2021年高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习

含解析

欧阳光明（2021.03.07）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：

___________

一、选择题（题型注释）

1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．325

3()42

2

g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．

2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+

'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ，)2

1

(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）

A ．b c a <<

B ．a c b <<

C ．c b a <<

D ．b a c <<

3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[)0,4

B ．()0,1

C ．()0,4

D ．()4,4-

4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()24f x x = C ．()3log f x x =

D ．

()34x

f x ??= ???

5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()()2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ）

A ．1

,12?? ??

?

B ．1

,2??+∞ ??

?

C ．[)1

0,1,2??+∞ ??

?

D ．1

0,2

??

??

?

6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ）

A ．{2}∪(4,)+∞

B ．(2,)+∞

C ．{2,4}

D ．(4,)+∞

7．设函数 1 (20),

() 1 (02),

x f x x x --≤≤?=?

-<≤

?，

若则实数a 的取值范围是（ ）

A

8．函数R x x x x f ∈+=,)(3

，当2

0π

θ≤

≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成

立，则实数m 的 取值范围是（ ）

A ．()1,0

B ．()0,∞-

C ．?

?? ?

?

∞-21, D ．(),1-∞ 9．曲线2

x

y x =

+在点()1,1--处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =-- 10．设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ）

A ．2e

B ．e

C ．

ln 2

2

D ．ln 2 二、填空题（题型注释）

11．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则a b += ． 12．设定义域为()+∞,0的单调函数)(x f ，对任意的()+∞∈,0x ，都有

4

]log )([3=-x x f f ，若0x 是方程3)(2)(='-x f x f 的一个解，且

*0),1,(N a a a x ∈+∈，则实数=a ．

13．由曲线

y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为． 14．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =．

15．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，

0)

()(2

>-'x

x f x f x ）（0>x ，则不等式

0)(2>x f x 的解集是．

16．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，

()2122

f x x x =-+

.若函数()y f x a =-在区间[-3,4]上有10个零点（互

不相同），则实数a 的取值范围是. 三、解答题（题型注释） 17．已知函数

x x

a x x x f ln 446)(2-+-=，其中

a ∈R

（1）若函数()f x 在()0,+∞单调递增，求实数a 的取值范围

（2） 若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴，求函数f （x ）的单调区间与极值． 18．设函数x x x f ln )(=

（1）求函数)(x f 的最小值；

（2）设x x f x a x x F 2)]([)(2+'+-=，讨论函数)(x F 的单调性；

（3）在第二问的基础上，若方程m x F =)(，（R m ∈）有两个不相等的实数根21,x x ，求证：a x x >+21．

19．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈，622

5

)(23-++-=x x x x g （1）若)(x f 的一个极值点为1，求a 的值；

（2）设)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．

20．已知c>0，设命题p ：函数x y c =为减函数，命题q ：当1

,22x ??∈????

时，函数()1

1f x x x c

=+>恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．

21．如果一元二次方程()22100ax x a ++=≠至少有一个负的实数根，试确定这个结论成立的充要条件．

22．已知c>0，设命题p ：函数x y c =为减函数，命题q ：当1

,22x ??∈????

时，函数()11f x x x c

=+>恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．

23．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．

但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？最大日产量为多少？

24．已知函数b ax x x x f +++=232

5

(）（b a ,为常数），其图象是曲线

C ．

（1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调减区间；

（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得

00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；

（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

25．已知函数

f （x ）a ＞0．

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；

f （x ）＞0恒成立，求

a 的取值范围．

26．已知函数3()3f x x x =-． （Ⅰ）求)2(f '的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值． 27．已知函数()ln 1

x f x x

+=

. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；

（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；

（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21

,24123++n n n n N n n n

+--+???<∈≥+.

28．已知函数()()32325

7,ln 22

f x x x ax b

g x x x x b =+++=+++，（,a b 为常数）.

（1）若()g x 在1x =处的切线过点（0，-5），求b 的值；

（2）设函数()f x 的导函数为()'f x ，若关于x 的方程()()'f x x xf x -=有唯一解，求实数b 的取值范围；

（3）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围.

29．已知函数()f x 满足()()22f x f x =+，且当()0,2x ∈时，

()1ln 2f x x ax a ?

?=+<- ??

?，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4.

（1）求实数a 的值；

（2）设0b ≠，函数()()31

,1,23

g x bx bx x =-∈.若对任意()11,2x ∈，总存在

()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围.

