高二下学期数学期末考试试卷(理科)

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高二下学期数学期末考试试卷（理科）

(时间：１20分钟,分值：１50分)

一、单选题(每小题５分，共6０分)

1．平面内有两个定点F 1（－5，０)和F ２(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|P Ｆ2|＝６,则动点P 的轨迹方程是( )

A.错误!未定义书签。－＼f(y 2,９)=1(ｘ≤－４）?

B.错误!未定义书签。－错误!未定义书签。＝1(x ≤-3）

C.＼f(ｘ2,16)-＼ｆ(y ２

,9）=1(x ≥4)?

Ｄ.错误!未定义书签。-错误!=1（x ≥3）

2．用秦九韶算法计算f(x)＝３x ６+４ｘ5+5x 4＋６x 3+7ｘ２+８x+1当x ＝0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（ )

A. 6,6?

B. 5，6

C. 6,5?

D. 6,12

3．下列存在性命题中,假命题是( ) A ． ?x ∈Z,x 2-2ｘ－3=0

B. 至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除 Ｃ. 存在两个相交平面垂直于同一条直线 D.

x ∈｛x 是无理数}，x 2是有理数

4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数.若点P (a ,ｂ）落在直线x +y ＝ｍ(ｍ为常数)上，且使此事件的概率最大,则此时ｍ的值为 ( )

Ａ. ６?Ｂ. 5

Ｃ. 7?Ｄ. 8

5.已知点P 在抛物线2

4x y =上，则当点P 到点

()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值

时，点P 的坐标为（?)

A. ()2,1?

B.

()2,1-

C. 11,

4??- ???

D. 11,

4??

???

6．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的

--

i =( ）

A ． 1４

Ｂ. 17

Ｃ. 19?D ． 21

7．若函数()[)∞+-=，在12x

k

x x h 在上是增函数,则实数k 的取值范围是( ) A. ?B ． C.

D.

８.空气质量指数(A ｉr Q ｕality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级:0~50为优,51~１0０为良。1０１～１50为轻度污染,1５1~200为中度污染，201～2５0为重度污染,2５1~300为严重污染。一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(ＡQI≤１00)?的天数(这个月按30计算) ( ）

Ａ. １５?B. 1８ C. 2０ Ｄ. ２４ 9．向量()()2,,2,4,4,2x b a -=-=，若b a ⊥，则x 的值为( )

Ａ．

?Ｂ.

C. D.

1０.已知e 为自然对数的底数，则曲线x

y xe =在点

()1,e 处的切线方程为（

)

A ． 21y x =+ B. 21y x =-

C ． 2y ex e

=-

D. 22y ex =-

１1.已知双曲线22221x y a b

-=(0,0a b >>)的一条渐近线被圆22

650

x y x +-+=截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为(

)

Ａ. 2?B.

3

C.

5?D. 6

１2.已知函数()x x x f ln 1+=在区间()032,>??? ?

?

+a a a 上存在极值，则实数a 的取

值范围是( )

A. ???

??32,21?B ． ??? ??1,32?Ｃ. ??? ??21,31?D. ??

? ??1,31 二、填空题（每小题5分,共２0分)

13．已知函数f(x)=lnx ，在区间(0,3)上任取一个实数x 0，则使得f(x 0)≥0的概率为_＿___＿_＿____.

--

14．直线3y x =与曲线2

y x =围成图形的面积为____＿＿_＿

1５.设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足

12NF NF ⊥,则12NF F ?的面积______＿＿___

1６.函数()2sin f x x x =-，对任意[]12,0,πx x ∈,恒有()()12f x f x M -≤，则

M 的最小值为_＿__＿_＿＿.

三、解答题

17．(本小题10分)已知命题p :实数x 满足x 2－５ax +４a 2<０,其中ａ＞0,命题q :实数

x 满足22280{ 3100

x x x x --≤+->.

