电，灯泡发亮；

④一个电影院某天的上座率超过50%； ⑤明天坐公交车比较拥挤；

⑥将一枚硬币抛掷4次出现两次正面和两次反面； ⑦某校高一学生中男生比女生多； ⑧一粒花籽，播种后发芽；

⑨函数()1y k x =+的图象过点()

1,0-； ⑩早上看到太阳从西方升起。

答案：②⑨是必然事件，③⑩是不可能事件，①④⑤⑥⑦⑧是随机事件。 例2．下列说法：

①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；

②如果某种彩票的中奖概率为

1

10

，那么买1000张这种彩票一定能中奖； ③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；

④ 一个骰子掷一次得到2的概率是

6

1

，这说明一个骰子掷6次会出现一次2。 其中不正确的说法是 （ A ） A ①②③④ B ①②④ C ③④ D ③

例3．下列说法：

（1）频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

（2）做n次随机试验，事件A发生的频率m

n

就是事件的概率；

（3）百分率是频率，但不是概率；

（4）频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；

（5）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。其中正确的是。

分析概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似。

解：（1）（4）（5）。

点评：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率，但并不是试验次数越多，所得频率就一定更接近概率值。

例4．某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表：

请填写表中有效频率一栏，并指出该药的有效概率是多少？（答案88%）

（2）这种油菜籽发芽的概率约是多少？0.90.

2．练习

（1）下面语句可成为事件的是（ D ）A 抛一只钢笔B中靶 C 这是一本书吗 D 数学测试，某同学两次都是优秀

（2）同时掷两枚骰子，点数之和在212

点间的事件是＿＿＿事件，点数之和为12点的事件是＿＿＿事件，点数之和小于2或大于12的事件是＿＿＿事件，点数之差为6点的事件是＿＿＿事件。

（3）10件产品中有8件正品，两件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事 件的为 （ D ） A 3件都是正品 B 至少有一件次品 C 3件都是次品 D 至少有一件正品

（4）100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是( C ) ()A 3 ()B 4 ()C 2 ()D 1

（5）从一批准备出厂的电视机中，随机抽取10台进行质检，其中有一台是次品，则这批 电视机中次品率 ( D ) A ． 大于0.1 B 小于0.1 C 等于0.1 D 不确定

（6）若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐 渐增大，有 （ D ） A ()n f 与某个常数相等 B ()n f 与某个常数的差逐渐减小 C ()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D ()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定

（7）对某厂生产的直径为4cm 的乒乓球进行产品质量检测，结果如下：

（1）试将优等品的频率填入上表；

（2）该厂生产的乒乓球优等品的概率约为多少？0.90

三．回顾小结：

1．根据事件的概念判断事件的类型；

2．理解概率的定义、性质，明确概率和频率的区别。

四．课外作业：

1．课本第91页练习2题， 2．习题3.1第1题

§3.2 第3课时古典概型(1)

教学目标

（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；

教学重点、难点

古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题．

教学过程

一、问题情境

情境：

将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？

问题：

是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？

二、学生活动

把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的。

所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情形

之一时，事件B就发生，于是

131 ()

524

P B==；

三、建构数学

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件的发生都是等可能的；

4．古典概型的概率：

如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1

n

，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为

()m

P A

n

=．

四、数学运用

1．例题：

例1．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？

分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示，摸到1,2号球与摸到2,1号球等同，故(x,y)统一要求：x

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)

因此，共有10个基本事件．

（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故

3

()

10

P A=

∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为

3 10

；

例2．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．

分析：由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．

解：Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,

DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故

第二子代为高茎的概率为3

0.75 4

=

答：第二子代为高茎的概率为0.75．

思考：第三代高茎的概率呢？

2．练习：

课本97页练习1,2,3

五、回顾小结：

1．古典概型、等可能事件的概念；

2．古典概型求解――枚举法（枚举要按一定的规律）；

六、课外作业：

课本第97页习题3.2第1、2、5、6题．

§3.2 第4课时古典概型（２）

教学目标

（1）进一步掌握古典概型的计算公式；

（2）能运用古典概型的知识解决一些实际问题；

教学重点、难点

古典概型中计算比较复杂的背景问题．

教学过程

一、问题情境

问题：等可能事件的概念和古典概型的特征？

二、数学运用

1．例题：

例1．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：

（1）共有多少种不同的结果？

（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？

（3）两数和是3的倍数的概率是多少？

解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6636

?=种不同的结果；

(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6212

?=种不同的结果．(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种，因为抛两次得到的36

中结果是等可能出现的，所以所求的概率为

121 ()