30．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）.

（1）当1a =时，求过点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

1．（1）1；（2）1a ≤ 【解析】

试题分析：（1）对()f x 进行求导得到其导函数，因为)(x f 的一个极值点为1，所以

()'10f =，代入即可求出a 的值；

（2）对()g x 进行求导得到其导函数，判断出其在]4,1[上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值b ；代入b x f ≥)(，分离参数a ，构造一个新函数()h x ，只需a 小于等于其最小值即可．

试题解析：（1）a ＝1时， f （x ）＝x 2

－x －lnx ，

2121(21)(1)

()21x x x x f x x x x x --+-'=--==

()f x 在（1，＋∞）上是增函数，min ()(1)0f x f ==

2()3540g x x x '=-+-<，

所以()g x 在（1，＋∞）上是减函数，max ()(1)0g x g =< 当1a =时，()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）由由x ∈[1，＋∞）知，x ＋lnx ＞0，

所以f （x ）≥0恒成立等价于a ≤2

ln x x x

+在[)1,x ∈+∞时恒成立，

令h （x ）＝2

ln x x x +，[)1,x ∈+∞，有h ′（x ）＝()()

2

12ln 0ln x x x x x -+>+ [)1,,()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增

所以[)1,x ∈+∞h （x ）≥h （1）＝1，所以a ≤1． 考点：利用导数研究函数的极值和最值

2．D 【解析】

试题分析：设()()()()()'

'

h x xf x h x f x xf

x =∴=+，

()y f x =是定义在R 上的奇函

数，()h x ∴是定义在R 的偶函数，当0x >时，()()()'

'

0h x f x xf x =+>，此时函数

()

h x 单调递增．

()

1(1)1a f h ==，

()

2(2)2b f h =--=-，

111(ln )(ln )ln 222c f h ??

== ???

，又1212>>b a c ∴>>故选D ．

考点：利用导数研究函数的单调性

【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无解析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调性法，经观察得需要进行构造函数，研究构造的函数的单调性，再利用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的． 3．C 【解析】

试题分析：由题可得(

)(

'

2333f x x a x x =-=-，所以()f x

在(上单调

递减，在

)

+∞上单调递增，所以()f x

在x =()f x 在()0,2内有

最小值，所以只需02<<，即04a <<，故选C ．

考点：函数的最小值 4．D 【解析】

试题分析：对于函数()34x f x ??= ???上的点列(),n n x y 有34n

x

n y ??

= ???

，由于 {}n x 是等数列

差，所以1,n n x x d +-=因此

1

1x 133344434n n n n x x d n x n

y y ++-+??

?????

??=== ? ???????

???

，这是一个与n 无关的常

数，故{}n y 是等比数列，所以()34x

f x ??

= ???

合题意，故选D ．

考点：1、等差数列的定义；2、等比数列的定义；3、指数函数．

【易错点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题．解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．本题构造出指数函数巧妙地将等差数列、等比数列结合起来． 5．A 【解析】

试题分析：本题考查命题真假的判定与推理，若命题p 为真命题，则01,c <<若命题q 为真命题，则0c >且480c ?=-≥即1

0,2

c <≤由条件得：p 真q 假或p 假q 真，故正实数c 的取值范围是1,1,2??

???

故选A ． 考点：1、函数的单调性、值域；2、命题与逻辑联接词．

6．A 【解析】

试题分析：根据题意画出函数2y x =-与曲线2

2

C x y λ+=：的图象，如图所示，当

AB 与圆O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O 作OC AB ⊥，因为

2OA OB ==，90AOB ∠=?，所以22OC =，此时22OC λ==，当圆O 半径大于2，

即4λ＞时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是

{}24?

+∞（，），故选A ．

考点：1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合．

7．D 【解析】

试题分析：由题

11 (20),12()() =,12 1 (02),2x x g x f x x x x ?---≤≤??=-??-<≤??若

212

1

(log )(log )2()

2g a g a g +≤即22113(log )(log )21222g a g a ??

+-≤?-=-

???

当

22log 0a -≤≤时20log 2a ≤-≤，此时223

(log )(log )2

g a g a +-≤-

即为

()222113121log log 1 log 2222a a a a --+--≤-∴≥-∴≥结合22log 0a -≤≤即

2

12a ≤≤，可知此时22a ?∈???

