2020中考数学压轴大题专项训练

中考大题特训

1.(2019·嘉兴)小飞研究二次函数y＝－(x－m)2－m＋1(m为常数)性质时如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；

②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1＜x2，x1＋x2＞2m，则y1＜y2；

④当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2.

其中错误结论的序号是( C )

A.①

B.②

C.③

D.④

【难度】0.3【特训考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形的性质.

解析：①∵顶点坐标为(m，－m＋1)且当x＝m时，y＝－m＋1，∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上，故结论①正确；

②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y＝0，得－(x－m)2－m＋1＝0，其中m≤1，解得：x1＝m－－m＋1，x2＝m＋－m＋1，∵顶点坐标为(m，－m＋1)，且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，∴|－m＋1|＝|m－(m－－m＋1)|，解得：m＝0或1，∴存在m＝0或1，使得

函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，故结论②正

确；③∵x 1＋x 2＞2m ，∴x 1＋x 22

＞m ，∵二次函数y ＝－(x －m )2－m ＋1(m 为常数)的对称轴为直线x ＝m ，∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离，∵x 1＜x 2，且－1＜0，∴y 1＞y 2，故结论③错误；④当－1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且－1＜0，∴m 的取值范围为m ≥2.故结论④正确.

2.(2019·岳阳)如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A ，B 两点分别作PE 的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ①②④ .(写出所有正确结论的序号)

①AM 平分∠CAB ；②AM 2＝AC ·AB ；

① 若AB ＝4，∠APE ＝30°，则BM 的长为π3；

② 若AC ＝3，BD ＝1，则有CM ＝DM ＝ 3.

【难度】0.6 【特训考点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质.

解析：连接OM ，∵PE 为⊙O 的切线，

∴OM ⊥PC ，∵AC ⊥PC ，∴OM ∥AC ，

∴∠CAM ＝∠AMO ，∵OA ＝OM ，∠OAM ＝∠AMO ，

∴∠CAM ＝∠OAM ，即AM 平分∠CAB ，故①正确；∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB ＝90°，

∵∠CAM ＝∠MAB ，∠ACM ＝∠AMB ，

∴△ACM ∽△AMB ，∴AC AM ＝AM AB ，∴AM 2＝AC ·AB ，故②正确；∵

∠APE ＝30°，∴∠MOP ＝60°，

∵AB ＝4，∴OB ＝2，∴BM 的长为60·π×2180＝2π3

，故③错误； ∵BD ⊥PC ，AC ⊥PC ，∴BD ∥AC ，∴PB PA ＝BD AC ＝13，∴PB ＝13

PA ，∴PB ＝12AB ，BD ＝12

OM ， ∴PB ＝OB ＝OA ，∴在Rt △OMP 中，OM ＝12

OP ＝2，∴∠OPM ＝30°，∴PM ＝23，∴CM ＝DM ＝DP ＝3，故④正确.

3.(1)问题发现：

如图1，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F .

填空：①∠AFB 的度数是 ；②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ；

(2)类比探究：

如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC ＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F.请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)解决问题：

如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离.

【难度】0.2【特训考点】几何变换综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想.

解：(1)如图1中，∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBF，设BC交AF于点O.∵∠AOC＝∠BOF，∴∠BFO＝∠ACO＝60°，

∴∠AFB＝60°；

(2)结论：∠AFB＝45°，AD＝2BE.理由：如图2中，∵∠ABC

＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，∴∠ACD＝∠BCE，AC

BC＝

DC

EC

＝2，

∴△ACD∽△BCE，∴AD

BE＝

AC

BC＝2，

∠CBF＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝45°；

(3)如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点在以AB为直径的圆上，

∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，

∵∠DAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD∽△CAE，∴EC

BD＝

AC

AB＝cos30°＝

3

2，

∴EC＝

3

2BD，在Rt△ADE中，∵DE＝3，

∠DAE＝30°，∴AE＝3DE＝3，∴BE＝AB2－AE2＝4，∴BD＝

BE－DE＝4－3，∴CE＝

3

2BD＝23－

3

2，∵∠BEC＝30°，∴点C

到直线DE的距离等于CE·sin30°＝3－3 4.

如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE＋

EB ＝4＋3，CE ＝32BD ＝23＋32

，点C 到直线DE 的距离等于CE ·sin30°＝3＋34

. 综上所述，点C 到直线DE 的距离等于3±34

.