363 P A==

答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数和是

3的倍数的概率为1

3

；

说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：

例2． 用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求 (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．

分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）

解：基本事件共有27个； (1)记事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的基本事件有133?=个，故 31()27

9

P A ==

(2)记事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的基本事件有236?=个，故 62()27

9

P B ==

答：3个矩形颜色都相同的概率为19；3个矩形颜色都不同的概率为29

． 说明：古典概型解题步骤： ?阅读题目，搜集信息；

?判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； ?求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ； ?用公式()m

P A n

=

求出概率并下结论. 例3．一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：?有一面涂有色彩的概率；?有两面涂有色彩的概率；?有三面涂有色彩的概率.

解：在1000个小正方体中，一面图有色彩的有2

86?个，两面图有色彩的有812?个，三面图有色彩的有8个，∴?一面图有色彩的概率为1384

0.3841000

P ==； ?两面涂有色彩的概率为296

0.0961000P =

=； ?有三面涂有色彩的概率28

0.0081000

P =

=. 答：?一面图有色彩的概率0.384；?两面涂有色彩的概率为0.096；?有三面涂有色彩的

概率0.008.

2．练习：

（1）同时抛掷两个骰子，计算：

①向上的点数相同的概率；②向上的点数之积为偶数的概率．

（2）据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查一名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是（）()A25%()B35%()

C50%()

D75%

（3）在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的

概率为（）

()A 1

2

()B

1

10

()

C

1

20

()

D

1

40

三、回顾小结：

1．古典概型的解题步骤；

2．复杂背景的古典概型基本事件个数的计算――树形图；

四、课外作业：

课本第97页第4、7、8、9、10、11题。

§3.3 第5课时 几何概型(1)

教学目标

（１）了解几何概型的概念及基本特点； （２）熟练掌握几何概型中概率的计算公式； （３）会进行简单的几何概率计算． 教学重点，难点

（１）掌握几何概型中概率的计算公式； （２）会进行简单的几何概率计算． 教学过程 一．问题情境 １．情境：

试验１．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．

试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的． ２．问题：

对于试验１剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２射中黄心的概率为多少？ 二．学生活动

经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点．

第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．

在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂，但是显然不能用古典概型的方法求解．

考虑第一个问题，如图331--，记＂剪得两段的长都不小于1m ＂为事件A ．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，

事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13

， 于是事件A 发生的概率1

()3

P A =

． 图331-- 第二个问题，如图332--，记＂射中黄心＂为事件B ，由于中靶心随机地落在面积为221

122

4cm π??的大圆内，而当中靶点落在面积为 221

12.24

cm π??的黄心内时，事件B 发生，

于是事件B 发生的概率2

21

12.24()0.0111224

P B ππ??==??．

图332--

三．建构数学

１．几何概型的概念：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． ２．几何概型的基本特点：

（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． ３．几何概型的概率：

一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件

A ，则事件A 发生的概率()d P A D =

的测度

的测度

．

说明：（１）D 的测度不为0；

（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相

应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３）区域为＂开区域＂；

（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部

分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

四．数学运用

１．例题

例１．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图333--），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）

分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．

解：记＂豆子落入圆内＂为事件A ，则

22()44

a P A a ππ

===圆面积正方形面积．

答：豆子落入圆内的概率为

4

π

． 图333--

例２．在1L 高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？（＂测度＂为体积）

分析：病种子在这1L 种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL 种子可视作区域d ，所有种子可视为区域D ．

解：取出10mL 麦种，其中＂含有病种子＂这一事件记为A ，则

101

()1000100

P A =

==取出种子的体积所有种子的体积．

答：含有麦锈病种子的概率为

1100

．

例３．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．（＂测度＂为长度）

分析：点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图335--中线段

'AC 内时，AM AC <，故线段'AC 即为区域d ．

解：在AB 上截取'

AC AC =．于是

'()()P AM AC P AM AC <=<

'AC AB =AC AB ==．

答：AM 小于AC 的概率为

2

． 图335-- ２．练习

课本第103页练习１，２，３

五．回顾小结：

１．几何概型的概念及基本特点 ２．几何概型中概率的计算公式

六．课外作业：

课本第103页习题３．３第１，２，３，４题

§3.3 第6课时 几何概型(2)

教学目标：

１．能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想； ２．增强几何概型在解决实际问题中的应用意识． 教学重点，难点：