；当20log 2a <≤时22log 0a -≤-≤，此时223

(log )(log )2

g a g a +-≤-

即为

()()2221131log 11log log 022222a a a a ??

-+---≤-∴≤∴<≤????

结合20log 2a <≤即14a <≤，取交集即为12a <≤，

综上 实数a 的取值范围是考点：分段函数，对数函数的性质

【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题．解释由已知条件得到()g x 仍为分段函数，讨论22log 0a -≤≤和20log 2a <≤两种情况，化简不等式，解之即可．注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集． 8．D 【解析】

试题分析：由导函数13)(2

+='x x f 可知

R x x x x f ∈+=,)(3

是单调递增奇函数，所以在解不等式

)1()sin (>-+m f m f θ时要充分利用这一条

件．)1()sin (0)1()sin (m f m f m f m f -->?>-+θθ，又函数)(x f 为奇函数，所以

)1()1(-=--m f m f ，即)1-()sin (m f m f >θ，又因为函数)(x f 在R 上为单调递增的函

数，所以必有1sin ->m m θ，当1sin =θ时，对任意的m 不等式恒成立，当)1,0[sin ∈θ时，有θsin 11-<

m ，当)1,0[sin ∈θ时，1sin 11

≥-θ

，所以1

范围是(),1-∞，故正确选项为D ．

考点：利用函数的单调性，奇偶性解不等式．

【思路点睛】本题主要考查利用导函数来判断函数的单调性，以及解有关复合函数的不等式．在解有关函数的不等式时，如果函数是高次的复合函数，则需要先利用导函数判断外函数在定义域上的单调性，将不等式转化为关于内函数的不等式，继续解不等式，从而求出参数的范围，在解不等式，要充分利用题中已知的函数性质． 9．A 【解析】

试题分析：求曲线某点的切线，需要先求得该点的导数，2

+=

x x

y 的导函数为2)2(2+=

'x y ，则曲线在点)1,1(--处的切线斜率为2)

21(2

2

=+-=k ，利用点斜式可求得切线的方程为21y x =+，故正确选项为A ． 考点：导数的运用． 10．B 【解析】

试题分析：先求x x x f ln )(=的导函数，可知1ln )(ln ln )()(+='+'='x x x x x x f ，

2)(0='x f ，即21ln 0=+x ，可求得e x =0，故正确选项为B ．

考点：导数的计算．

11．7 【解析】

试题分析：对原函数求导可得()'

232f

x x ax b =--，

由题得()()2

'111043

1131320

f a b a a a b b f a b ?=--+==-=???∴???==-=--=????或，当3,3a b ==-时，

()()2

'2363310f x x x x =-+=-≥，此时1x =不是极值点，不合题意，经检验4,11a b =-=符合题意，所以7a b +=

考点：函数的极值

12．2 【解析】

试题分析：根据题意，对任意的()+∞∈,0x ，都有4]log )([3=-x x f f ，又由)(x f 是定义在()+∞,0上的单调函数则()3log f x x -为定值，设()3log t f x x =-，则

()3log f x t x =+，又()4f t =，可得3log 4t t +=3t ∴=，故()3log 3f x x =+，

()'1

ln 3

f x x =

，又0x 是方程3)(2)(='-x f x f 的一个解，所以0x 是

()32

()2()3log ln 3

F x f x f x x x '=--=-

的零点，分析易得()()312

2log 20,310ln 33ln 3

F F =-<=->，所以函数()F x 的零点介于()2,3之间，故

2a = 考点：导数运算

【思路点睛】由题意可得()3log f x x -为定值，设为t ，代入即可得到t 的值，从而可得函数的解析式，代入化简新构造函数，根据零点存在性定理即可得到零点所在范围，从而求出所得答案．此类题目一般都需要进行整体换元来做，进而可以求出函数的解析式，然后根据题意即可得到所求答案． 13．

163

【解析】

试题分析：联立方

程2

y y x ?=?

?

=-??得到两曲线的交点()4,2，因此曲

线y =，直线

2y x =-及y

轴

所

围

成

的

图

形

的

面

积

为

)

34

24200

21

1622|323S x dx x x x ??=+=-+= ???

?

