三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案

课堂引入： 我们在三角函数整个知识方面不仅需要掌握所有的知识体系，

在做题方面我们通常不知道如何下手，

那么题目我们就没有办法了吗？接下来老师和你分享一些解题的技巧方法。

知识讲解：

基本思路是 ：一角二名三结构。 首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ； 第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有 :

一．巧变角 ：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如 ( ) (

)

，2 ( ) ( )， 2

(

)(

），

2，

2

， 2

2

2

典例精讲：

例题 1. 已知 tan( )

2

， tan(

1 ，那么 tan( )

的值是 _

____ 。

5

4

44

例题 2. 已知 0

，且 cos(

) 1， sin( ) 23 ， 求 cos(

）值。

2

2 9 2

3

例题 3. 已知 , 为锐角，

sin x,cos y ， cos( )

3

，则 y 与 x 的函数关系为

学员编号： XA0002390 学员：

辅导科目：数课 时 数： 3 学科教师：

年 级：高三

3 239

(答：1) ；2) ；3)

22 729

二．三角函数名互化( 切化弦) ，例题3. 求值sin 50o(1 3tan10o)x2 4 x(3 x

55

1))

答：1)；

例题4. 已知

sin cos 1 cos21,tan(2，求

tan( 2

3

) 的值

1

答：1)

8

三．公式变形使用。

例题5. 已知A、B为锐角，且满足tan A tan B tanA tanB1，则cos(A B)＝

答：22)；

例题6.设ABC中，tanA tanB 3 3 tan Atan B ，sin AcosA 43

，则ABC 是三角形

答：等边)

四．三角函数次数的降

升

3

例题7.若( ,32)，化简为答：sin 2)；

例题8. 函数f( x)5sin xcos x 5 3cos2 x 5

2 3(x R) 的单调递增区间为

答：[ k12,k12](k Z))

五．式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化

同

)。

例题9. 求证：1sin

1 2sin221 tan

2；

1 tan

2

2cos4x 2cos2x

例题10. 化简：

2tan( x)sin 2( x)

44

答：

1cos2x )

2

2

六．常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 s ienc2 x ctaons

2 x

tanx cotx tan

4 sin 2 L

等)，

例题11. 已知tan 2，求sin2 sin cos3cos2答：3 5).

七．正余

弦

三兄妹—sinx cosx、sin x cosx ”的存联系例题12. 若sinx cosx t ，则sin xcosx 知一求二” ，

答：t 221) ，特别提醒：

这里[ 2, 2] ；

例题13. 若1

(0, ),sin cos 2，求tan 的值。答： 4 7)；

3

八．辅助角公式（收缩代换）的应用 ：asinx bcosx a 2

b 2

sin x 号确定， 角的值由

tan

b

确定 ） 在求最值、化简时起着重要作用。

a

例题 14.若方程 sinx 3cosx c 有实数解，则 c 的取值围是 ________________________

课后总结：

T 同步：三角函数周期及最值 ★★

教学目标： 知识讲解：

一．三角函数周期的求法

1．定义法 ：

定义：一般地ｙ＝ f （x ） ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域的每一个值时， ｆ（ｘ＋ T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ

（ｘ） 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对

于一个周期函数来说， 如果在所有的周期中存在着一个最小的正数， 就把这个最小的正数叫做最小的正周期。 下面 我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。

例题 14. 已知 sin2 2sin 2

1 tan

2

），试用 k 表示sin cos 的值

答： 1 k ）。

例题 17. 求值：

3 sin 2 20

12

2

64sin 2

20 _____________

cos 2

20

( 答： 32)

（ 其中 角所在的象限由 a , b 的符 例题 15. 当函数 y 2cosx 3sin x 取得最大值时， tan x 的值是 ____ (

3 答： ） ；

2

例题 16. 如果 f x sin x

2cos(x ) 是奇 函数，则 tan =

(

答：－ 2） ；

答： [ －

2,2] ）；

例1 ．

求函数y=3sin

（

x

3

)

3

的周期

解：∵y=f ( x)=3sin(2x）2

=3sin ( x

+2 )

3333

22

=3sin (x2) =3sin[(x 3 ) ]

3333 x+3 )

这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3 ，且必增加到x+3 时，函数值重复出现。2

∴函数y=3sin （x ）的周期是T=3 。

33

2．公式法：

（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （x ）、y=Acos（x

为常数，且 A 0、>0、R），则可知道它们的周期分别是：

ｙ＝tan （x ）形成（其中A、2例 2 ：求函数y=1-sinx+ 3cosx 的周期

解：∵ y=1-2 1sinx- 3cosx ) 22

=1-2 cos sinx-sin cosx )

33

=1-2sin 这里=1

( x- ) 3 ∴周期

T=2

2）如果f x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin x、cos x、tan x 的形式，再确定它的周期。

例3：求 f （x）=sinx ·cosx 的周期

1 解：∵ f （x）=sinx ·cosx= sin2x

2 这里=3，∴ f （x）=sinx ·cosx 的周

期为T= 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求

周期（转化法）

例 4 求函数y 2 3sin xcosx 2sin2 x 的周期

解：y 2 3 sin x cos x 2sin2 x 3sin2x cos2x 1

2( sin2x

2 1cos2x) 1 2sin(2x ) 1 26

例 5 已知函数 f (x) sin x(sin x cos x), 求周期

3 3 3

1 3

3. 配方法—转化为二次函数求最值

2

x

x x 1 2x 1 2x

解：

f (x) sin sin cos (1 cos ) sin

3 3 3 2 3 2 3

1 1 2x

2x 12 2x

(sin

cos )

sin(

2 2 3

3 22 3 4

4、遇到绝对值时，可利用公式

|a| a 2 , 化去绝对值符号再求周期

例6 求函数 y | cos x |的周期

解：∵ y |cosx|

cos 2 x

1 cos2x

2

∴

T

2

、三角函数最值问题的几种常见类型

1. 利用三角函数的有界性求最值 利用正弦

函数、 余弦正数的有界性： ∣ sinx ≠0, φ≠ 0) 的函数最值 .