将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． 教学过程： 一．问题情境

复习几何概型的概念，基本特点，计算公式． 二．数学运用 １．例题

例１．如图，60AOB ∠=

，2OA =，5OB =，

在线段OB 上任取一点C ， 试求：（１）AOC ?为钝角三角形的概率； （２）AOC ?为锐角三角形的概率． 解：如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；

当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．

（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ?为钝角三角形

记＂AOC ?为钝角三角形＂为事件M ，则11

()0.45

OD EB P M OB ++=

==

即AOC ?为钝角三角形的概率为0.4．

（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ?为锐角三角， 记＂AOC ?为锐角三角＂为事件N ，则3

()0.65

DE P N OB =

== 即AOC ?为锐角三角形的概率为0.6．

例２．有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去， 如果不考虑硬币完全落在圆外的情况， 试求硬币完全落入圆内的概率．

解：由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不 考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O 内，且只有中心落入与圆O 同心且半径为4的圆内时， 硬币才完全落如圆内．

记＂硬币完全落入圆内＂为事件A ，则

.94

6

4)(2

2=??=ππA P 答：硬币完全落入圆内的概率为

4

9

．

引例：由课本P101的例题１，模拟估计π的值．

解：由课本P101的例题１可以知道，豆子落入圆内的概率()4

P A π

=

．如果我们向正方形

内撒n 颗豆子，其中落入圆内的豆子数为m ，那么当n 很大时，比值m

n

，即频率应该接近于()P A ，所以()m P A n ≈．又因为()4P A π=，所以4m n π≈，所以4m

n

π≈．

（用Excel 模拟见＂撒豆模拟.xls ＂）

说明：

模拟的主要思想：当n 很大时，比值m

n

（可以由计算机模拟得出），即频率应该接近于()P A ，

而在几何概型中()d P A D =

的测度

的测度

，通常已知D 的测度，所以可以利用

()m d P A n D ≈=的测度的测度

估计出d 的测度或在()P A 值中某些量的值． 例３．利用随机模拟方法计算曲线1

y x

=

，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积． 分析：在直角坐标系中画出正方形（1x =，2x =，0y =，1y =所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．

解：（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =； （２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标） （３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =， 所以

1

0.6891S N N

≈=，即0.689S ≈． 说明：模拟计算的步骤： （１）构造图形（作图）；

（２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率

m

n

； （３）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度

算出相应的量．

２．练习

（1）如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的

概率为 （ ）

A ．

2

π

B ．

1

π

C ．

23 D ．13

（2）如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45

，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 （ ）

A ．18

B ．14

C ．12

D ．3

4

（3）现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为 （ ）

A ．

1100 B ．120 C ．110 D ．15

（4）一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________

（5）在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是________________

（6）若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为_______

（7）课本第103页练习４，５

五．回顾小结：

１．用模拟的方法估计概率的步骤；２．几何概型的计算公式．

六．课外作业：课本第104页习题３．３第５题

补充：

练习册B 册P258第５题：

已知在矩形ABCD 中，5AB =，7AC =．在长方形内任取一点P ，求APB ∠>?90的概率．

§3．4 第7课时 互斥事件(1)

教学目标：

（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判 断它们是否是对立事件．

（2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．

（3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维． 教学重点：

互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 教学难点：

利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率． 教学过程： 一、问题情境 1．情境：

体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，

2．问题：

在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？

从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？

二、学生活动

体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为D C B A ,,,．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件B A ,是不可能同时发生的．

在上述关于体育考试成绩的问题中，用事件B A +表示事件“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有 9+15种，从而事件B A +发生的概率50

15

9)(+=+B A P ． 另一方面509)(=

A P ，50

15)(=B P ，因此有)()()(B P A P B A P +=+． 三、建构数学

1．互斥事件

不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2．互斥事件的概率

如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．

一

般

地

，

如

果

事

件

n

A A A ,,,21 两两互斥，则

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ．

3．对立事件

两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而

1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．

思考：对立事件和互斥事件有何异同？

四、数学运用

1．例题：

例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？ 解 事件A 和B 互斥

因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．

（2） 求射击1次，命中不足7环的概率．

解：记事件“射击1次，命中k 环”为),10,(≤∈k N k A k 且则事件k A 两两相斥． （1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为A ，那么当10A ，9A ，8A 或7A 之一发生时，事件A 发生．由互斥事件的概率加法公式，得)()(78910A A A A P A P +++= =)()()()(78910A P A P A P A P +++=9.032.028.018.012.0=+++．

（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即A 表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得

1.09.01)(1)(=-=-=A P A P ．

答 此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1．

例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： （1） 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2） 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？