．

考点：定积分在求面积中的应用 14．e 【解析】

试题分析：0000()ln 1()2ln 12,ln 1,f x x f x x x x e ''=+=∴+==∴=

考点：函数的导数 15．),1()0,1(+∞- 【解析】

试题分析：仔细观察，会发现条件中的

])

([)()(2

'=-'x

x f x x f x f x ，所以可构造函数x x f x F )()(=，由0)()()(2

>-'='x x f x f x x F 得)(x F 在()0,+∞上为增函数，又0)1(=f ，所以0)1(=F ，则函数)(x F 在）（1,0上0)(+∞x F 上，；又)()(x xF x f =，所以在）（1,0上0)(+∞x f 上，，)(x f 是定义在R 上的奇函数，则在在

）（0,1-上0)(>x f ．在0)()1--(<∞x f 上，，

，而不等式0)(2

>x f x 的解集即0)(>x f 的解，所以解集为),1()0,1(+∞- ．

考点：函数的单调性，奇偶性，以及导函数的运用． 【思路点睛】本题的关键在于能够根据

2

)

()(x

x f x f x -'构造出一个对解题带来方便的新函数x

x f x F )()(=，因为题中只说明)(x f 是奇函数及一个零点，而解不等式0)(2

>x f x ，必须要知道)(x f 值域在那些区间上为正，那些区间上为负，而通过新构造的函数

x

x f x F )

()(=

，结合其单调性及)(x f 的零点，刚好能解决这一难题．本题同时也考查了学生对公式2

)]([)

()()()(])()([

x g x g x f x g x f x g x f '-'='的逆运用． 16．102，?? ???

【解析】

试题分析：

因为()f x 是定义在R 上的周期为3的

函数，当[)0,3x ∈时，()21

22

f x x x =-+

.画出函数()f x 和y a =在[]3,4-的图像如图所示，102a ??∈? ??

，

考点：根的存在性及根的个数判断．

17．（1）(],1-∞-；（2）单调递增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3，极大值()12f =-，极小值为()31ln3f =-- 【解析】

试题分析：（1）对原函数()f x 进行求导得到()'

f

x ，令()'0f x ≥，分离参数得到

224x x

a -≤，只需a 小于等于2min

24x x ??- ???即可得到所求答案．

（2）由（1）和题意可知()'

10f =，即可求出a 的值，代入导函数()'

f

x ，令()'0f x =，

得到其零点，列表即可判断出函数的单调性和极值． 试题解析：（1）对()f x 求导得()'211

4a f x x x

=

-- 函数()f x 在()0,+∞单调递增，()0f x '∴≥在()0,+∞恒成立

211

4a x x

--0≥ 224(2)4()144

x x x g x ---==≥-

1a ∴≤-，a 的取值范围(],1-∞-

（2）对()f x 求导得()'211

4a f x x x

=--，由()f x 在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y 轴， 可知f ′（1）＝－

34－a ＝0，解得a ＝34

-

由（1）知33

()ln 442

x f x x x =---

则f ′（x ）＝22

43

4x x x -+，

令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝3 x ()0,1 1 ()1,3 3 ()3,+∞

()f x ' + 0

— 0

+

()f x

↗

极大值 ↘

极小值

↗

由此知函数()f x 在x ＝1时取得极大值f （1）＝-2

()f x 在x ＝3时取得极小值f （3）＝-1－ln3．

考点：导数的综合应用 18．（1）1e -（2）单调增区间为,2a ??

+∞ ???

，单调减区间为0,2a ?? ???（3）证明见解析 【解析】

试题分析：（1）求出其定义域，对()f x 进行求导得到()'

f x ，令导函数等于0可以判断出

在其定义域上的单调性，从而判断出其最小值； （2）由（1）把()'

f

x 代入()F x ，对()F x 进行求导得到()'F x ，对a 进行分类讨论，即

可得到()F x 的单调性

（3）本题可以采用分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很容易证明或者是公理的

式子再进行证明即可得到所求答案．

试题解析：f ′（x ）=lnx+1（x ＞0），令f ′（x ）=0，得．

∵当时，f ′（x ）＜0；当

时，f ′（x ）＞0

∴当

时，

．

（2） F ′（x ）=2x ﹣（a ﹣2）﹣（x ＞

0）．

当a ≤0时，F ′（x ）＞0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递增，函数F （x ）的单调增区间为（0，+∞）．