(１)若ａ=1，且p ∧ｑ为真,求实数ｘ的取值范围；

（2)若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

１8.(本小题12分)某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获利润y 万元之间有如表的统计

数据：参考公式:用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：???y

bx a =+， 其中： 122

1?n

i i i n i

i x y nx y b

x nx

==-?=-∑∑, ??a y bx

=-， 参考数值: 218327432535420?+?+?+?=。 (Ⅰ)求出,x y ;

（Ⅱ)根据上表提供的数据可知公司所获利润y 万元与科研费用支出x 万元线性相

关,请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+； （Ⅲ）试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为1０万元时公司所获得的利润。

1９．（本小题１2分)已知棱长为的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中

点，F 为11B A 的中点．

--

(1)求证:F C DE 1⊥；

(２)求异面直线C A 1与F C 1所成角的余弦值．

2０．(本小题12分)已知抛物线2

:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点. (１)求证： l 与C 必有两交点;

(2）设l 与C 交于,A B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1,求k 的值．

21．(本小题１2分)已知椭圆C ： 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为

12,F F

且离心率为,过左焦点1F 的直线l 与C 交于,A B 两点, 2ABF ?

的周长为

（1)求椭圆C 的方程;

(2)当2ABF ?的面积最大时,求l 的方程.

22.(本小题12分）已知函数()()2

ln f x ax x a R =-+∈ ．

(１)讨论()f x 的单调性;

（2)若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.

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2017年下学期期末考试试卷 高二数学（理科)参考答案

1. D

解析：由已知动点P 的轨迹是以Ｆ1，F ２为焦点的双曲线的右支,且a =3，c ＝5，b 2=c 2-a 2=１6，

∴所求轨迹方程为错误!-错误!未定义书签。=1(ｘ≥3)． 答案：D 2．A

【解析】改写多项式()()()()()()345678

1f x x x x x x x =

++++++,则需进行6次

乘法和6次加法运算,故选A. 3．Ｃ

【解析】?x ＝-1，ｘ２

－2x-3=0; ｘ=6时x 能被2和３整除；两个平面垂直于同一条直线则这两个平面必平行;时x ２

是有理数，所以假命题是Ｃ. 4.Ｃ

【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次,点（ａ，b ）共有３6种情况,其中当a +ｂ=7时，共有6种情况,即(１,6),(２,５)，（３，４)，(４,３),(5,2），(6，1),此时概率最大，故当m =7时,事件的概率最大．选C 。 ５． D

【解析】根据抛物线的定义P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，所以点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点()1,2Q 的距离与点Ｐ到准线的距离之和最小,过点()1,2Q 作准线的垂线，交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为11,

4??

???

. 6．A

【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算Ｓ=1+２+3+ i +的值，当S ＞81时,

输出i+1的值. 由于S=1+2+3＋…+ｉ=()

12

i

i +,

当ｉ＝12时,S=

1213

2?＝78<8１, 当ｉ=13时,S ＝1314

2

?=91>81,满足退出循环的条件,故输出i 的值为13＋1=１4．

故选:A ．

点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. ７．A

--

【解析】因为函数

在(]

,0-∞上是增函数，所以

在

(],0-∞上恒成立，所以

，故选A ．

考点：由函数在区间上的单调性求参数范围. 8．B

【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为２， 空气质量良的天数为4，

∴ 该样本中空气质量优良的频率为610=3

5 ， 从而估计该月空气质量优良的天数为30×3

5

=18

9.D

【解析】由,可得

，解得

,故选D.

考点:空间向量坐标形式的运算. １0．Ｃ

【解析】因为x y xe =,所以‘x x y e xe =+,曲线x

y xe =在点()1,e 处的切线斜率

k e 12e e =+?=,切线方程为21y e e x -=-（）,化简得2y ex e =-，故选Ｃ. 1１．D

【解析】由题意得圆方程即为22

(3)4x y -+=，故圆心为(３,０)，半径为2.