1 2 3

y=2 cos x+ 2 sinxcosx+1,x 2

1 3

2x-1)+ 4 + 4

3

4

≤ 1, ∣ cosx ∣ ≤1, 可求形如 y=Asin( ω x+φ),y=Acos(Asin( ω x+φ )(A

例 1: 已知函数 ∈R,当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合 .

1 解： y=4 (2cos (2sinxcosx)+1 1

4 cos2x+

sin2x+ 15

1

2 sin(2x+ 6 )+54 y 得最大值必须且只需

2x+ = +2k π， k ∈ Z. 即 x= +k π , k ∈ Z. 6 2 6

所以当函数 y 取得最大值时， 自变量 x 的集合为 {x|x= + k π , k ∈ Z.}

6

2. 反函数法

例 2: 求函数

[ 分析 ] 此为 y

ccosx

角函数的有界性去解。 2cosx 1 的值域

2cosx 1

acosx b 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 d

同角，先用反解法，再用三

解法一：原函数变形为

cosx

解法一：原函数变形为 cosx

2cosx 1

y1 2 y 1

cosx 1,

1 ，可直接得到： y 3或

y1 2 y 1

1, y 3 或

例 3 ：求函数 y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1 的最值 .

325

解 ∵ f(x)=(cos2x- ) - ,

24

∴当 cos2x=1, 即 x= k π,(k ∈ Z) 时， y=min=-1, 当 cos2x=-1, 即 x= k π + ,( k ∈ Z) 时， y=max=5.

2

这里将函数 f(x) 看成关于 cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间

[-1 ，1] 上的最值值问题了 .

4. 引入辅助角法

y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角 ，化为 y= a 2

b 2

sin ( x+ ), 利用函数 sin x 1 即可求解。

22

Y=asin x+bsinxcosx+mcos x+n 型亦可以化为此类。

1

cos 2 x

3

sin x cosx 1 x R 当函数 y 取得最大值时，求自变量

22

y asin x bcosx 型求解。

1 1 cos2x 3 s in2x

1 3

5 1 1

3 5 y

1 cos2x

sin2x

cos2x sin2x

22 解：

2

2

4

4 4 2 2

2

4

1

sin 2x 5

, 2x

2k , x

kk z ,y max

26

4

6 2

6

5. 利用数形结合

sin x

例 5： 求函数 y 的最值。

2 cosx

6、换元法

例 4 ：已知函数 y

x 的集合。

[ 分析 ] 此类问题为 y

asin 2 x bsin x cosx ccos 2 x 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为

解：原函数可变形为

sinx 0 cosx ( 2)

这可看作点 A(xcos ， sin xB) 和 ( 2

， 0) 的直线的斜率，而 A 是单位圆 1上的动点。由下图可知，

过 B( 2，0) 作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，

y

max

3

，

3 ， y min

例 6 ：若 0

1 y=(1+ sinx )(1+ co 1sx ) 的最小值 .

cosx

间的单调性来求解。

8. 利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷

入误区。

9. 利用图像性质 例 求函数 f (x) 2 4asinx cos2x 的最大值和最小值。

分析：函数 f (x) 的解析式可以变换成关于 sinx 的二次函数， 定义域为 1，1 ，应该讨论二次函数对应的抛 物线的对称轴相对于区间

1， 1 的位置，才能确定其最值。

2 2 2

解： y f (x) 2sin 2

x 4asinx 1 2(sin x a)2

1 2a 2

. 设 sinx t ，则 1 t 1， 并且y g(t) 2(ta ) 2

1 2a 2

.

当a 1时， 如下图所示，

有 y max g(1) 3 4a ， y min g( 1) 3 4a.

1

解 y=(1+ sinx )(1+ 1 cosx ) sinx+cosx+1 =1+

sinxcosx

令 sinx+cosx=t(1

≤ 2 ),

t 2-1

则 sinx ·cosx= 2 ， 2

t 1 t 2

+2t+1 t+1 ∴

y=1+ = 2 = 2

t2 1

t 2-1 t-1

2 =1+

t-1 ,

由 1

7. 利用函数在区间的单调性

∴函数的最小值为 3+2 2 .

例 7 ： 已知 x 0,

，求函数 y

sin x 2 的最小值。 sin x

[ 分析 ] 此题为 sin x

a

型三角函数求最值问题，当 sinx>0,a>1 ，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区

sin x

设

sin x t, 0 t 1,y

1

，在( 0，1)上为减函数，当 t=1 时， y min

3。

例 8 ： 求函数 y 解： y

1 2 sin x

14

2 2 的最值。 sin 2 x cos 2 x

4 2 2 2 2

2

=1 cot 2 x 41 tan 2

x 5 cot 2 x 4tan 2 x 5 2 2 9

cos 2 x

当且仅当 2

cot 2

x 4 tan 2 x,即cot x 2时，等号成立，故 y min

9。