当a ＞0时，由F ′（x ）＞0，得x ＞；由F ′（x ）＜0，得0＜x ＜． 所以函数F （x ）的单调增区间为

，单调减区间为

．

（3）证明：因为x 1、x 2是方程F （x ）=m 的两个不等实根，由（1）知a ＞0．

不妨设0＜x 1＜x 2，则﹣（a ﹣2）x 1﹣alnx 1=c ，

﹣（a ﹣2）x 2﹣alnx 2=c ．

两式相减得﹣（a ﹣2）x 1﹣alnx 1﹣+（a ﹣2）?x 2+alnx 2=0，

即

+2x 1﹣

﹣2x 2=ax 1+alnx 1﹣ax 2﹣alnx 2=a （x 1+lnx 1﹣x 2﹣lnx 2）．

所以a=．因为F ′=0，

即证明x 1+x 2＞，

即证明

﹣

+（x 1+x 2）（lnx 1﹣lnx 2）＜

+2x 1﹣

﹣2x 2，

即证明ln ＜．设t=（0＜t ＜1）．

令g （t ）=lnt ﹣，则g ′（t ）=．

因为t ＞0，所以g ′（t ）≥0，当且仅当t=1时，g ′（t ）=0，所以g （t ）在（0，+∞）上是增函数．

又g （1）=0，所以当t ∈（0，1）时，g （t ）＜0总成立．所以原题得证 考点：导数的综合应用 19．（1）1；（2）1a ≤ 【解析】

试题分析：（1）对()f x 进行求导得到其导函数，因为)(x f 的一个极值点为1，所以

()'10f =，代入即可求出a 的值；

（2）对()g x 进行求导得到其导函数，判断出其在]4,1[上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值b ；代入b x f ≥)(，分离参数a ，构造一个新函数()h x ，只需a 小于等于其最小值即可． 试题解析： （1）x

a

a x x f -

-='2)(，令02)1(=--='a a f ，则a ＝1 经检验，当a ＝1时，1是)(x f 的一个极值点 （2） )13)(2(253)(2

+--=++-='x x x x x g ，

所以()g x 在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数0)2()(max ==g x g

0)(≥x f 在[)1,x ∈+∞上恒成立，

由x ∈[1，＋∞）知，x ＋lnx ＞0，

所以f （x ）≥0恒成立等价于a ≤2

ln x x x

+在x ∈[e ，＋∞）时恒成立，

令h （x ）＝2

ln x x x +，x ∈[1，＋∞），有h ′（x ）＝()()

2

12ln 0ln x x x x x -+>+ 所以h （x ）在[1，＋∞）上是增函数，有h （x ）≥h （1）＝1，所以a ≤1

考点：利用导数研究函数的极值和最值

20．1|012或c c c ??

<≤≥??

?

?． 【解析】

试题分析：根据题意可求得命题p 为真命题时，01c <<，命题q 为真命题时，

1

2c >

，因为

p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以可得p 、q 中必有一真一假，分两种情况求解．

试题解析：因为函数x

y c =为减函数，所以0101c p c <<<<，：，

因为

12x x ≤+

，要使不等式恒成立，需12c <，即

12c >，q ：1

2c >

， 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，

当p 真q 假时，01102c c <

，解得102c <≤， 当p 假q 真时，112c c ≥???≥??

，解得1c ≥． 综上可知，c 的取值范围是1|012或c c c ??

<≤≥?

??

?． 考点：1．不等式恒成立问题；2．判断复合命题的真假． 21．0a <或01a <≤． 【解析】

试题分析：因为一元二次方程

()

22100ax x a ++=≠至少有一个负的实数根，包括有一个

负的实数根和有两个负的实数根的情况，当有一个负的实数根时1

1

0a a ≤????

数根12010a a a ??≤???-??．

试题解析：由题意得0a ≠，一元二次方程2

210ax x ++=有实数根的充要条件是

440a ?=-≥，即1a ≤，设方程()2

2100ax x a ++=≠的根是12,x x ，由

121221

,x x x x a a +=-=，可知，方程()22100ax x a ++=≠有一个负的实数根

1

10a a ≤??

??

1

0a a a ?

?≤???-??，即

01a <≤，综上所述，一元二次方程2210ax x ++=至少有一个负实数根的充要条件是

0a <或01a <≤．

考点：一元二次次根的分布．

22．

1|012或c c c ??<≤≥??

??． 【解析】

试题分析：根据题意可求得命题p 为真命题时，01c <<，命题q 为真命题时，

1

2c >

，因为

p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以可得p 、q 中必有一真一假，分两种情况求解．

试题解析：因为函数x

y c =为减函数，所以0101c p c <<<<，：，

因为

12x x ≤+

，要使不等式恒成立，需12c <，即

12c >，q ：1

2c >

， 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，

当p 真q 假时，01102c c <

，解得102c <≤，

当p假q真时，

1

1

2

c

c

≥

?