双曲线的一条渐近线为b

y x a

=，即0bx ay -=，

故圆心到渐近线的距离为d ==

。 ∵渐近线被圆截得的弦长为２，

∴2

22

12??+=,整理得2212b a =。

∴2

c e a =====

D 。 点睛：

双曲线几何性质是高考考查的热点,其中离心率是双曲线的重要性质,求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式,利用

222b c a ＝－和e=

c

a

转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． １2．D 【解析】

，令

,得ｘ=1,当

，，

--

()3

2

2

3300

3

193|2

32

S x x dx x x ??=-=-= ????当,

,所以2x =是函数的极大值点，又因为函数在区间

上存在极值，所以,解得,故选D.

考点:导数的应用,极值.

13．23

【解析】当f (x 0)=Inx 0≥0时，x 0≥1

∴概率P =3?13=2

3 故答案为2

3。 4 ．

，

１

１５.３

【解析】设双曲线的方程为22

x y λ-= ,代入点21M （，）

，可得3λ= ,?∴双曲线的方程为2

2

3x y -= ，即22

133

x y -=， 设12,NF m NF n =

=，则22

{ 24

m n m n -+＝＝ 6mn ∴= ，

12NF F ∴的面积为1

32

mn =

．

即答案为3

16.

2π

3

【解析】∵()2sin f x x x =-，

∴()12cos f x x =-', ∴当03

x π

<<时, ()()0,f x f x '<单调递减；当

3

x π

π<<时， ()()0,f x f x '>单

调递增。 ∴当3

x π

=

时, ()f x

有最大值，且()min 2sin 3333f x f ππ

ππ??==-=

???

。 又()()00,f f ππ==,

∴()max f x π=。

由题意得()()12f x f x M -≤等价于

(

)(

)max min 233M f x f x ππ

π?≥-=-=+ ?。

--

∴M

的最小值为23

π

答案：

23

π

+1７．(1）()2,4;(２）(]1,2

【解析】试题分析：(1)命题p ：实数ｘ满足x 2-5ax ＋4ａ2＜0，解集A ＝(a ，4a).命题ｑ:

实数x 满足22280

{ 3100

x x x x --≤+-> 解集B=

（2,4]．a=１,且p ∧ｑ为真,求Ａ∩B 即可得出．2(?）￢p ：(－∞,a]∪[4a,＋∞).￢q:(－∞,2]∪(4,+∞）.利用￢p 是￢q 的充分不必要条件,即可得出.

试题解析:

（1）命题ｐ:实数x 满足ｘ2－5ax+4a ２

<0,其中ａ>0，a

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

(2)￢p:(－∞，a]∪［4ａ,+∞),￢q ：(-∞，２]∪(4,＋∞)．

若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2． 又当a=1时不成立∴实数a 的取值范围是(1，２].

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

18．１9.(1)3.5,28（2) 5.6.4?8y

x =+(３）64.4万元 【解析】试题分析:（1）利用平均值公式与所给参考数值求解即可;（2）利用公式求得

()

12

2

2

1

4204 3.528

5.?6544 3.5n

i i i n i i x y nxy

b

x n x ==--??==

=-?-∑∑

，将样本中心点的坐标代入回归方程,求

得28? 5.6 3.58?.4a

y bx =-=-?=，从而可得结果；(３)利用第二问的回归方程进行求值,预测即可

试

题

解

析

：

(1)

234518273235

3.5,2844

x y ++++++=

===。

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

(２) 4

1218327432535420i i

i x y

==?+?+?+?=∑，

4

222221

234554i

i x

==+++=∑，

()

12

2

214204 3.528

5.?6544 3.5

n

i i i n i

i x y nxy

b

x n x ==--??==

=-?-∑∑

。

--

28? 5.6 3.58?.4a

y bx =-=-?=， 所以回归方程为 5.6.4?8y

x =+。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

(3)当10x =时, 5.6108. 4.?464y =?+=(万元），

故预测该公司科研费用支出为１0万元时公司所获得的利润为６4.4万元。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

【方法点晴】本题主要考查线性回归方程，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据

样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系；②计算21

1

,,

,n n

i

i i

i i x y x x y ==∑∑的值；

③计算回归系数??,a

b ;④写出回归直线方程为???y bx a =+; 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化

趋势.