?

?

≥

??

，解得1

c≥．

综上可知，c的取值范围是

1

|01

2

或

c c c

??

<≤≥

??

??．

考点：1．不等式恒成立问题；2．判断复合命题的真假．

23．产甲产品5吨，乙产品7吨时，日产值124吨．

【解析】

试题分析：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值812

z x y

=+，由表格可列出线性约束条件，然后可以画出可行域，把812

z x y

=+变形为一组平行直线系

8

:

1212

z

l y x

=-+，l经过点(5,7)

M时，

812

z x y

=+有最大值．

试题解析：设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值812

z x y

=+，

线性约束条件为

7356

2050450

0,0

x y

x y

x y

+≤

?

?

+≤

?

?≥≥

?

．

作出可行域．

由图可知，当直线l经过可行域上的点M时，截距

12

z

最大，即z取最大值．

解方程组

7356

2050450

x y

x y

+=

?

?

+=

?

，得交点(5,7)

M

max

85127124

z=?+?=．

所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元．

考点：1、线性规划的应用；2、可行域与最优解．

24．（1）)

(x

f的单调减区间为1

(2,)

3

-．

（2）

71

(,)(,)

548

-∞--+∞

（3）当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当12

25

≠a 时，不存在常数λ使得

12k k λ=．

【解析】

试题分析：（1）先求原函数的导数，根据0)('

x ，

使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，则

2

0032000035052

x x a x x ax b x ?++=??+++=?? 即320005202x x x b ++-=存在唯一的实数根0x

数根0

x ，

就把问题转化为求函数最值问题；

（3）假设存在常数λ，依据曲线C 在点A 处的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，曲线C 在点处B 的切线2l ，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

试题解析：（1）当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+．令0)('

123

x -<<

， )(x f 的单调减区间为1

(2,)3

-．

（Ⅱ） 2

()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052

x x a x x ax b x ?++=??+++=??消去a ，得

32

0005202

x x x b +

+-=有唯一解．令

32

5()22

g x x x x =+

+，则

2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，以()g x 在区间1(,)2

-∞-，1(,)3

-+∞上是增函数，在

11(,)23--上是减函数，又11

()28g -=-，17()354g -=-

，故实数b 的取值范围是7

1

(,)(,)54

8

-∞-

-+∞． （Ⅲ） 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，

与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即

2005

()[(2)]02

x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+．由题意知，

a x x x f k ++==02

00'153)(，a x x x f k +++=--=4

25

2012)25

2(020

0'1，若存在常数λ，使得12k k λ=，则λ=++

+a x x 4

25201202

0)53(02

0a x x ++，即常数λ使得

4

25

)1

(

)

4

)(

5

3(

2

-

-

=

-

+a

x

xλ

λ，所以

??

?

?

?

=

-

-

=

-

4

25

)1

(

4

a

λ

λ

，解得

12

25

,4=

=a

λ．故当12

25

=

a时，存在常数4

=

λ，使得

1

2

k

kλ

=；当

12

25

≠

a时，不存在常数λ使得

1

2

k

kλ

=．考点：利用导数研究函数的性质

【名师点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性，曲线的切线等知识，属难题．解题时对于方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．

25．（Ⅰ）y=6x-9；（Ⅱ）0＜a＜5．

【解析】

试题分析：（1）函数在其图象上某点的切线的斜率等于该点处的导数，x

x

x

f3

3

)

(2-

=

'，则点)3,2(处的切线斜率为6

2

3

2

32=

?

-

?

=

k，由点斜式可求出切线的方程；（2）函数在区间

11

,

22

??

-??

??

上，0

)

(>

x

f恒成立，可先利用导函数判断函数区间上的单调性，从而使得最小值大于0；令2

()33

f x ax x

'=-

3(1)0

x ax

=-=，得

a

x

x

1

,1

2

1

=

=，对2

2

0>

≤

a以及分别进行讨论从而求a得取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3-x2+1，f（2）=3；

f′（x）=3x2-3x，f′（2）=6，

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．

（Ⅱ）f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1），

令f′（x）=0，解得x=0或x=，

以下分两种情况讨论：

若0＜a≤2，则，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

当x∈时，f（x）＞0等价于，即，

解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；