19.（1)详见解析（2) 【解析】(１）证明:以

为原点，以

所在直线为

轴建立空间直角坐

标系,则，所以，

,

所以，所以

．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉６分

(２)

,则

，又,

,所以异面直线与所成

角的余弦值是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

考点:空间向量的坐标运算,垂直的证明，异面直线所成角.

２0.(１）见解析;（２)1k = 【解析】试题分析:把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明l 与C 必有两交点,只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A 、B 的坐

--

标,根据直线OA 和OB 斜率之和为1,列出两点坐标的关系,由于两点坐标满足直线的方程,所以把12,y y 代入化为12,x x 的关系,把根与系数关系代入后求出斜率k 的值. 试题解析：

(1）证明：联立抛物线2

:2C y x =和直线:1l y kx =+，可得2210x kx --=,

280

k ∴?=+> ，

∴ l 与C 必有两交点;

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(2)解:设()11,A x y , ()22,B x y ,则12

12

1y y x x += ①，因为111y kx =+,221y kx =+ ，代入①,得121121k x x ??++=

???

②，因为1212x x k +=,121

2x x =- ，代入②得

1k =.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉６分

【点睛】证明l 与C 必有两交点,只需联立方程组,代入消元后得出一元二次方程,证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A 、B 的坐标，根据直线OA 和OB 斜率之和为1,列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把12,y y 代入化为12,x x 的关系，把根与系数关系代入后求出斜率k 的值.

21．(1) 2

212

x y +=;（2) 1x =-. 【解析】试题分析: ()1根据椭圆定义及2ABF ?

的周长为

得出a =,利用c e a

=

知1c ea ==,求出21b =,进而得到椭圆C 的方程; ()2将三角形分割，以12F F 为底, A B 、两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，

运用基本不等式求得结果

解析：（1)

由椭圆的定义知4a =，

a =由c

e a

=

知1c ea == 2221b a c =-=

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（2)由（1)知()()121,0,1,0F F -， 122F F = 设()()1122,,,A x y B x y , :1l x my =-

联立1x my =-与2

212

x y +=得到()

222210m y my +--=,

--

12y y -=

2ABF S ==当

211,0m m +==时，

2ABF S ?

最大为，

:1

l x =-┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉６分

点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值,为简化计算，由于直线过横坐标上一定点,故设直线方程1x my =-

2２．（１)()f

x 在?

?上递增，在?+∞??

上递减．；(２)1,2?

?-∞ ???. 【解析】试题分析:(1)对函数()f x 求导，再根据a 分类讨论，即可求出()f x 的单调

性;(２)将()f x a >-化简得()

21ln 0a x x --<,再根据定义域()1,x ∈+∞,对a 分类讨论, 0a ≤时,满足题意， 0a >时，构造()()

21ln g x a x x =--,求出()g x 的单调性，可得()g x 的最大值,即可求出a 的取值范围．

试题解析:(1)()21122ax f x a x x

-='=-+，

当0a ≤时, ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增，

当0a > 时，令()0f x

'=，得x =, 令()0f x '>

,得x ?∈ ?

;令()0f x '<

,得x ?

∈+∞??

，

所以

()

f

x 在

? ?上递增

,在?

+∞??

上递

减.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(2)由()f x a >-，得()

21ln 0a x x --<,因为()1,x ∈+∞,所以2ln 0,10x x --, 当0a ≤时, ()

21ln 0a x x --<满足题意，

当12

a ≥时,设()()

()22

211ln (1),0ax g x a x x x g x x -'=-->=

>， 所以()g x 在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，不合题意，

当1

02a <<

时，令()0g x '>

,得x ?∈+∞??，令()0g x '

<,得? ?

，

--

所以(

)()max 10g x g g =<=，则()()1,0x g x ?∈+∞<, 综上, a 的取值范围是1,2?

?-∞ ??

?.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大，属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多,需要多加体会．